Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 28
Текст из файла (страница 28)
К. СМОЛЕНЦЕВ– алгебра Ли полных Киллинговых векторных полей на M . Действие Ig × M → M поднимается долевого действия на расслоении реперов Ig × F (M ) → F (M ), (η, u) → ηu. Следовательно определенгомоморфизм алгебр Ли Ig → Γ(T (F M )), X → X.Если u ∈ F (M ), то пусть χu : Ig → F (M ), η → ηu — орбитное отображение и Ig (u) — соответствующая орбита. Отображение χu гладкое и его производная в единице естьde χu : Ig → Tu F (M ), X → X(u).Пусть Ig (u) = de χu (Ig ) ⊂ Tu F (M ) — образ алгебры Ли Ig в касательном пространстве Tu F (M ).Теорема 6.1 (см.
[108]). Действие Ig × F (M ) → F (M ), (η, u) → ηu гладкое, свободное и собственное. Для u ∈ F (M ) орбита Ig (u) ⊆ F (M ) есть замкнутое подмногообразие и касательноепространство в точке u1 = ηu может быть задано так: 1 ); X ∈ Ig } = du η(Ig (u)).Ig (u1 ) = {X(uОрбитное отображение χu : Ig → Ig (u) ⊂ F (M ) является диффеоморфизмом на свой образ.Относительно метрики g = (πF M )∗ g + γ · (ω ⊗ ω) группа Ig действует на F (M ) как группаизометрий.Для свободного действия группы Ig на F (M ) в каждой точке существует срез Cu , которыйинвариантен относительно группы Ig .Теорема 6.2 (см. [108]).
Для действия Ig × F (M ) → F (M ) пространство орбит Ig \ F (M ),имеет структуру гладкого многообразия и проекция π : F (M ) → Ig \ F (M ) является субмерсией. Кроме того, для u ∈ F (M ),Ker du π = Tu (Ig (u)) = Ig (u),Im du π = T[u] (Ig \ F (M )) ≈ Ig⊥ (u).Субмерсия π является гладким (левым) главным Ig -расслоением.ДействиеΦ : (M × F (M )) × D → M × F (M ),((g, u), η) → (η ∗ g, η ∗ u) ,где η ∗ u = η−1 u является [93] ILH-гладким. Пусть O(g,u) = Φ(g,u) (D) — орбита элемента (g, u).Дифференциал орбитного отображения Φ(g,u) : D → M × F (M ) легко находится:de Φ(g,u) : Γ(T M ) → S2 ⊕ Tu F M,X → LX g − X(u).(6.4)На многообразии M×F (M ) введем следующую слабую L2 -метрику G.
Если (g, u) ∈ M×F (M ),h1 , h2 ∈ S2 и Z1 , Z2 ∈ Tu F M , тогда(6.5)G(g,u) ((h1 , Z1 ), (h2 , Z2 )) = g(h1 , h2 )dμg + g(u)(Z1 , Z2 ).MТеорема 6.3 (см. [108]). Действие Φ : (M × F (M ))×D → M×F (M ), ((g, u), η) → (η ∗ g, η ∗ u)является ILH-гладким, свободным и собственным. Группа диффеоморфизмов D сохраняетскалярное произведение (6.5).Используя следующие ортогональные разложения касательных пространств:Tg M = S2 = S20 ⊕ αg (Γ(T M )) ,Tu F M = Ig (u) ⊕ Ig⊥ (u)можно получить разложение касательного пространства T(g,u) (M × F (M )) = S2 ⊕ Tu F M .
Напомним, что первое — это разложение Берже-Эбина, где S20 = {h ∈ S2 ; δg h = 0} и αg (X) = LX g.Теорема 6.4 (см. [108]). Для (g, u) ∈ M × F (M ) пустьα(g,u) = de Φ(g,u) : Γ(T M ) → S2 ⊕ Tu F M,X → X ∗ (g, u) = LX − X(u)ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК99— производная орбитного отображения Φ(g,u) .
Тогда α(g,u) имеет замкнутый образ и пространство S20 ⊕Ig⊥ (u) есть замкнутое дополнение к образу Im α(g,u) в пространстве S2 ⊕Tu F M .Таким образом имеет место разложениеS2 ⊕ Tu F M = S2 ⊕ Ig⊥ (u) ⊕ Im α(g,u) .(6.6)В соответствии с (6.6) элемент h + Zu ∈ S2 ⊕ Tu F M имеет следующее разложение+ Y (u)),h + Zu = h0 + Wu⊥ + α(g,u) (X + Y ) = h0 + Wu⊥ + LX g − (X(u)Wu = Wu⊥ + Y (u) — разложениегде h = h0 + LX g — разложение Берже-Эбина, Wu = Zu + X(u),в пространстве Tu F M и Y — единственное Киллингово векторное поле, соответствующеекомпоненте Y (u).
