Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 33
Текст из файла (страница 33)
. . , ∂n — локальный базис сечений расслоения T 10 (J0 ), dz 1 , . . . , dz n — дуальный базисрасслоения T ∗10 (J0 ) и ∂ 1 , . . . , ∂ n — комплексно сопряженный базис сечений расслоения T 01 (J0 ),dz 1 , . . . , dz n — дуальный базис T ∗01 (J0 ).Из J0 -эрмитовости метрики g0 следует, чтоgαβ = g0 (∂α , ∂β ) = 0,gαβ = g0 (∂ α , ∂ β ) = 0,α, β = 1, . . . , n.Остальные компоненты метрического тензора,gαβ = g0 (∂α , ∂ β ),gαβ = g0 (∂ α , ∂β ),α, β = 1, .
. . , n,обладают свойствамиgαβ = gβα ,gαβ = gβα ,которые вытекают из симметричности и эрмитовости метрики g0 . Тогда g0 = 2gαβ dz α dz β .Пусть теперь J — другая положительная ассоциированная почти комплексная структура. ТогдаJ = J0 (1 + P )(1 − P )−1 , где P : T M → T M симметричный эндоморфизм, антикоммутирующий сJ0 , удовлетворяющий условию положительности 1 − P 2 > 0.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК115Поскольку J0 (P (∂α )) = −P J0 (∂α ) = −P (i∂α ) = −iP (∂α ), то P (∂α ) является локальным сечением расслоения T 01 (J0 ), поэтому P (∂α ) = Pαβ ∂ β , α, β = 1, .
. . , n, где Pαβ – матрица комплекснозначных функций. Таким образом, оператор P в комплексном базисе локально задается матрицейвида:0 Pαβ, Pαβ = Pαβ .(9.22)P =βPα 0Условие симметричности оператора P выражается соотношением Pαβ = Pβα , где Pαβ = gαγ Pβγ .Инвариантная запись оператора P :P = Pαβ ∂ β ⊗ dz α + Pαβ ∂β ⊗ dz α .(9.23)∂fВ классическом уравнении Бельтрами [90] ∂f∂z − μ ∂z = 0 коэффициент μ имеет геометрический∂смысл тензорного поля на римановой поверхности M вида: μ = μ ∂z⊗ dz. Инвариантная запись(9.23) оператора P имеет точно такой же смысл.
Поэтому многомерное обобщение уравненияБельтрами имеет следующий вид:∂ α (J)(f ) =∂f∂f− Pαβ= 0,α∂z∂z βα = 1, . . . , n,(9.24)где f — функция на M .Положительнвая ассоциированная почти комплексная структура J = J0 (1 + P )(1 − P )−1 определяет другое разложение комплексификации T M C , T M C = T 10 (J) ⊕ T 01 (J). Зависимость этогоразложения от J становится ясной, если использовать оператор P .Предложение 9.4. Если J = J0 (1 + P )(1 − P )−1 , тоT 10 (J) = (1 − P )(T 10 (J0 )),T 01 (J) = (1 − P )(T 01 (J0 )).(9.25)∂ α (J) = ∂ α − Pαβ ∂β(9.26)Векторные поля∂α (J) = ∂α − Pαβ ∂ β ,образуют локальные базисы сечений расслоенийT 10 (J)иT 01 (J)соответственно.Следствие 9.5. Дуальные базисы форм dz1 (J), .
. . , dzn (J) и dz 1 (J), . . . , dz n (J) для базисоввекторных полей ∂1 (J), . . . , ∂n (J) и ∂ 1 (J), . . . , ∂ n (J) имеют следующие выражения:(9.27)dz α (J) = Dγα dz γ + Pβα dz β , dz α (J) = Dγα dz γ + Pβα dz β ,где Dγα — матрица оператора D = (1 − P 2 )−1 : T 10 (J0 ) −→ T 01 (J0 ).Предположим, для простоты что п.к.с. J0 интегрируема и z 1 , . . . , z n — соответствующие комплексные локальные координаты на M . Пусть в этих координатах эрмитова форма, соответствующая римановой структуре g0 имеет вид g0 = 2gαβ dz α dz β .
