Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Другое построение экстремальной метрики непостоянной скалярнойкривизны на раздутии CP n в одной точке приведено в работе [222].126Н. К. СМОЛЕНЦЕВВ работе [171] Левин привел примеры компактных кэлеровых многообразий, которые не допускают экстремальных кэлеровых метрик, эти примеры получаются раздутием поверхностей Хирцебруха. Примеры линейчатых поверхностей, которые не имеют нетривиальных голомофных векторных полей и которые не допускают экстремальных кэлеровых метрик в заданном кэлеровомклассе приведены в работе [76]. Изучению экстремальных метрик на линейчатых многообразияхпосвящена работа Фуджики [118]. Фуджики А.
и Шумахер Г. [120] изучали пространства модулейэкстремальных кэлеровых метрик. В работах [168, 169] показано, что подмножество всех классов когомологий, определенных кэлеровыми формами экстремальных кэлеровых метрик являетсяоткрытым в H 1,1 (M, R).В работе Калаби [79] поставлен вопрос о том, имеет ли функционал B(g) на пространстве M[ω]единственное критическое значение и, следовательно, дают ли экстремальные метрики глобальныйминимум в в их кэлеровом классе. Хуанг [140,141] дал утвердительный ответ на этот вопрос.
ПустьFω — характер Футаки (см. [5, с. 126]) и Xω — экстремальное векторное поле [123]Теорема 10.5 (см. [140]). Для любой метрики g ∈ M[ω] имеет место неравенствоB(g) Sω2 /Vω + Fω (Xω ),(10.6)Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда метрика g — критическая дляфункционала B(g).Пусть (M, J) — компактное комплексное многообразие, допускающее кэлерову метрику. На пространстве всех кэлеровых метрик Хуанг и Симанка [142] определили следующий функционалg → Ψ(g) =B(g) Vol(M, g)− 1.A(g)2(10.7)Функционал Ψ(g) инвариантен относительно изменения масштаба и ограничен снизу нулем.
Этаграница достигается только на метриках постоянной скалярной кривизны. Поэтому минимальноезначение функционала Ψ(g) на фиксированном кэлеровом классе M[ω] измеряет, насколько этоткласс далек от метрик постоянной скалярной кривизны. Очевидно, что если ограничить Ψ(g) напространство M[ω] , то его критические точки совпадут с критическими метриками функционалаB(g).Теорема 10.6 (см. [142]).
Критические точки функционала Ψ(g) на пространстве всех кэлеровых метрик являются экстремальными и удовлетворяют соотношениюA(g) (sρ, α)dμ = B(g) (ρ, α)dμMMдля любой g-гармонической (1, 1)-формы α, где ρ — форма Риччи, s — скалярная кривизна метрики g. Для2 компактной комплексной поверхности П. Годушон [126] изучал функционал T (g) =M |θ| dμg , где θ есть 1-форма кручения (форма Ли), определенная равенством dω = θ ∧ ω.Этот функционал пропорционален S(g) и на пространстве эрмитовых метрик единичного объема, его критическиеточки есть кэлеровы метрики. В работе [232] Вайсман рассмотрел функционал U (g) = M |dθ|2 dμg на пространстве эрмитовых метрик.
Его экстремальные точки включаютконформно кэлеровы метрики (dθ = 0). Показана инвариантность функционала относительно конформных изменений метрики, найдены первая и вторая производные функционала U (g).10.3. Функционалы на многообразиях ассоциированных метрик контактного многообразия. Такие функционалы изучались в работах Д. Блэра [57–63], Д. Блэра и Дж. Леджера [65],Д. Блэра и Д. Перрона [66, 67, 210, 211].Пусть (M, θ) — гладкое компактное контактное многообразие без границы размерности (2k + 1).Пусть ξ — характеристическое векторное поле контактной структуры θ, E = Ker θ — контактноераспределение и h = Lξ ϕ.
Ассоциированной римановой структуре g на M соответствует аффинорϕ, который на слоях E действует как комплексная структура.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК127В работе Д. Блэра и Дж. Леджера [65] установлено, что критические метрики функционалаA(g) на пространстве Mθ ассоциированных метрик на контактном многообразии (M, θ) обладаютаналогичными свойствами.Теорема 10.7 (см. [65]). Пусть M — компактное контактное многообразие. Тогда g ∈ Mθявляется критической метрикой функционала A(g) на пространстве Mθ тогда и толькотогда, когда тензор Риччи Ric(g), ограниченный на контактное распределение E, являетсяэрмитовым относительно аффинора ϕ, соответствующего метрике g.Последнее свойство Ric(g) ◦ ϕ = ϕ ◦ Ric(g) выполняется для метрик Сасаки [57, с.
