Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 26
Текст из файла (страница 26)
[111]). Пусть dim M 3, g ∈ Ms+r и C s g – орбита действия группы C s =× P s на пространстве Ms . Тогда C s g ⊂ Ms есть замкнутое подмногообразие класса C rс касательным пространствомDs+1Tg (C s g) = {LX g + f g; X ∈ Γs+1 (T M ), f ∈ H s (M, R)}.Теорема 5.7 (см. [111]). Пусть dim M 3 и g ∈ Ms+r , r 1. Тогда действие C s на Msдопускает срез Sgs , т.е Sgs есть замкнутое подмногообразие, содержащее g и такое, чтоp), Sgs ) = Sgs ,1) если (η, p) ∈ Cgs , то A((η,s2) если (η, p) ∈ C и A((η,p), Sgs ) ∩ Sgs = ∅, то (η, p) ∈ Cgs ,3) Существует локальное сечение χ : C s /Cgs −→ C s , определенное в окрестности U s единичного элемента факторпространства, такое, что отображениеF : U s × Sgs −→ Ms ,F ([η, p], g1 ) = A(χ[η,p], g1 )есть гомеоморфизм на окрестность V s элемента g ∈ Ms .В работе [111] изучается также действие группы конформизмов C на кокасательном расслоенииT ∗ M.g (η, p) = pη ∗ g имеет вид:g : C s → Ms , AДифференциал в единице орбитного отображения Ag = τg : Γs+1 (T M ) × H s (M, R) → S2s ,d(e,1) Aτ (X, f ) = LX g + f g.(5.11)ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК93Сопряженный оператор к τg есть [111]:τg∗ : S2 → Γ(T M ) × F,h → (2δg h, trg h).(5.12)Ядро Ker τg∗ оператора τg∗ состоит из бездивергентных и бесследовых симметричных 2-форм h:Ker τg∗ = S2T T = {h ∈ S2 ; δg h = 0, trg h = 0}.(5.13)Символ оператора τg есть σt (τg )(X, u) = ug + t ⊗ X + X ⊗ t, где X — 1-форма, соответствующаявектору X относительно скалярного произведения g.
Легко видеть, что при dim M 2 символоператора τg иньективен. Поэтому имеет место разложение Берже-Эбина S2 = Im τg ⊕ Ker τg∗ .Комбинируя это разложение с ортогональным поточечным разложением (5.2), S2 = Fg ⊕ S2T , мыполучаем более тонкое разложениеS2 = S2T T ⊕ Fg ⊕ (S2T ∩ Im τg ),12h = hT T + (trg h)g + LX g − div(X)g ,nn(5.14)(5.15)которое называется разложением Йорка. Следующее предложение выясняет смысл последнегослагаемого S2T ∩ Im τg в разложении (5.14).Предложение 5.8 (см. [111, 247]).
Пусть g ∈ Ms+r . Тогда C s g ∩ Msμ(g) является подмногообразие класса C r в Ms с касательным пространствомTg (C s g ∩ Msμ(g) ) = S2T,s ∩ Im τg = {h = LX g −2div(X)g; X ∈ Γs+1 (T M )}.nКроме того имеет место разложениеTg (Cg) = Tg (Pg) ⊕ Tg (Cg ∩ Mμ(g) ).(5.16)Таким образом слагаемое S2T ∩ Im τg представляет инфинитизимальные деформации метрики g,которые сохраняют конформный класс и элемент объема.5.3.
Случай двумерного многообразия. В работе [112] изложенные выше идеи применяютсядля изучения пространства римановых метрик на компактной римановой поверхности M родабольше единицы. Дано описание пространства Тейхмюллера T как факторпространства M/C0 ,где C0 = D0 × P и D0 — связная компонента единицы группы диффеоморфизмов. Предложенныеконструкции является геометрически естественными и позволяют, в частности, дать простое доказательство кэлеровости пространства Тейхмюллера (см.
