Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Плоская структура на M определяется формулой(a, b)0 = tr(g0−1 ag0−1 b)dμ0 ,Mгде g0 — фиксированная риманова метрика на M и dμ0 = dμ(g0 ) — риманов элемент объема.(3.16)ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК3.4.2.Конформно плоская структура. Конформно плоская структура на M:a, bg = tr(g0−1 ag0−1 b)dμ(g),83(3.17)Mгде a, b ∈ S2 , g0 — фиксированная метрика на M. В отличие от предыдущего случая, элементобъема μ(g) зависит от g ∈ M. Он отличается от μ(g0 ) на гладкую положительную функцию:μ(g) = ρ(g)μ(g0 ).
Функцию ρ(g) будем называть плотностью римановой метрики g относительноg0 .3.4.3.Однородная структура.(a, b)g =tr(AB)dμ(g0 ).(3.18)Mгде a, b ∈ Tg M, g0 — фиксированная метрика на M , A = g −1 a.Слабая риманова структура (3.18) имеет следующие геометрические характеристики:1) ковариантная производная1∇a b = da b − (aB + bA) ;22) тензор кривизны1R(a, b)c = − g[[A, B], C];43) секционная кривизна Kσ в направлении площадки σ, заданной ортонормированной паройa, b ∈ Tg M:1tr [A, B]2 dμ(g0 );Kσ =4M4) геодезические, выходящие из точки g ∈ M в направлении a ∈ Tg M имеют видgt = g etA .Замечание 1.
Подмногообразие Mμ метрик g с одним и тем же элементом объема μ и подмногообразие Pg метрик, поточечно конформно эквивалентных g ∈ M являются вполне геодезическимив M относительно слабой римановой структуры (3.18).Замечание 2. Точно такие же данные получаются и для более общей слабой римановой структурыα −1.(a, b)g,α = tr(AB)dμ(g0 ) + α tr(A) tr(B)dμ(g0 ),MMЗамечание 3. Слабая риманова структура (3.18) имеет простые формулы для ковариантной производной, кривизны и геодезических.
Подмногообразия Mμ и Pg являются вполне геодезическимив M. Недостатком структуры (3.18) является ее неинвариантность относительно действия группыдиффеоморфизмов D многообразия M .3.4.4. Общая каноническая структура. Рассмотрим слабую риманову структуру, более общую,чем каноническая,α(3.19)(a, b)g = tr(AB)dμ(g) + α tr(A) tr(B)dμ(g).MMОна положительно определена при α −1, невырождена если α = −1. При α = 0 — это каноническая метрика Если α = −1, то (3.19) называется метрикой Де Витта, ей посвящена работа [206].Если α = −1, то метрика Де Витта возникает при гамильтоновом описании общей теории относительности [86].
Данная сабая риманова структура (3.19) имеет имеет геометрические характеристики, аналогичные тем, которые были установлены в теореме 3.2 для канонической структуры.84Н. К. СМОЛЕНЦЕВ1) Ковариантная производная:111(tr(AB) + α tr(A) tr(B)) g.∇αa b = da b − (aB + bA) + (tr(A)b + tr(B)a) −244(1 + αn)2) Тензор кривизны:1n1tr(C) (tr(A)b − tr(B)a) +Rα (a, b)c = − g[[A, B], C] −(a, c)αx bT − (b, c)αx aT ,41616(1 + αn)где (a, c)αx = tr(AC) + α tr(A) tr(C), bT = b − n1 tr(B)g — бесследовая часть тензора b.3) Секционная кривизна Rσα в направлении площадки σ, заданной ортонормированной паройa, b ∈ Tg M:1ntr([A, B])2 dμ(g) −Kσα =(a, a)αx (b, b)αx − ((a, b)αx )2 dμ(g)+416(1 + αn)MM1tr(A2 ) tr2 (B) + tr(B 2 ) tr2 (A) − 2 tr(A) tr(B) tr(AB) dμ(g).+16M4) Геодезические на M = V × Mμ , выходящие из точки (μ, g) ∈ V × Mμ в направлении (β, b) ∈Γ(Λn M ) × S2T имеют вид тот же самый вид (3.14).3.4.5.
