Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Однако существуют изоспектральные, но не изометричные многообразия. В работе [180] Милнор построил два неизометричных тора размерности 16 с одним и тем же спектром (относительно примера Милнора см. также [177] и [33, с. 171]). По теме спектральнойгеометрии имеется обширная литература. Отметим некоторые из работ данного направления:[53, 55, 127, 130, 177, 180, 182].ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК9.
ПРОСТРАНСТВА111АССОЦИИРОВАННЫХ РИМАНОВЫХ МЕТРИК9.1. Пространства ассоциированных метрик и почти комплексных структур. Если на многообразии M задана почти комплексная структура J, то метрику на M естественно взять эрмитовой.Хорошо известно [9], что J-эрмитовы метрики существуют, но определяются не единственным образом. Задача состоит в том, чтобы с каждой п.к.с.
J связать одну и единственную эрмитовуметрику. В случае римановых поверхностей комплексная структура определяет класс конформноэквивалентных метрик, выбор метрики в этом классе проводится требованием постоянства кривизны. В случае симплектического многообразия любой размерности имеется способ однозначноговыбора эрмитовой метрики g для почти комлексной структуры J.Пусть (M 2n , ω) — симплектическое многообразие.Определение 9.1.
Почти комплексная структура J на M называется положительной ассоциированной с симплектической формой ω, если для любых векторных полей X, Y на M выполняютсяусловия:1) ω(JX, JY ) = ω(X, Y ),2) ω(X, JX) > 0, если X = 0.Каждая положительная ассоциированная п.к.с. J определяет риманову метрику g на M равенствомg(X, Y ) = ω(X, JY ),(9.1)которая также называется ассоциированной. Отметим очевидные свойства такой метрики,g(JX, JY ) = g(X, Y ), g(JX, Y ) = ω(X, Y ).Замечание. Иногда ассоциированную почти комплексную структуру J называют калибрующей2-форму ω ( an exterior 2-form ω on X is called J-calibrated if ω(JX, JY ) = ω(X, Y ) and ω(X, JX) >0 for X = 0 [133]).
Почти комплексную структуру J, удовлетворяющую условию положительности,ω(X, JX) > 0, если X = 0, называют также подчиненной форме ω (we say that an exterior 2-formω on M tames an almost-complex structure J if ω(X, JX) > 0 for X = 0 [133]). Наша терминологияявляется более традиционной. Она также соответствует терминологии, используемой в случаеконтактных многообразий [57, 64].В этом параграфе мы будем рассматривать следующие пространства:A — пространство всех гладких почти комплексных структур на M ;Aω — пространство всех гладких положительных ассоциированных почти комплексных структурна симплектическом многообразии (M, ω);AM — пространство всех гладких ассоциированных метрик на симплектическом многообразии(M, ω). Ясно, что AM является пространством всех гладких почти келеровых метрик на симплектическом многообразии, фундаментальная форма которых совпадает с ω.Данные пространства A, Aω и AM являются пространствами гладких сечений расслоений надM .
Поэтому [1, 203] они являются бесконечномерными гладкими ILH-многообразиями.Пусть J ∈ A — почти комплексная структура на M . Касательное пространство TJ A состоит изгладких (полей) эндоморфизмов K : T M → T M , антикоммутирующих с J:TJ A = EndJ (T M ) = {K : T M → T M ; JK + KJ = 0}.Касательное пространство TJ Aω состоит из симметрических эндоморфизмов P , антикоммутирующих с JTJ Aω = EndSJ (T M ) = {P ∈ End(T M ); P J = −JP, g(P X, Y ) = g(X, P Y )}.(9.2)Касательное пространство Tg AM к многообразию AM в точке g состоит из антиэрмитовых симметричных 2-форм на M ,Tg AM = {h ∈ S2 ; h(JX, JY ) = −h(X, Y ), ∀X, Y ∈ Γ(T M )}.(9.3)Обозначим символами S2A и S2H пространства антиэрмитовых и, соответственно, эрмитовых симметричных 2-форм на M .
Имеет место естественное (поточечное) разложениеS2 = S2A ⊕ S2H , ,(9.4)112Н. К. СМОЛЕНЦЕВортогональное относительно L2 -скалярного произведения в S2 . Тогда, Tg AM = S2A .Соответствие (9.1) между положительными ассоциированными почти комплексными структурами и ассоциированными метриками определяет диффеоморфизмG : Aω → AM,В координатах,J → G(J) = g,g(X, Y ) = ω(X, JY );(9.5)gij = (G(J))ij = ωik Jjk .Обратное соотношение:g → J, Jji = ω ik gkj .Легко видеть, что отображение G эквивариантно относительно действия группы Dω симплектических диффеоморфизмов.