Тогда из (9.27) получаем следующеелокальное выражение для эрмитовой формы ассоциированной метрики g:g = 2gαβ Dγβ dz α + Pσα dz σ dz γ + Pνγ dz ν .(9.28)9.5. Кривизна пространства ассоциированных метрик. Многообразие AM, является гладкимILH-подмногообразием в M [93] и наследует слабую риманову структуру. Если a, b ∈ Tg AM —две гладкие симметричные 2-формы на M , представляющие элементы касательного пространстваTg AM, то(a, b)g =tr AB dμ,(9.29)Mg −1 ag ik akj .Поскольку1 n=в (9.29) элемент объема не зависит от g, μg = n!ω = μ, то будетгде A =удобнее использовать на всем пространстве M другую слабую риманову структуру, определеннуюформулой (3.18) из § 3. В этом случае подмногообразие AM ⊂ M является вполне геодезическимв M, при этом геодезические на AM имеют вид gt = getA . Отсюда следует, в частности, что116Н.
К. СМОЛЕНЦЕВотображение EAM : EndSJ0 (T M ) −→ AM, P → g = g0 eP , g(X, Y ) = g0 (X, eP Y ) задает нормальные координаты на пространстве AM в окрестности элемента g0 . Из вполне геодезичностии из свойств структуры (3.18) мы получаем, что ковариантная производная и тензор кривизныпространства AM имеют вид:11(9.30)∇a b = da b − (aB + bA) , R(a, b)c = − g [[A, B], C].24Последняя формула обеспечивает простое выражение для секционных кривизн многообразия AM.голоморфная секционная кривизна определяется формулой K(a, Ja) = В частности,14− 4a2 M tr(A )dμ.Представляет интерес также выражение метрики и кривизны пространства AM в глобальнойпараметризации ΨAM : PJ0 −→ AM, P → g = g0 (1 + P )(1 − P )−1 найденое в работе [224].Теорема 9.6.
Пространство AM имеет следующие геометрические характеристики.1) Скалярное произведение задается формулой:(9.31)(A, B)P = 4 tr (1 − P 2 )−1 A(1 − P 2 )−1 B dμ,Mгде A, B ∈ TP PJ0 = EndSJ0 (T M ).2) Ковариантная производная векторных полей, заданных (постоянными) операторами Aи B:(9.32)∇A B = AP (1 − P 2 )−1 B + BP (1 − P 2 )−1 A.3) Тензор кривизны имеет вид:R(A, B)C = −(1 − P 2 ) (1 − P 2 )−1 A, (1 − P 2 )−1 B , (1 − P 2 )−1 C ,(9.33)где A, B, C ∈ TP PJ0 = EndSJ0 (T M ).4) Секционная кривизна Kσ в направлении площадки σ, заданной ортонормированной паройA, B находится по формуле:2 Kσ = tr (1 − P 2 )−1 A, (1 − P 2 )−1 Adμ.(9.34)MВ частности, голоморфная секционная кривизна имеет вид:4 dμ.K(A, AJ0 ) = − tr (1 − P 2 )−1 A(9.35)M5) Геодезические, выходящие из точки g0 в направлениях A ∈ EndSJ0 (T M ) представляютсобой кривые P (t) на области PJ0 вида:−1 tAP (t) = tanh(tA) = etA + e−tAe − e−tA .(9.36)В работах [32, 224] найдены секционные кривизны пространства AM ассоциированных метрикна сфере и на двумерном торе.
Показано, в частности, что голоморфная секционная кривизна1— в случае сферы и K(a, Ja) ограничена сверху отрицательной константой, K(a, Ja) − 8π1− 8π2 — для тора.9.6. Разложение пространства ассоциированных метрик. В параграфе 3 определена проекция vol : M → V, g −→ μg , которая метрике g ∈ M ставит в соответствие риманов элементобъема μg .