Нериманова связность. Рассмотрим связность на M, которая занимает промежуточноеположение между римановой свяэностью ∇ п. 3.4.3 и канонической связностью ∇0 . Она определяется следующей ковариантной производной [29]:11∇a b = da b − (aB + bA) + (tr(A)b + tr(B)a) .28Легко видеть, что билинейная формаQ(a, b) = tr(A) tr(B)dμ(g)(3.20)Mинвариантна относительно ∇: aQ(b, c) = Q(∇a b, c) + Q(b, ∇a c).Теорема 3.3 (см.
[29]). Тензор кривизны связности ∇ выражается формулой11R(a, b)c = − g[[A, B], C] −(tr(A)b − tr(B)a) tr(C).464Геодезические на M, выходящие из точки g ∈ M в направлении A0 = 4βn I +B, tr(B) = 0 имеютвид:(βt + 1)4/n g exp β1 ln(βt + 1)B , β = 0,gt =g exp(Bt),β = 0.Другие слабые римановы структуры рассматривались в работе [29]. В работе [192] исследоваласьгеометрия подмногообразий пространства метрик относительно общей канонической структуры вформеc(a, b)g = (tr(A0 B0 )dμ(g) + c tr(A) tr(B)) dμ(g),Mгде A0 , B0 — бесследовые части.
Рассмотрены подмногообразия конформно эквивалентных метрик, подмногообразие Mμ метрик, имеющих одинаковый элемент объема и подмногообразие M1метрик одного и того же полного объема. Получены выражения вторых фундаментальных формподмногообразий, выражения для ковариантных производных и геодезических. Найден гессианфункционала полной скалярной кривизны, в том числе и на подмногообразиях .ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК853.5.
Сильная риманова структура на пространстве метрик M. Метрика g ∈ M позволяетопределить более сильное скалярное произведение на пространстве Γ(Tqp M ) тензорных полей типа(p, q). Пусть s — целое неотрицательное число и T1 и T2 — тензорные поля типа (p, q). Тогдаs s(i)∇(i)(T1 , T2 )g =T,∇T,12gggi=0(i)где ∇g = ∇g ◦ · · · ◦ ∇g — i-я степень ковариантной производной римановой метрики g и(i)(i)g(∇g T1 , ∇g T2 ) — скалярное произведение тензоров, определеннное метрикой g на M (см. формулу (1.6)).
В частности, для элементов a, b ∈ Tg M (являющихся тензорными полями типа (0,2))имеемss s(i)(i)(i)(a, b)g =(∇g a, ∇g b)g =g(∇(i)(3.21)g a, ∇g b) dμg .i=0i=0 MПри s > n/2 + 1 последняя формула определяет скалярное произведение в Tg Ms . Учитывая, чтопространство S2s есть пополнение пространства S2 относительно топологии, определенной скалярным произведением (3.21) и то, что топология в S2s не зависит от выбора метрики g на M , мыполучаем, что скалярное произведение (3.21) в Tg Ms соответствует топологии этого пространства.Поэтому формула (3.21) определяет (настоящую) риманову структуру на гильбертовом многообразии Ms .Точно так же, как и в случае слабой римановой структуры, показывается инвариантность сильной римановой структуры (3.21) относительно действия группы Ds+1 . Гладкая зависимость сильнойримановой структуры (3.21) от g ∈ Ms вытекает из теоремы Н.
Коисо [163] (см. теорему 7.2 из§ 7).4. ТЕОРЕМАО СРЕЗЕ4.1. Орбиты действия группы диффеоморфизмов на M. Для гладкой метрики g ∈ M отображениеAg (η) = η ∗ g(4.1)Ag : Ds+1 −→ Ms ,является [93] гладким отображением гильбертовых многообразий. Образом отображения Ag является орбита Ogs метрики g под действием группы диффеоморфизмов. Касательное пространство корбите Tg Ogs состоит из симметричных 2-форм h вида h = LX g, где X ∈ Γs+1 (T M ). Из разложенияБерже-Эбина следует, что касательное пространство к орбите Tg Ogs замкнуто в пространстве S2s .Тем не менее, мы не можем сразу сделать вывод о том, что орбита является подмногообразием.Во-первых, отображение (4.1) не взаимно однозначо — у элемента g может быть нетривиальнаягруппа изотропии (группа изометрий).
Во-вторых, нужно доказывать также замкнутость орбиты.Это проблемы решены в работе Д. Эбина [93].Пусть Ig группа изометрий метрики g ∈ M. Как известно [200], C 1 -диффеоморфизм, которыйявляется изометрией гладкой метрики является гладким. Поэтому Ig ⊂ D и является компактнойгруппой Ли.