Разложение (6.5) эквивариантно относительно действия D. см.Отметим, что разложение (6.5) не ортогонально относительно G.Теорема 6.5 (см. [108]). Орбита O(g,u) элемента (g, u) ∈ M × F (M ) является замкнутымподмногообразием в M × F (M ) с касательным пространством T(g,u) O(g,u) = Im α(g,u) . Орбитное отображение Φ(g,u) : D → O(g,u) является ILH-гладким диффеоморфизмом.В работе [108] доказана также теорема о срезе для действия группы D на пространстве M ×F (M ).
При этом, если Sg есть срез действия D на пространстве M и Cu (g) — срез действия группыизометрий Ig на пространстве F (M ), то Sg × Cu (g) есть требуемый срез действия группы D напространстве M × F (M ).Теорема 6.6 (см. [108]). Для действия Φ : (M × F (M )) × D → M × F (M ) пусть GF M =(M × F (M ))/D и π : M × F (M ) → GF M , π(g, u) = [(g, u)]. Тогда пространство GF M являетсяILH-многообразием, проекция π есть субмерсия иKer d(g,u) π = T(g,u) O(g,u) = Im α(g,u) ,Im d(g,u) π = T[g,u] GF M ≈ S20 ⊕ Ig⊥ (u).Кроме того, π является главным D-расслоением.
Это расслоение имеет естественную связность, задаваемую разложениемS2 × Tu F M = H(g,u) ⊕ V(g,u) = S20 ⊕ Ig⊥ (u) ⊕ Im α(g,u) .В работе C. Свифта [228] теория разрешения особенностей была развита с использованиемрасслоения ортонормированных реперов.Рассматривая вместо M специальные классы метрик, изучают различные пространства модулей.Пространствам модулей эйнштейновых метрик посвящена глава 12 книги А. Бессе [5]. Cтруктура пространства модулей эйнштейновых метрик четырехмерного многообразия рассматриваласьв работе М.Т.
Андерсона [44]. Пространства модулей риччи-плоских метрик на четырехмерноммногообразии изучались Ито [144]. Пространствам модулей кэлеровых многообразий посвященаработа Г. Шумахера [35] (на русском языке).7. ТЕНЗОР РИЧЧИИ СКАЛЯРНАЯ КРИВИЗНА КАК ФУНКЦИИ МЕТРИКИПусть g ∈ M — риманова метрика на многообразии M и ∇ — ковариантная производнаясвязности Леви-Чивита. Символы Кристоффеля в локальных координатах имеют вид: Γkij =1 kl2 g (∂i gjl + ∂j gil − ∂l gij ). Тензор кривизны R = R(g) определим в соответствии с [9] формулойlR(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z −∇Y ∇X Z −∇[X,Y ] Z. Тогда компоненты Rkijтензора кривизны, определяемыеlkравенством R(∂i , ∂j )∂k = R kij ∂l выражаются через Γij по формуле Rl kij = ∂i Γljk − ∂j Γlik + Γlim Γmjk −lml .Γjm Γik .
При опускании индекса верхний индекс l попадает на первую позицию, Rmkij = gml RkijДля тензора кривизны имеют место следующие два тождества БьянкиRijkl + Riklj + Riljk = 0,Rijkl,t + Rijtk,l + Rijlt,k = 0.100Н. К. СМОЛЕНЦЕВОдним из важнейших свойств тензора кривизны является его эквивариантность относительнодействия группы диффеоморфизмов. А именно, для любого диффеоморфизма η многообразия Mимеет место равенство(7.1)η ∗ (R(g)) = R(η ∗ (g)).В работе Дж. Каждана [152] показано, что оба тождества Бьянки есть следствия данной инвариантности.
Чтобы в этом убедиться достаточно продифференцировать равенство ηt∗ (R(g)) =R(ηt∗ (g)) при t = 0 и использовать произвольность векторного поля X = (ηt )t=0 . Эта же идеяинвариантности использовалась в работе Ф. Делоне [85] для доказательства тождеств Бьянки длясвязности с кручением. Кроме того, в [85] дано еще одно доказательство основанное на тождествеd2 = 0 для внешнего дифференциала. В частности, второе тождество Бьянки следует из d2 θ = 0для 1-формы θ(U ) = θ(∇V Z), где Z — фиксированное векторное поле.Тензор Риччи определяется как свертка по двум индексам, Ricij = Rl ilj = Rkilj g kl . В бескоординатной форме имеем: Ric(X, Y ) = ni=1 g(R(ei , X)Y, ei ), для ортонормированного базиса {ei }пространства Tx M , X, Y ∈ Tx M .