также [208]).Отметим особенности двумерного случая. Во-первых, пространство конформных структур M/Pестественно отождествляется с пространством почти комплексных структур A на M . Далее, каждая почти комплексная структура на M является на самом деле комплексной [9]. Кроме того, еслирод поверхности M больше единицы, то группа изометрий Ig является дискретной.Определение 5.1. Почти комплексной структурой (п.к.с.) на многообразии M называется эндоморфизм касательного расслоения J : T M → T M , удовлетворяющий условию: J 2 = −I, где I —тождественный автоморфизм.Пусть A — пространство всех гладких почти комплексных структур, задающих ту же ориентацию на M , что и заданная.
Для s > n/2 пусть As — пространство почти комплексных структурсоболевского класса гладкости H s . Поскольку пространство As является пространством сеченийконечномерного гладкого расслоения, то As является гладким гильбертовым подмногообразиемгильбертова пространства H s (T11 M ). Касательное пространство TJ As состоит из всех эндоморфизмов I ∈ H s (T11 M ), антикоммутирующих с J: IJ = −JI.Для двумерного многообразия M пространство Тейхмюллера T определяется как факторпространство A/D0 , где D0 — связная компонента единицы группы диффеоморфизмов. Изучениюпространства почти комплексных структур A и пространства Тейхмюллера T = A/D0 посвященыработы: [90, 113, 114, 208, 230]. Удобно с почти комплексной структурой J ∈ A связать риманову94Н. К.
СМОЛЕНЦЕВметрику g постоянной отрицательной кривизны. Это позволяет ввести ковариантное дифференцирование и использовать развитые методы римановой геометрии. Данному, более геометрическому,подходу посвящены работы [112, 115, 231]. Рассмотрим его подробнее.Теорема 5.9 (см. [112]). Пусть dim M = 2, s > n/2 = 1.
Тогда многообразие Ms /P s диффеоморфно As . Таким образом, пространство H s -конформных структур диффеоморфно пространству положительно ориентированных почти комплексных структур на M .В основе доказательства лежит следующее отображение, связывающее с метрикой g п.к.с. J:Φ : Ms → H s (T11 M ),g → −g −1 μg ,(5.17)где μg — риманов элемент объема, g −1 μg — операция поднятия первого индекса у кососимметрической 2-формы μg .Другая модель для пространства Ms /P s конформных структур связана с метриками постояннойотрицательно кривизны. Пусть dim M = 2 и род d > 1. Для метрики g ∈ Ms , s > n/2+1 = 2, пустьs(g) ∈ H s−2 (M, R) — скалярная кривизна метрики g.
Обозначим Ms−1 = {g ∈ Ms ; s(g) = −1}пространство H s -римановых метрик постоянной скалярной кривизны, равной -1. Поскольку родповерхности M больше единицы, Ms−1 непусто.Теорема 5.10 (см. [112]). Пусть dim M = 2, s > n/2 + 1 = 2 и род d > 1. Тогда Ms−1 естьнепустое замкнутое C ∞ -подмногообразие в Ms с касательным пространством Tg Ms−1 , равным Ker dg s(g) ядру дифференциала отображения скалярной кривизны.Напомним, что dg s(g)(h) = Δ(trh ) + δg δg h + (trg h)/2. Отметим, что если s(g) = −1, то длялюбого диффеоморфизма η, s(η ∗ g) = −1.
Поэтому пространство M−1 инвариантно относительно действия группы диффеоморфизмов D. Если род поверхности M больше единицы, то группаизометрий Ig является дискретной. Отсюда следует, что связная компонента единицы D0 группы диффеоморфизмов не содержит изометрий, отличных от тождественного. Поэтому действиеD0 × M−1 → M−1 является свободным.Теорема 5.11 (см. [112]).
Пустьортогональную прямую суммуg∈Ms+2−1 .ТогдаTg Ms−1 = (S2s )T T ⊕ Im αg ,Tg Ms−1раскладываетсявL2 (5.18)где (S2s )T T (g) = {h ∈ S2s ; δg h = 0, trg h = 0}. Другими словами, каждый элемент h ∈ Tg Ms−1можно представить в видеh = hT T + LX gдля некоторого (единственного) векторного поля X ∈ Γs+1 (T M ).