Из свойств (G4) и (G6) группы диффеоморфизмов (см. §2) следует, что Ig является гладким подмногообразием в Ds при s > n/2 + 1. Более того, каждый класс Ig η являетсягладким подмногообразием в Ds . Поскольку группа Ig является компактной группой Ли, состоящей из гладких диффеоморфизмов, то по свойству (G4) группы диффеоморфизмов левое действиеIg ×Ds → Ds группы Ig на гильбертовом многообразии Ds является гладким и свободным.
Следовательно определено фактор-пространство Ds /Ig правых классов смежности и оно является гладкимгильбертовым многообразием [93]. Пространство D/Ig есть ILH-многообразие.Предложение 4.1 (Д. Эбин, [93]). Отображение π : Ds → Ds /Ig допускает гладкое локальное сечение в окрестности любого класса Ig η.Отображение Ag : Ds+1 → Ms ,Ag (η) = η ∗ g определяет отображениеφg : Ds+1 /Ig → Ms ,φg (Ig η) = η ∗ g.(4.2)86Н.
К. СМОЛЕНЦЕВТеорема 4.2 (Д. Эбин, [93]). Пусть s > n/2 + 2. Отображение φg : Ds+1 /Ig → Ms являетсягладким и инъективным. Образ Ogs отображения φg является гладким замкнутым подмногообразием, диффеоморфным Ds+1 /Ig .Доказательство следует из ряда лемм [93]. Основная трудность заключается в доказательствезамкнутости орбиты Ogs действия A.Лемма 1.
Для любой последовательности диффеоморфизмов {ηm } ∈ Ds+1 и конечного множества точек {pi } из M существует подпоследовательность {ζn } из {ηm } и точки {qi } такие,что что для каждого i, последовательность dζn (pi ) сходится к qi .∗ (g) →Лемма 2. Пусть g, g ∈ Ms и {ηm } есть последовательность в Ds+1 такая, что ηmg .
Тогда для любого конечного набора векторов {Vi } из T M существуют векторы {Wi } иподпоследовательность {ζn } из {ηm }, что для любого i, dζn (Vi ) → Wi . При этом, если Vi = 0,то Wi = 0.Пусть K — максимум длин векторов Vi относительно g , K = max{g (Vi , Vi )1/2 }. Поскольку→ g , для каждого i, то g(dηm Vi , dηm Vi ) → g (Vi , Vi ). Поэтому для достаточно больших m,g(dηm Vi , dηm Vi )1/2 2K. Пусть∗ (g)ηmS2K (M ) = {V ∈ T M ; g(V, V )1/2 2K}.Множество S2K (M ) компактно и для больших m, dηm Vi ∈ S2K (M ).
Тогда существует требуемаясходящаяся подпоследовательность. Если Vi = 0 и Wi = 0, тогда ζk∗ (g)(Vi , Vi ) → 0 и g (Vi , Vi ) = 0,что невозможно.Лемма 3. Пусть exp : T M → M — экспоненциальное отображение метрики g и expm :∗ (g). ТогдаT M → M — экспоненциальное отображение метрики ηmηm ◦ exp = expm ◦dηm .∗ (g) →Лемма 4. Пусть g, g ∈ Ms и {ηm } есть последовательность в Ds+1 такая, что ηmПусть exp : T M → M — экспоненциальное отображение метрики g .
Тогда expm → expравномерно вместе с первыми производными на компактных подмножествах из T M .g .∗ (g) → g в C 2 M. Поэтому символы Кристоффеля ΓkПоскольку s > n/2 + 2, то ηmmij метрикиk∗1ηm (g) сходятся в C к символам Кристоффеля Γmij метрики g . Поскольку expm и exp естьk, то expm → exp в C 1 нарешения дифференциального уравнения с коэффициентами Γkmij и Γmijкомпактных подмножествах T M .Следующая лемма утверждает замкнутость орбиты Ogs в Ms .∗ (g) → g .Лемма 5. Пусть g, g ∈ Ms и {ηm } — последовательность в Ds+1 такая, что ηmТогда {ηm } имеет подпоследовательность {ζk } сходящуюся в Ds+1 , ζk → ζ ∈ Ds+1 .Доказательство. Поскольку M компактно, то существует число ε > 0, такое, что любой шар вM (относительно g) радиуса меньше ε лежит в некоторой нормальной координатной окрестностимногообразия M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