Скалярная кривизна есть s(g) след тензора Риччи, s(g) = g ij Rij .Тензор Риччи и скалярная кривизна также эквивариантны относительнго действия группы диффеоморфизмов. Для любого диффеоморфизма η многообразия M имеют место равенстваη ∗ (Ric(g)) = Ric(η ∗ (g)),η ∗ (s(g)) = s(η ∗ (g)).(7.2)Сверткой дифференциального тождества Бьянки получаем следующее свойство,1δg Ric(g) = − d(s(g)).2(7.3)Учитывая определение тензора Риччи Ricij = Rikjl g kl , введем следующий оператор [56, 172]:L : S2 → S2 ,L(h)ij = Rikjl hkl .(7.4)Отметим, что L(g) = Ric(g). Введем еще один оператор K : S2 → S2 :K(h)ij = Ricik hkj + Ricjk hki − 2Rikjl hkl .(7.5)Легко видеть, что K(g) = 0 и tr ◦K = 0.Замечание.
В книге Бессе [5] тензор кривизны определен формулойl∂l ,R(∇i , ∇j )∂k = −[∇i , ∇j ]∂k = Rijkl = Rklверхний индекс опускается на четвертое место, тензор Риччи имеет вид Ricij = Riljikjl g ,поэтому оператор L определен той же формулой (7.4).Напомним, что S2T — пространство бесследовых симметричных 2-форм. Оператор K связан ссекционной кривизной многообразия (M, g) следующим образом.Предложение 7.1 (см. [56]).
Оператор K положительно определен на S2T если (M, g) имеетстрого положительную секционную кривизну.Гладкая зависимость тензора кривизны R(g), тензора Риччи Ric(g) и скалярной кривизны s(g)от метрики g ∈ M вытекает из следующей теоремы Н. Коисо.Теорема 7.2 (см. [163]).
Если s > n/2, то отображениеpM ),D : Ms+1 × H s+1 (Tqp M ) → H s (Tq+1определенное формулой D(g, ξ) = ∇g ξ является класса C ∞ .Доказательство использует теорему 1.2. Пусть g0 — некоторая фиксированная C ∞ -метрика наM . Для H s -метрики g на M определим тензорное поле T (g) на M формулойT (g)(X, Y ) = (∇g )X Y − (∇g0 )X Y.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК101Тогда мы имеемi ...iD(g, ξ)j10 ...jpq1T (g)kij = g kl ((∇g0 )i glj + (∇g0 )j gli − (∇g0 )l gij ) ,2qpi ...ikib+1 ...ipi ...ii ...i− D(g0 , ξ)j10 ...jpq = −T (g)tj0 ja ξj11 ...jpa−1 tja+1 ...jq +T (g)ijb0 k ξj11 ...jb−1.qa=1b=1По определению H s -топологии, отображение g → (∇g0 )g является C ∞ -отображением пространстваMs+1 в H s (T30 (M )). Тогда по теореме 1.2 отображение g → T (g) из Ms+1 в H s (T21 (M )) являетсяp), (T (g), ξ) → D(g, ξ)−D(g0 , ξ)класса C ∞ .
Аналогично отображение H s (T21 )×H s+1 (Tqp ) → H s (Tq+1∞является класса C . Но отображение ξ → D(g0 , ξ) есть линейное непрерывное отображение изp), следовательно, отображение (T (g), ξ) → D(g, ξ) является класса C ∞ . ВH s+1 (Tqp ) в H s (Tq+1итоге мы получаем отображение D как композицию C ∞ -отображений.Следствие 7.3 (см. также [198]). Если s > n/2, то отображение (g, f ) → Δg f есть C ∞ отображение из Ms+1 × H s+2 (M, R) в H s (M, R).Пусть (δg h)i = −∇j hij — оператор ковариантной дивергенции и αg (X) = 12 (∇i Xj + ∇j Xi ).Следствие 7.4.
Если s > n/2, то отображение (g, h) → δg h есть C ∞ -отображение из Ms+1 ×в Γs (T M ).S2s+1Следствие 7.5. Если s > n/2, то отображение (g, X) → αg (X) есть C ∞ -отображение изMs+1 × Γs+1 (T M ) в S2s .Следствие 7.6. Если s > n/2, то отображения g → R(g), Ric(g), s(g) есть C ∞ -отображенияиз Ms+2 в H s (T31 M ), H s (S2 M ), H s (M, R) соответственно.Достаточно доказать гладкость g → R(g). Из предыдущих формул получаем,lmR(g)lijk − R(g0 )lijk = (∇g0 )i (T (g))ljk − (∇g0 )j (T (g))lik + T (g)lim T (g)mjk − T (g)jm T (g)ik .Применяя теорему 1.2, получаем гладкость отображения g → R(g).Дифференциал отображения Ric : M → S2 хорошо известен [5, 172]:1dg Ric(h) = (ΔL h − 2δg∗ δg h − Hess(tr h)),2гдеΔL h = Δh + Ricik hkj + Ricjk hki − 2Rikjl hkl(7.6)– лапласиан Лихнеровича, а Δh — грубый лапласиан, Δh = δg Δh = −∇l ∇l hij .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
