Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Имеют место следующие взаимно однозначные соответствияFMs /Ds+1 = FMsΓ /IΓs+1 = FMsΓ /D.Хотя FMsΓ конечномерное многообразие, пространство FMsΓ /D не является многообразием, по : D × FMs → FMs не является свободным. В [242] Вольф явно описалскольку действие AΓΓsмножество FMΓ /D в виде двойного фактора. Например, если Γ — плоская риманова связность наторе T n , тоIΓ = T n · GL(n, R),FMΓ = O(n) \ GL(n, R),D = IΓ /I0Γ = GL(n, Z),FMΓ /D = O(n) \ GL(n, R)/GL(n, Z).В работе [109] найдены касательные пространства к многообразиям FMs и FMsΓ .ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК105Теорема 7.15. Для g ∈ FMs , s > n/2 + 1 пусть Γ(g) = Γ — связность Леви-Чивита g. ТогдаsTg FMsΓ = {h ∈ S2s ; ∇h = 0} = S2 – пространство параллельных симметрических 2-форм иsTg FMs = S2 ⊕ αg (Γs+1 (T M )).Теорема 7.16 (см.
[109]). Пусть gF ∈ FMs , s > n/2 + 1. Тогда существует окрестностьUgF ⊂ Ms такая, что если g ∈ UgF и s(g) 0, тогда g также является плоской.Теорема 7.17 (см. [109]). Пусть s > n/2 + 1, dim M 3, и если M 4, предположим чтоFMs = ∅. Тогда Ms0 = (Ms0 −FMs )∪FMs есть дизьюнктное объединение замкнутых гладкихподмногообразий Ms0 − FMs и FMs .Замечание. Если dim M = 2, то Ms0 = FMs также является гладким подмногообразием.8.РИМАНОВЫФУНКЦИОНАЛЫФункционалы на пространстве римановых метрик изучаются давно.
Еще Д. Гильберт показал[139], что уравнения общей теории относительности можно получить исходя из действия g →A(g) = M s(g)dμ(g), где s(g) — скалярная кривизна. Римановым функционалам посвящена глава4 книги Бессе [5]. Кроме того, имеется замечательный обзор Д. Блэра [63], в котором эта темазанимает достойное место. Поэтому в данной работе рассмотрим только основы этой теории.Определение 8.1.
Вещественная функция F на пространстве M называется римановым функционалом, если F (η ∗ g) = F (g) для любого диффеоморфизма η ∈ D и метрики g ∈ M.Таким образом, риманов функционал определен на фактор-пространстве M/D классов изометричных метрик.Определение 8.2. Риманов функционал F называется дифференцируемым, если он имеет дифференцируемое продолжение F : Ms → R при любом s r для некоторого целого r 0.Относительно слабого скалярного произведения (3.9) дифференциалу dg F соответствует по теореме Рисса вектор grad F , лежащий вообще говоря в пространстве H 0 (S2 (M )) 2-форм классаL2 . Нас будут интересовать те функционалы, для которых вектор grad F будет класса C ∞ .Определение 8.3. Риманов функционал F обладает градиентом в точке g, если существуетэлемент grad F ∈ S2 , такой, что для любого h ∈ S2 выполняется равенствоdg F (h) = (grad F, h)g .Если F обладает градиентом в каждой точке, то отображение g → grad Fg задает векторноеполе на M.
Риманов функционал принимает постоянное значение на каждой орбите Og , поэтомуего градиент ортогонален орбитам. Тогда из разложения Берже-Эбина следуетТеорема 8.1. Если риманов функционал F обладает градиентом точке g, тоδg (grad Fg ) = 0.Функционал F на пространстве M называется полностью инвариантным, если F (η ∗ g) = F (g)для любого диффеоморфизма η ∈ D и метрики g ∈ M и F (λg) = F (g) для любого λ ∈ R+и метрики g ∈ M. Риманово многообразие (M, g) называется критическим, если grad Fg = 0для любого гладкого полностью инвариантного функционала F : M → R.
В работе Д. Бликера[68] показано, что многообразие (M, g) является критическим тогда и только тогда, когда онооднородное изотропно неприводимое риманово многообразие.Простейшим римановым функционалом является полный объем Vol(M, g) риманова многообразия (M, g). В настоящее время известно достаточно много интересных римановых функционалов.Следуя Берже [54], определим следующие функционалы:B(g) = s(g)2 dμ(g),A(g) = s(g)dμ(g),MM| Ric(g)| dμ(g),2C(g) =M|R(g)|2 dμ(g),D(g) =M106Н. К. СМОЛЕНЦЕВгде dμ(g) — риманов элемент объема.
Уравнения для критических метрик этих функционалов напространстве M1 метрик единичного полного объема получены Берже [54]. Они имеют вид:Aij = cA gij ,Bij = cB gij ,Cij = cC gij ,Dij = cD gij ,где cA , cB , cC , cD — подходящие константы, а тензоры Aij , Bij , Cij , Dij задаются формулами1Aij = − Ric(g)ij + sgij ,21Bij = 2∇i ∇j s − 2∇t ∇t s gij − 2s Ricij + s2 gij ,211tttsCij = ∇i ∇j s − ∇t ∇ Ricij − ∇t ∇ s gij − 2Ritsj Ric + Ricts Ricts gij ,221Dij = 2∇i ∇j s − 4∇t ∇t Ricij +4 Ricit Rictj −4Ritsj Ricts −2Rtsri Rtsr j + Rtsrq Rtsrq gij .2В этих формулах компоненты тензора кривизны считаются определенными равенством Rijk l ∂l =[∇i , ∇j ]∂k . Константы принимают вполне определенные значения, например cA = n−22n s, а константаcD в уравнении Dij = cD gij критических точек функционала D имеет вид21 2cD = − ∇ t ∇ t s +−Rijkl Rijkl .n2 nКритические метрики, указанных выше функционалов рассматривались в работах [190,245] длямногообразий римановой субмерсии и для многообразий Сасаки.8.1.