Дифференциал диффеоморфизма G имеет вид:dJ G : TJ Aω → Tg AM, P → h = ωP,(9.6)h(X, Y ) = ω(X, P Y ) = g(X, P JY ).9.2. Параметризация пространств Aω и AM. Как уже отмечалось, пространства A, Aω иAM являются гладкими ILH-многообразиями. Поэтому на них можно ввести локальные картыобычным образом [1]. Данные пространства допускают более естественную параметризацию сиспользованием операторной экспоненты и преобразования Кэли.Пусть J0 — некоторая фиксированная почти комплексная структура.
Как показано выше, касательное пространство TJ0 A состоит из эндоморфизмов K : T M → T M , антикоммутирующихс п.к.с. J0 , KJ0 = −J0 K. Поэтому для операторной экспоненты eK имеем J0 eK = e−K J0 . Отсюда сразу следует, что оператор J = J0 eK является почти комплексной структурой. Получаемследующую параметризацию пространства A в окрестности элемента J0 эндоморфизмами K, антикоммутирующими с J0 :E : EndJ0 (T M ) −→ A,K → J = J0 eK .В теории матриц вместо трансцендентной зависимости w = eiz иногда принято использовать1−wрациональную: w = 1+iz1−iz , z = i 1+w . Применим это преобразование к оператору K, обладающемусвойством KJ0 = −J0 K, получимJ = J0 (1 + K)(1 − K)−1 = (1 − K)(1 + K)−1 J0 .(9.7)Очевидно, что J является почти комплексной структурой. В указанном выражении необходимопредполагать невырожденность оператора 1 − K. Ясно, что множество таких полей эндоморфизмовявляется открытым множеством в пространстве EndJ0 (T M ) всех эндоморфизмов K : T M → T M ,антикоммутирующих с J0 .
Обозначим это множество символом V(J0 ),V(J0 ) = {K ∈ End(T M );KJ0 = −J0 K,1 − K — изоморфизм }.Предложение 9.1 (см. [27]). СоотношенияJ = J0 (1 + K)(1 − K)−1 ,K = (1 − JJ0 )−1 (1 + JJ0 ),(9.8)устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством полей эндоморфизмовK : T M → T M , антикоммутирующих с п.к.с. J0 и таких, что 1 − K является обратимым имножеством почти комплексных структур J на M для которых эндоморфизм 1−JJ0 являетсяизоморфизмом.МножествоU(J0 ) = {J ∈ A; 1 − JJ0 − изоморфизм T M }является открытым множеством в пространстве A. Поэтому отображениеΦ : U(J0 ) −→ V(J0 ),J → K = (1 − JJ0 )−1 (1 + JJ0 ),(9.9)(9.10)задает локальную карту в окрестности элемента J0 .
Если K = Φ(J), то очевидно J = J0 (1+K)(1−K)−1 .Параметризация пространства Aω положительных ассоциированных почти комплексных структур определяется аналогично. Элемент J ∈ Aω обладает двумя свойствами: ω(JX, JY ) = ω(X, Y ),ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК113и ω(X, JX) > 0, если X = 0. Первое свойство обеспечивает симметричность касательного элемента K ∈ TJ Aω , а второе свойство положительности выделяет открытое множество в пространствеA всех почти комплексных структур.
Введем для этого множества обозначение:U = {J ∈ A; ω(X, JX) > 0,если X = 0}.(9.11)Несложный анализ показывает, что если J и J0 — положительные почти комплексные структуры,то обе они принадлежат введенной ранее координатной окрестности U(J0 ) = {J ∈ A; 1 − JJ0 −изоморфизм T M }.Элементы пространства Aω характеризуются следующим образом.Предложение 9.2 (см. [27]). Пусть J0 — положительная ассоциированная почти комплексная структура и g0 — соответствующая J0 ассоциированная метрика. Почти комплекснаяструктура J является положительной ассоциированной тогда и только тогда, когда онапредставляется в виде J = J0 (1 + P )(1 − P )−1 , где эндоморфизм P : T M → T M обладаетсвойствами:1) P J0 = −J0 P ,2) P симметричен относительно g0 ,3) 1 − P 2 положителен относительно g0 .Условие положительности 1−P 2 > 0 выделяет в пространстве EndSJ0 (T M ) открытое множествоPJ0 :(9.12)PJ0 = {P ∈ EndSJ0 (T M ) : 1 − P 2 > 0}.Из предложения 9.2 следует, что отображениеΨ : PJ0 −→ Aω ,P → J = J0 (1 + P )(1 − P )−1(9.13)задает глобальную параметризацию пространства Aω положительных ассоциированных почти комплексных структур.
