Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В работах [113, 114, 208]доказана известная теорема Альфорса о том, что пространство Тейхмюллера является кэлеровымотносительно метрики Вейля—Петерсона. В работе [231] показано, что метрика Вейля—Петерсонаявляется второй вариацией функционала энергии Дирихле, этой же теме посвящена работа [105].В работе [132] показано, что базис голоморфных дифференциалов и точки Вейерштрасса на римановой поверхности (M, J) непрерывно зависят от комплексной структуры J.
В работе Айхорна [98]геметрический подход к определению пространства Тейхмюллера распространен на случай открытой поверхности.Чтобы определить риманову и комплексную структуры на пространстве Тейхмюллера, обратимся к пространству A почти комплексных структур на многообразии M . Как уже отмечалось,96Н. К.
СМОЛЕНЦЕВкасательное пространство TJ A состоит из всех эндоморфизмов I ∈ Γ(T11 M ), антикоммутирующихс J: IJ = −JI. Пусть g(J) — единственная метрика постоянной отрицательной кривизны, равной-1, соответствующая J. Определим на пространстве A естественные почти комплексную структуруи слабую риманову структуру следующим образом [113, 114]: если I, I1 , I2 ∈ TJ A, тоJ : TJ A → TJ A, J(I) = J · I,(I1 , I2 )J = tr(I1 · I2 )dμg(J) .(5.21)(5.22)MЛегко видеть, что слабая риманова структура (5.22) является эрмитовой относительно почтикомплексной структуры (5.21). Обе они инвариантны относительно действия группы диффеоморфизмов D и поэтому определяют риманову и почти комплексную структуры на пространстве Тейхмюллера T = A/D0 .Теорема 5.18 (см. [113]). Естественная почти комплексная структура J на пространствеA индуцирует на пространстве Тейхмюллера T = A/D0 интегрируемую почти комплексную(и, следовательно, комплексную) структуру.Теорема 5.19 (см.
[114]). Слабая риманова структура (5.22) на пространстве A индуцируетна пространстве Тейхмюллера T = A/D0 гладкую риманову структуру. Данная римановаструктура эрмитова относительно естественной комплексной структуры на T , кэлерова иявляется метрикой Вейля—Петерсона на T .Подход к определению пространства Тейхмюллера с точки зрения римановой геометрии открывает новые возможности для обобщений пространства Тейхмюллера на случай многомерныхмногообразий.
Наиболее естественный путь обобщений связан с пространствами модулей кэлеровых многообразий. Это направление развивалось в работах [35, 117, 119, 120, 215–219]. Статья [35](на русском языке) является обзором данного направления. Она содержит изложение основныхидей, результатов и конструкций классической теории пространства Тейхмюллера, а также новыхдостижений и обобщений на основе геометрического подхода.
Другое направление обобщений было предложено и развивалось в серии работ Д. Блэра [57–60,64,65]. Оно основывается на изучениипространства ассоциированных метрик на симплектическом многообразии, этому направлению посвящены также работы [24–30, 224].6. ПРОСТРАНСТВОРИМАНОВЫХ ГЕОМЕТРИЙДве метрики g1 и g2 называются изометричными, если существует диффеоморфизм η многообразия M такой, что g2 = η ∗ g1 . Поэтому фактор-пространство M/D состоит из классов изометричныхметрик. Каждый класс определяет одну геометрию многообразия M , поэтому M/D называют пространством римановых геометрий, или суперпространством.
Пространство G = M/D интереснос математической и с физической точек зрения и исследовалось в работах [73, 93, 106–108]. Ксожалению, данное пространство многообразием не является. Дело в том, что группа диффеоморфизмов D действует не свободно. Элементы g ∈ M имеют группы изотропии Ig , которые зависятот g ∈ M. В работе [106] показано, что G = M/D стратифицировано многообразиями, причемкаждый страт может быть отмечен классом сопряженности группы изометрий в D. Развитию этихидей посвящена работа [73].Пусть G — компактная группа Ли преобразований многообразия M и пусть MG — множествометрик g, у которых группа изометрий есть в точности G. Если η — диффеоморфизм многообразия,то группа изометрий метрики η ∗ g есть сопряженная группа η −1 Gη. Поэтому под действием группыдиффеоморфизмов D на пространстве метрик M из множества MG получается множество M(G)метрик, у которых группа изометрий сопряжена к G в группе диффеоморфизмов.
