Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Пусть p =p1 ⊕ · · · ⊕ pq — некоторое разложение χ(H)-модуля p на неприводимые подмодули. В случае, когдаразличные подмодули pi и pj попарно неизоморфны, такое разложение единственно с точностьюдо перестановки слагаемых, и любая G-инвариантная риманова метрика на M = G/H задаетсяскалярным произведением на p вида(X, Y ) = x1 (X1 , Y1 )1 + · · · + xq (Xq , Yq )q ,(11.7)где (·, ·)i — AdG (H)-инвариантные скалярные произведения в pi , X = X1 + · · · + Xq — разложениевектора X ∈ p, соответствующее разложению p = p1 ⊕ · · · ⊕ pq и числовые параметры x1 , .

. . , xqпредполагаются положительными. Таким образом, пространство однородных римановых метрикконечномерно и параметризуется точками пространства Rq+ .В то же время разложение p = p1 ⊕ · · · ⊕ pq не является единственным в случае если представления χ(H) на некоторых модулях pi и pj (1 i < j q) эквивалентны. Тем не менее, пространствоинвариантных метрик и в этом случае является диффеоморфным Rk для некоторого k ∈ N [238].Это обстоятельство позволяет выразить римановы функционалы от однородных метрик в видефункций нескольких вещественных переменных, что существенно облегчает их изучение.

Однако при этом возникает вопрос о соответствии критических точек римановых функционалов какфункций на Rk и критических точек этих функционалов на всем многообразии метрик M.11.2. Принцип симметричной критичности Р. Пале. Пусть M — пространство всех римановых метрик на многообразии M .

Группа Ли G естественным образом действует на этом пространстве. При этом, неподвижные точки этого действия — это в точности однородные G-инвариантныеметрики. Обозначим это множество символом MG . Если мы рассмотрим функционал на M иограничим его на подпространство MG , то критические точки, вообще говоря, не обязаны бытькритическими во всем пространстве M. Р. Пале преодолел эту неприятность для G-инвариантныхфункционалов [201,202].

Его принцип симметричной критичности утверждает, что для того, чтобыточка была бы критической точкой G-инвариантной функции f на всем пространстве, достаточно,чтобы эта точка была критической точкой этой функции на множестве неподвижных точек. Ввидуважности этого принципа для приложений и, в частности, для исследования однородных метрик,рассмотрим его более подробно.Пусть N — гладкое, класса C ∞ (гильбертово) многообразие, на котором действует группа ЛиG. Пусть Σ = {p ∈ N ; gp = p, ∀g ∈ G} — множество неподвижных точек действия группы G.Неподвижную точку p ∈ Σ будем называть также точкой симметричности многообразия N .

Пустьf : N → R — гладкая G-инвариантная функция на N . Точка p ∈ N называется критической точкойфункции f , если в этой точке дифференциал dfp равен нулю. Принцип симметричной критичности132Н. К. СМОЛЕНЦЕВутверждает, что для того, чтобы точка p ∈ Σ была бы критической точкой функции f на N , достаточно, чтобы эта точка была критической точкой функции f |Σ на множестве Σ неподвижныхточек. Разумеется, в такой общей формулировке принцип симметричной критичности не имеет места. Дело в том.

что множество Σ неподвижных точек может иметь достаточно сложную природу.В частности, оно может не быть многообразием. Имеются и проблемы, связанные с группой ЛиG, их обсуждение см. в [201, 202]. Если группа Ли G действует на многообразии N изометриями, а также в случае, когда группа G является компактной, принцип симметричной критичностивыполняется.Рассмотрим первый случай.

Пусть T N — касательное расслоение. Скалярное произведение вкаждой точке x ∈ N будем обозначать символом , x . Пусть O ⊂ T N — окрестность нулевогосечения и exp : O → N — экспоненциальное отображение риманова многообразия N . Если φ :N → N — изометрия, то хорошо известно, чтоexp(dφ(v)) = φ(exp(v)).Экспоненциальное отображение exp является диффеоморфизмом окрестности нуля в Tp N наокрестность точки p ∈ N и поэтому определяет в этой окрестности нормальные координаты.Если p ∈ Σ, то из exp ◦dgp = φ ◦ g следует, что в нормальных координатах в окрестности точкиp действие группы G есть ортогональное линейное действие.

В частности, множество неподвижных точек Σ в этой окрестности соответствует линейному подпространству из Tp N , а именно{v ∈ Tp N ; dgp (v) = v, ∀g ∈ G}. Поэтому Σ является гладким подмногообразием N . При этом,если вектор v ∈ Tp N инвариантен относительно всех dgp , то геодезическая, выходящая в направлении v будет поточечно неподвижной относительно всех g ∈ G и, следовательно, лежит в Σ.Поэтому Σ является вполне геодезическим в N .Пусть f : N → R — гладкая функция на N и ∇fx — ее градиент, dfx (v) = v, ∇fx x . Точка p ∈ Σявляется критической точкой функции f на подмногообразии Σ, если и только если градиент ∇fpортогонален к касательному пространству Tp Σ. Если f есть G-инвариантная функция на N , то длялюбого g ∈ G, f ◦ g = f .