Еще одну параметризацию пространства Aω задает отображениеES : EndSJ0 (T M ) −→ Aω ,P → J = J0 eP .(9.14)Подмногообразие, трансверсальное к Aω определяется отображениемEA : EndAJ0 (T M ) −→ A,L → J = J0 eL ,где эндоморфизм L кососимметричен и антикоммутирует с J0 . Ясно, что eL является ортогональным преобразованием, антикоммутирующим с J0 . Поэтому, подмногообразие, трансверсальное кAω в окрестности элемента J0 образуют почти комплексные структуры J вида J = J0 O, где O —ортогональное преобразование, антикоммутирующее с J0 .Параметризация пространства ассоциированных метрик получается из естественного диффеоморфизма G : Aω → AM, Поскольку J = J0 (1 + P )(1 − P )−1 , то g(X, Y ) = ω(X, JY ) =g0 (X, (1 + P )(1 − P )−1 Y ).
Тогда глобальная параметризация пространства AM имеет вид:ΨAM : PJ0 −→ AM,P → g = g0 (1 + P )(1 − P )−1 ,g(X, Y ) = g0 (X, (1 + P )(1 − P )−1 Y ).(9.15)Другую параметризацию пространства AM задает отображениеEAM : EndSJ0 (T M ) −→ AM,P → g = g0 eP .(9.16)Поскольку PJ0 — область в пространстве EndSJ0 (T M ), то TP PJ0 = EndSJ0 (T M ). Поэтому дифференциал dP ΨAM в точке P является отображением dP ΨAM : EndSJ0 (T M ) → Tg AM и выражаетсяформулой(9.17)dP ΨAM (A) = hA = g0 A(1 − P )−1 + (1 + P )(1 − P )−1 A(1 − P )−1 .Из последнего выражения получаем такжеhA = 2g(1 − P )(1 − P 2 )−1 A(1 − P )−1 .(9.18)114Н.
К. СМОЛЕНЦЕВВ случае почти комплексной структуры Jt = J0 (1+Pt )(1−Pt )−1 аналогично получаем для оператораKA = (Jt )t=0 :KA = 2J(1 − P )(1 − P 2 )−1 A(1 − P )−1 .(9.19)9.3. Комплексная структура пространства AM. Касательное пространство Tg AM в точке g ∈ AM состоит из всех симметричных J-антиэрмитовых 2-форм h на M , где J — почти комплексная структура, соответствующая метрике g.
Поскольку форма h антиэрмитова, т.е.h(JX, JY ) = −h(X, Y ), то 2-форма hJ, определенная равенством (hJ)(X, Y ) = h(X, JY ), такжеявляется симметричной и антиэрмитовой. Поэтому на каждом касательном пространстве Tg AMдействует оператор(9.20)Jg : Tg AM −→ Tg AM, Jg (h) = hJ.2Очевидно, что Jg = −1. Следовательно, на многообразии AM определена почти комплекснаяструктура J. С другой стороны, модельное пространство EndSJ0 (T M ) глобальной параметризацииΨAM имеет комплексную структуру: EndSJ0 (T M ) → EndSJ0 (T M ), A → AJ0 . Поэтому пространство AM является бесконечномерным комплексным многообразием.Теорема 9.3. Почти комплексная структура J на многообразии AM интегрируема.
Соответствующая комплексная структура и совпадает с комплексной структурой на AM,получаемой при параметризации ΨAM : PJ0 −→ AM.Действительно,dP ΨAM (A) = hA = 2g(1 − P )(1 − P 2 )−1 A(1 − P )−1 ,A → hA → hA J = 2g(1 − P )(1 − P 2 )−1 A(1 − P )−1 (1 − P )J0 (1 − P )−1 == 2g(1 − P )(1 − P 2 )−1 AJ0 (1 − P )−1 → AJ0 .Слабая риманова структура (a, b)g на AM является эрмитовой относительно комплексной структуры J.
Фундаментальная форма эрмитовой слабой римановой структуры(9.21)Ωg (a, b) = (aJ, b)g = tr(AJB)dμ.Mявляется замкнутой [224] невырожденной кососимметрической 2-формой на AM. Поэтому многообразие AM вляется кэлеровым.9.4. Локальные выражения. Уравнение Бельтрами. Пусть J0 — положительная ассоциированная почти комплексная структура и g0 — соответствующая ассоциированная метрика. Почти комплексная структура J0 определяет разложение T M C = T 10 (J0 ) ⊕ T 01 (J0 ) комплексификации T M Cкасательного расслоения T M , на подрасслоения T 10 (J0 ) и T 01 (J0 ), на которых комплексифицированный оператор J0 действует как умножение на i и −i соответственно.Пусть ∂1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