В качестве страта, соответствующего классу групп, сопряженных G, берется множество R(G) = M(G) /D. Покане очевидно, что R(G) является ILH-многообразием. Доказательство этого факта основывается натом, что R(G) = MG /NG , где NG есть нормализатор группы G в группе диффеоморфизмов D.Легко видеть, что нормализатор NG состоит из диффеоморфизмов, которые оставляют на местеПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК97пространство MG : если η ∈ NG и g ∈ MG , то η ∗ g ∈ MG . Действительно, для ϕ ∈ G имеемϕ∗ (η ∗ g) = η ∗ g — это следует из того, что ηϕη −1 ∈ G. Достаточно легко понять, что пространствоMG является многообразием.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим линейный непрерывный оператор PG : Ss → S2 , который симметричной 2-форме ∗h ∈ S2 ставит в соответствие G-инвариантнуюформу, усредненную по группе G, h → h = G ϕ (h)dμG (ϕ). Тогда Ker(PG − Id) является векторным подпространством в S2 , а MG является открытым подмножеством в замкнутом выпукломположительном конусе M ∩ Ker(PG − Id).
Основываясь на этих фактах в работе [73] показано, чтоR(G) = MG /NG является ILH-многообразием. При этом проекция MG → R(G) является главнымG \ NG -расслоением. Многообразие M/D стратифицировано ILH-многообразиями R(G) , когда Gпробегает все классы сопряженных в D подгрупп изометрий.Известны два подхода к разрешению особенностей пространства G. Первый подход предложенв работах [73,93,106] и связан с фиксацией точки x на многообразии M . Для x ∈ M рассмотривается ILH-подгруппа диффеоморфизмов Dx = {η ∈ D; η(x) = x, dx η = Idx }. Поскольку изометрия,оставляющая неподвижной точку и имеющая в ней тождественный дифференциал, является тождественным преобразованием, то действие M × Dx → M свободное и Gx = M/Dx — многообразие.В работе А.
Фишера [108] предложен другой способ разрешения особенностей пространства Gоснованный на использовании расслоения реперов. Для пространства с особенностями G строитсямногообразие GF M такое, что существует проекция π : GF M → G непрерывная и открытая итакая, что для любого класса [g] ∈ G прообраз π −1 ([g]) является замкнутым подмногообразиемв GF M . Тогда пара (GF M , π) называется разрешением особенностей пространства G, а GF M —пространством разрешения. Слой π −1 ([g]) служит мерой особенности.Пусть F (M ) — расслоение реперов многообразия M .
Рассмотрим пространство M × F (M ) иследующее действие на нем группы диффеоморфизмовΦ : (M × F (M )) × D → M × F (M ),((g, u), η) → (η ∗ g, η ∗ u) ,(6.1)где u — репер, η ∗ u = η−1 u и η : F (M ) → F (M ) — естественное действие диффеоморфизма нарасслоении реперов. Данное действие Φ свободное.
Действительно, пусть (η ∗ g, η ∗ u) = (g, u). Тогда η ∈ Ig и поскольку η оставляет на месте репер u, то η = Id — это следует из классическогорезультата: изометрия, оставляющая на месте репер, является тождественным преобразованием.В работе [108] показано, что GF M = (M × F (M ))/D является ILH-многообразием, которое естественно проектируется на G, π : GF M → G, [(g, u)] → [g].
Кроме того, слой π −1 ([g]) диффеоморфен(n2 + n − k)-мерному многообразию орбит π −1 ([g]) ≈ Ig \ F (M ) левого действия группы Ig нарасслоении реперов F (M ), (η, g) → ηu, k = dim Ig .Если выбран репер u ∈ F (M ), то существует диффеоморфизм GF M → Gx , основанный натом факте, что D/Dx ≈ F (M ). Хотя пространства разрешения (не канонически) диффеоморфны,конструкция GF M более естественна, чем Gx , поскольку не требует фиксации точки и ограничениягруппы диффеоморфизмов до подгруппы Dx .Рассмотрим основные идеи и результаты работы [108]. Сначала приведем некоторые фактыгеометрии расслоения реперов.Пусть g — риманова метрика на M и ω — gl(n)-значнаяна F (M ) связности Леви-Чивита.n формаtiiПусть γ : gl(n) × gl(n) → R, γ(C, D) = tr(C · D) = i,j=1 Cj Dj . Метрика g, форма ω и скалярноепроизведение γ определяют естественную риманову метрику g на F (M ):g = (πF M )∗ g + γ · (ω ⊗ ω).(6.2)Таким образом, если u ∈ F (M ) и Z1 , Z2 ∈ Tu F (M ), тоgu (Z1 , Z2 ) = g (du πF M (Z1 ), du πF M (Z2 )) + γ(ω(Z1 ), ω(Z2 )).Проекция πF M : F (M ) → M является римановой субмерсией относительно g и g.Пусть Ig — группа изометрий метрики g иIg = Te (Ig ) = {X ∈ Γ(T M ); LX g = 0}(6.3)98Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