Тогда для дифференциалов имеем: dfp = d(f ◦ g)p = dfgp ◦ dgp = dfp ◦ dgp .Поскольку dgp является изометрией на Tp N , то dgp (∇fp ) = ∇fp для всех g ∈ G. Тогда, как былоотмечено ранее, геодезическая, выходящая в направлении ∇fp лежит в Σ и поэтому ∇fp касаетсяΣ. Из этого свойства и из ∇fp ⊥ Tp Σ следует, что ∇fp = 0, т.е. p — критическая точка на всеммногообразии N . Таким образом, имеет местоТеорема 11.11. Пусть G — группа изометрий риманова многообразия N и пусть f : N → R —C 1 -гладкая G-инвариантная функция на N .

Тогда множество Σ неподвижных точек действиягруппы G является вполне геодезическим гладким подмногообразием в N и если p ∈ Σ естькритическая точка функции f |Σ, то f является критической точкой функции f на всем N .Теорема 11.12 (см. [201]). Если G — компактная группа Ли, то для любого гладкого Gмногообразия N принцип симметричной критичности имеет место.Вопрос о справедливости принципа симметричной критичности для других групп рассматривался в работах [135, 138]. Установлен следующий результат.Теорема 11.13. Если G есть связная полупростая группа Ли, то принцип симметричнойкритичности выполняется для конечномерного аналитического G-многообразия N .11.3.

Римановы функционалы на пространстве однородных метрик. Пусть M = G/H — однородное многообразие. Рассмотрим гильбертово многообразие Ms , s > n/2 + 2 римановых метриксоболевского класса гладкости H s . Как известно, на этом пространстве определена (сильная) риманова структура (a, b)sg (см. §3).

Эта риманова структура инвариантна относительно действиягруппы диффеоморфизмов. Группа Ли G гладких преобразований многообразия M действуетMs × G → Ms на гильбертовом многообразии Ms гладкими преобразованиями с сохранениемметрики. Поэтому в данном случае имеет место принцип симметричной критичности.

Этот принцип можно применить к любому риманову функционалу на пространстве однородных метрик, нонаиболее успешные применения связаны с функционалом полной скалярной кривизны. ПринципПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК133симметричной критичности в данном случае утверждает, что его критические точки на пространстве однородных метрик являются эйнштейновыми метриками. Это дает хороший способ для нахождения всех эйнштейновых метрик на однородных многообразиях.

Данному методу посвященыработы Г. Йенсена [146], М. Керр [153,154], Ю. Г. Никонорова [11,14,16,17,193], К. Боема, М. Ванаи В. Циллера [69, 71, 238].Пусть g — G-инвариантная риманова метрика на M = G/H. Как мы видели, она задается некоторым AdG (H)-инвариантным скалярным произведением в p. Рассмотрим линейное представлениеизотропии χ группы H в Tx M = p. Поскольку H компактна, то это представление вполне приводимо. Пусть p = p1 ⊕ · · · ⊕ pq — некоторое разложение χ(H)-модуля p на неприводимые подмодули.В случае отсутствия попарно изоморфных подмодулей любая другая G-инвариантная римановаметрика на M = G/H задается набором положительных чисел (x1 , .

. . , xq ) ∈ Rq+ — коэффициентов в разложении (11.7). Рассмотрим подмножество метрик MG1 одного объема. Это многообразиеопределяется уравнениемqxdi i = 1(11.8)i=1Rq+положительных параметров, где di = dim pi . Согласно принципу симметричнойв пространствекритичности однородные эйнштейновы метрики определяются критическими точками функционаласкалярной кривизны на этом многообразии.В случае однородной метрики g скалярная кривизна s(g) является постоянной функцией наGмногообразии M = G/H.

Поэтому для функционала скалярной кривизны на пространстве M1имеем A(g) = M s(g)dμ(g) = s(g) M dμ(g) = s(g).Следуя [5, 238] получим выражение скалярной кривизны метрики (·, ·)x . В каждом модуле piвыберем ортонормированный базис e1i , e2i , . . . , edi i .

Для любых трех модулей pi , pj , pk рассмотримвеличину2k=(11.9)[eαi , eβj ]p, eγk ,Eijα,β,γгде α, β, γ меняются в пределах от 1 до di , dj , dk соответственно. Пусть bi — значения квадратичнойформы Киллинга-Картана на векторе из pi . В силу неприводимости модуля pi это значение независит от выбора вектора.Очевидно, что множество векторов { √1xi eji } является ортонормированным базисом для метрики(·, ·)x . Поэтому используя формулу (7.37) книги [5], получаем [238]q1 bi di 1 k xk−Eij.s(x) = −2xi4xi xji=1(11.10)i,j,kУчитывая ограничение на объем, изучается функция Лагранжа на Rq+ q dis(x) = s(x) − λxi − 1 .(11.11)i=1Отметим, что если в в разложении p = p1 ⊕· · ·⊕pq присутствуют попарно изоморфные подмодули,описание множества инвариантных метрик усложняется. Соответственно усложняется и задачаклассификации инвариантных эйнштейновых метрик. Для исследования однородных пространствуказанного типа применяются специально разработанные методы [16, 17, 154].Основы описанного выше аналитического подхода к исследованию эйнштейновых однородныхметрик заложены в работах Г.

Характеристики

Список файлов книги