Разложение имеет место ив случае s = ∞.Теорема 5.12 (см. [112]). Пусть dim M = 2, d > 1, 2 < s ∞ и g ∈ Ms . Тогда существуетединственная функция p ∈ P s такая, чтоs(pg) = −1.(5.19)Другими словами, каждая метрика g ∈ Ms поточечно конформно эквивалентна единственнойметрике постоянной скалярной кривизны, равной -1 и конформный сомножитель единственный.Кроме того, для g ∈ Ms единственное решение p(g) уравнения (5.19) гладко зависит от g.Из этой теоремы сразу вытекает следующий результат.Теорема 5.13 (см.
[112]). Пусть dim M = 2, d > 1, s > 2. C ∞ -многообразия Ms /P s и Ms−1Диффеоморфизм π : Ms−1 → Ms /P s является эквивариантным относительно действия группы диффеоморфизмов Ds+1 на пространствах Ms−1 и Ms /P s .C ∞ -диффеоморфны.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК95Поскольку диффеоморфизм Φ : Ms /P s → As также Ds+1 -эквивариантен, то мы получаем Ds+1 эквивариантный диффеоморфизм многоообразий Ms−1 и As :Ms−1 → Ms /P s → As .Следовательно, T = A/D0 = M−1 /D0 . Пространство метрик M−1 более удобно для исследованиянашими методами. Можно показать, что орбита Ogs есть замкнутое подмногообразие в Ms−1 идоказать теорему о срезе для действия группы диффеоморфизмов Ms−1 × D0s+1 → Ms−1 , (g, η) →η ∗ g, s > 2 [112].
Из теоремы 5.11 следует, что касательным пространством к срезу будет пространство (S2s )T T . Поэтому сначала дадим его описание.Теорема 5.14 (см. [112]). Пусть dim M = 2, g ∈ Ms+1 , s 2. Тогда(S2s )T T (g) = {h ∈ S2s ; δg h = 0, trg h = 0}является конечномерным линейным пространством. Если g ∈ M — гладкая риманова метрика,то (S2s )T T (g) = S2T T (g) — пространство бездивергентных бесследовых гладких симметричных2-форм на M .Симметричную 2-форму на M в теории римановых поверхностей принято называть квадратичным дифференциалом. Как уже упоминалось, почти комплексная структура J на M является комплексной.
Пусть Q(J) — пространство квадратичным дифференциалов, голоморфных относительнокомплексной структуры J. Элементы пространства Q(J) локально в комплексном параметре имеютвид f (z)dz 2 , где функция f (z) голоморфна.Теорема 5.15 (см. [112]). Пусть dim M = 2 и род d > 1. Предположим, что g ∈ M иJ = −g −1 μg — положительно ориентированная комплексная структура, ассоциированная сg. Тогда S2T T (g) канонически изоморфно пространству Q(J) голоморфных квадратичных дифференциалов. Соответствие между элементами hT T и голоморфными дифференциалами вконформной системе координат z = x + iy на M имеет видhT T = u dx2 − 2v dxdy − u dy 2 = Re{(u + iv)(dx + idy)2 }.(5.20)Доказательство основано на том, что на двумерном многообразии M бесследовая симметричная2-форма h может быть записана локально в конформной системе координат z = x + iy в видеh = u dx2 − 2v dxdy − u dy 2 .
Далее, уравнение δg h = 0 эквивалентно условиям Коши-Риманадля функции f = u + iv. Поэтому квадратичный дифференциал (u + iv)(dx + idy)2 являетсяголоморфным.Теорема 5.16 (см. [112]). Пусть dim M = 2 и род d > 1. Тогда фактор-пространство T =M−1 /D0 является гладким конечномерным многообразием размерности 6d − 6, для которогокасательное пространство T[g] M−1 /D0 изоморфно S2T T (g).Следствие 5.17 (см. также [115]). Пространство T = M−1 /D0 является стягиваемым.Предложенный подход к определению пространства Тейхмюллера с точки зрения римановойгеометрии позволяет получить основные результаты теории пространства Тейхмюллера. В частности, в работе [115] дано непосредственное доказательство того, что пространство Тейхмюллерадиффеоморфно R6d−6 . В работе [230] показано, что пространство Тейхмюллера имеет отрицательную секционную кривизну и получены известные оценки кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