76]. Поэтому метрики Сасаки, если они существуют, являются критическими для A(g). Напомним, чтоконтактная метрическая структура Сасаки определяет естественным образом почти комплекснуюструктуру на M × R, которая является интегрируемой.Для контактных ассоциированных метрик аналогично определяется тензор ∗-риччи и ∗скалярная кривизна,s∗ (g) = Ric∗i(10.8)Ric∗ij = Riklt ϕkl ϕtj ,i .На контактном многообразии1(10.9)s(g) − s∗ (g) − 4k 2 = − |∇ϕ|2 + 2k − tr h2 0,2причем равенство имеет место только в случае многообразия Сасаки.
Тогда такие структуры, еслиони существуют дают максимум функционала(10.10)S(g) = (s(g) − s∗ (g) − 4k 2 ) dμMна пространстве AM и, следовательно, возникает вопрос о критических точках этого функционала.Теорема 10.8 (см. [65]). Пусть M — компактное контактное многообразие размерности(2k + 1). Тогда g ∈ Mθ является критической метрикой функционала S(g) на пространстве Mθ тогда и только тогда, когда операторы Ric(g) − 2kh и ϕ коммутируют, будучиограниченными на контактное распределение E.В работе [60] установлен следующий результат.Теорема 10.9. Пусть M — компактное регулярное контактноемногообразие. Тогда g ∈ Mθявляется критической метрикой функционала L(g) = M Ric(ξ)dμ на пространстве Mθ тогдаи только тогда, когда характеристическое векторное поле ξ порождает однопараметрическую группу изометрий многообразия (M, g).Теорема 10.10 (см.
[61]). Пусть T1 M — касательное сферическое расслоение риманова многообразия (M, G) и Mθ — пространство римановых метрик, ассоциированных со стандартнойконтактной структурой на T1 M . Тогда стандартная ассоциированная метрика являетсякритической точкой функционала L(g) = T1 M Ric(ξ)dμ на пространстве Mθ тогда и толькотогда, когда базовое многообразие M имеет постоянную кривизну +1 или −1.В работах Д.
Блэра и Д. Перрона [66, 67] рассмотрен функционал1I(g) =(s(g) + s∗ (g) + 4k(k + 1)) dμ,2(10.11)Mкоторый назван ими тотальной скалярной кривизной контактного многообразия. В работе [66]показано, что метрика g есть критическая точка функционала I на пространстве Mθ тогда и только тогда, когда векторное поле ξ порождает 1-параметрическую группу изометрий многообразия(M, g), т.е. метрика является К-контактной. Отметим, что величина W = 12 (s(g) + s∗ (g) + 4k(k + 1))является естественным обобщением скалярной кривизны Вебстера для CR-структуры, введеннйдля размерности 3 в работе [81].128Н.
К. СМОЛЕНЦЕВВ работе [67] найдена вторая вариация функционала I на пространстве Mθ и показано, чтоиндексы функционалов I и −I положительны в каждой критической точке. Этот обобщает известный результат Муто [185]. Как следствие полученного результата, в работе [67] показано, чтофункционал A(g) на многообразии Mθ не может иметь локального минимума в любой метрикеСасаки.В работе [211] рассмотрен функционал F (g) = 12 M (s(g) + s∗ (g) + 2k Ric(ξ)) dμ.
Из результатовработы [67] вытекает, что функционал F (g) на многообразии Mθ не может иметь локальногоминимума в любой К-контактной метрике.11. ПРОСТРАНСТВАОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ МЕТРИКОсновные достижения в изучении однородных римановых метрик отражены в книгах Ш.
Кобаяси и К. Номидзу [9], С. Хелгасона [34], Дж. Вольфа [6] и А. Бессе [5]. В данном параграфемы рассмотрим только один аспект этой теории, связанный с изучением всего пространства MGоднородных метрик на многообразии M = G/H.11.1. Общие определения и факты. Многообразие M называется однородным, если существует группа Ли G, действующая (слева) на M гладко и транзитивно. Мы также предполагаем, чтодействие G × M → M является эффективным, т.е. только единичный элемент e группы оставляетнеподвижными все точки пространства M .
Подгруппа Hx в G, которая оставляет точку x ∈ M наместе, называется стационарной подгруппой точки x. Если y = ax, a ∈ G, то Hy = aHx a−1 , поэтому стационарные подгруппы любых двух точек однородного многообразия изоморфны. Посколькупреобразования b ∈ Hx оставляют на месте точку x ∈ M , то их дифференциалы определяютлинейные преобразования касательного пространства Tx M . Тогда мы получаем линейное представление изотропии χ группы Hx в пространстве Tx M . Поскольку изометрия b определяетсяобразом одной точки x и дифференциалом dx b, то представление изотропии является точным.Примером однородного пространства служит факторпространство G/H группы Ли G по замкнутой подгруппе H. Элемент a ∈ G действует на G/H преобразованием a : bH → abH.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