Слоем расслоения vol над μ ∈ V является пространство Mμ метрик с одним и тем жеримановым элементом объема μ. Фиксация элемента объема μ определяет разложение простран2ства M в прямое произведение ϕμ : M → V × Mμ , g −→ (μg , ρ− m g), где ρ — плотность элементаобъема μg относительно μ, т.е. функция на M , определяемая из равенства μg = ρμ. При такомразложении пространство V элементов объема соответствует пространству метрик Pg, конформно2эквивалентных фиксированной метрике g ∈ Mμ , V × {g} → Pg, ν −→ ρ m g.
Таким образом,пространство всех римановых метрик на многообразии M раскладывается в прямое произведениеПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК117пространства метрик с фиксированным римановым элементом объема и пространства поточечноконформно эквивалентных метрик. Аналогичная конструкция возможна в случае симплектического и контактного многообразий.Симплектическая форма ω на многообразии M определяет следующую известную проекциюпространства M на AMω . Пусть g ∈ M — любая метрика.
Существует единственный кососимметрический автоморфизм A касательного расслоения T M , такой, что:ω(X, Y ) = g (AX, Y ),AT = −A.К эндоморфизму A применяем полярное разложение A = JH, где J – ортогональный и H —положительный симметрический операторы. Эндоморфизм −A2 = AT A = AAT является по1ложительно определенным и симметрическим относительно g . Тогда H = (−A2 ) 2 — положительный квадратный корень из −A2 . Как известно, он коммутирует с операторами A и J.1Полагаем J = A(−A2 )− 2 .
Легко проверяется, что J является почти комплексной структурой,11J 2 = A(−A2 )− 2 A(−A2 )− 2 = A2 (−A2 )−1 = −I. Формула g(X, Y ) = ω(X, JY ) определяет римановуметрику на M . Действительно,1g(X, Y ) = ω(X, JY ) = g (AX, JY ) = g (AX, A(−A2 )− 2 Y ) =11= g (X, (−A2 )(−A2 )− 2 Y ) = g (X, (−A2 ) 2 Y ).1Поскольку оператор (−A2 ) 2 положительный и симметрический, то g является римановой метрикой.Отсюда также следует положительность почти комплексной структуры J: ω(X, JX) = g(X, X) > 0.Метрика g является J-эрмитовой:1g(JX, JY ) = ω(JX, −Y ) = −g (AJX, Y ) = −g (AA(−A2 )− 2 X, Y ) =11= g ((−A2 ) 2 X, Y ) = g (X, (−A2 ) 2 Y ) = g(X, Y ).Симплектическая форма ω также J-инвариантна: ω(JX, JY ) = g(JX, Y ) = −g(X, JY ) =−ω(X, J 2 Y ) = ω(X, Y ). Следовательно, J является положительной ассоциированной почти комплексной структурой, а метрика g(X, Y ) = ω(X, JY ) — ассоциированной метрикой, соответствующей структуре J.Мы получили искомую проекциюpω : M −→ AMω ,g → g,1g(X, Y ) = g (X, (−A2 ) 2 Y ).(9.37)Поскольку оператор J по построению является ортогональным относительно g , то метрика g также является эрмитовой относительно п.к.с.
J. Можно показать, что слой p−1ω (g) есть множествоMJ всех J-эрмитовых метрик.Лемма 9.7 (см. [31]). Для любой ассоциированной метрики g ∈ AMω и соответствующейп.к.с. J, прообраз элемента g при проекции pω совпадает с множеством MJ всех J-эрмитовыхримановых метрик на M :p−1ω (g) = MJ .Пусть g0 ∈ AMω — некоторая фиксированная ассоциированная метрика и J0 — соответствующая ей почти комплексная структура. Любая другая ассоциированная метрика g, J может бытьпредставлена в виде g(X, Y ) = g0 (X, (1 + P )(1 − P )−1 Y ), J = J0 (1 + P )(1 − P )−1 , где оператор Pантикоммутирует с п.к.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