Функционал полной скалярной кривизны A(g) = M s(g)dμ(g). Поскольку интеграл является линейным отображением, то для нахождения дифференциала функционала A(g) нужно продифференцировать подынтегральное выражение. Используя уже найденные выражения,dg s(h) = γg (h) = Δg (tr h) + δg δg h − g(h, Ric(g)), dg vol(h) = 12 tr Hμ(g) = 12 (h, g) и учитываядивергентный вид первых слагаемых в dg s(h), получаем для любого h ∈ S2 : 1(8.1)dg A(h) = g − Ric(g) + g, h dμ(g).2MПоэтому риманов функционал A(g) обладает градиентом и grad A(g) = − Ric(g) + 12 g.Функционал A(g) является однородным степени n/2 − 1.
Тогда функционалA(g)Vol(M, g)(n−2)/nявляется однородным степени 0, или полностью инвариантным.Обычно функционал A(g) рассматривают на пространстве M1 метрик одного полного объема,равного единице. Касательное пространство Tg M1 к многообразию M1 состоит из всех гладкихсимметричных 2-форм h с нулевым средним следом: M trg (h) dμg = 0, L2 -ортогональное дополнение к Tg M1 в пространстве S2 состоит из 2-форм, пропорциональных g, h = cg, c ∈ R.
Поэтомуимеет местоSc(g) =Теорема 8.2. Пусть M — замкнутое ориентируемое гладкое многообразие и M1 — пространство метрик одного полного объема, равного единице. Тогда метрика g ∈ M1 являетсякритической для функционала A(g) на M1 тогда и только тогда, когда g — эйнштейнова.Эйнштейновым метрикам посвящено энциклопедическое издание А.
Бессе [5].Вопрос о существовании критических точек функционала A(g) достаточно трудный. В размерности 4 имеется (см. напр. [5]) топологическое препятствие к существованию эйнштейновых метрик:|σ(M )| 23 χ(M ), где σ и χ — сигнатура и эйлерова характеристика соответственно. Вопрос отом, является ли эйншейнова метрика точкой минимума функционала A(g) решается отрицательно. Берже установил [54], что существуют такие эйншейновы метрики g, что функционалы A(g)и −A(g) имеют положительный индекс. Под индексом критической метрики понимается размерность пространства, на котором второй дифференциал d2 A(g) отрицательно определен.
ИндексПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК107считается положительным, если существует положительное число независимых направлений, накоторых d2 A(g) < 0. Муто [185] доказал, что что функционалы A(g) и −A(g) имеют положительный индекс в каждой критической точке. Известно, что inf g A(g) = −∞ при n = dim M 3.Поэтому не существует минимизирующей последовательности. Однако можно использовать минимаксную последовательность. А именно, минимизировать A(g) в конформном классе, а затеммаксимизировать среди конформных классов.
Более подробно об этом см. [45, 246]. При изучениипроблемы Ямабе существования метрики постоянной скалярной кривизны в конформном классе, вработах [5, 101, 213] установлены следующие факты.Теорема 8.3. Риманова метрика g является критической точкой функционала A(g) на конформном классе Pg тогда и только тогда, когда g имеет постоянную скалярную кривизну.Теорема 8.4 (см. [213]).
Для данного риманова многообразия (M, g) функционалSc(g) = A(g)/ Vol(M, g)(n−2)/n(8.2)достигает минимума в конформном классе Pg.Из теорем 8.3 и 5.4 следует [5]Теорема 8.5. Пусть g — риманова метрика постоянной скалярной кривизны c и такая, чтоs(g)/(n − 1) не является собственным значением оператора Лапласа.
Если g является критической точкой функционала A(g) на пространстве M1,c метрик постоянной скалярнойкривизны c и объема 1, то g — эйнштейнова.8.2. Функционал B(g) = M s(g)2 dμ(g). Данный функционал успешно использовался Калаби [77–79] при изучении экстремальных кэлеровых метрик. Пусть ω — кэлерова форма и [ω] ∈H 1,1 (M, R) — ее класс когомологий ДеРама. Рассмотрим множество M[ω] кэлеровых метрик, укоторых фундаментальная 2-форма принадлежит классу [ω].
Калаби определил экстремальныекэлеровы метрики как критические для функционала B(g) на пространстве M[ω] . Использованиеданного функционала мотивируется тем, что для класса метрик M[ω] полный объем Vol(M, g) иполная скалярная кривизна A(g) являются постоянными. Пдробнее об экстремальных кэлеровыхметриках см. §10 и книгу Бессе [5].Для функционала B(g) на пространстве M1 Ким [156] показал, что если M = B ×f F — компактное скрещенное произведение и g — критическая метрика, тогда либо многообразие являетсяримановым произведением, либо слой F имеет постоянную скалярную кривизну.8.3. Функционал D(g). Он определяется как интеграл от квадрата нормы тензора кривизныR(g),(8.3)D : M → R, D(g) = |R(g)|2 dμ(g).MФункционал D(g) рассматривался в работах Muto [186–190] и в работе Андерсона [45].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
