Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Фактор-пространство Sgs /Iω (g) описывает локальную структуру фактор-пространства AMs /G s+1 в окрестности класса [g].Пусть CAMc — множество критических ассоциированных метрик постоянной скалярной кривизны, равной c и пусть g ∈ CAMc .Множество критических ассоциированных метрик постоянной скалярной кривизны c, лежащихв срезе Sg ⊂ AM в точке g, называется пространством предмодулей PM(g) критических ассоциированных метрик постоянной скалярной кривизны в окрестности g ∈ AM. Локальное пространствомодулей есть фактор-пространство PM(g)/Iω (g). Оно описывает локальное строение пространстваCAMc /G в окрестности класса [g] = gG. Пусть PMs (g) = Sgs ∩CAMsc — пространство предмодулейкритических метрик постоянной кривизны соболевского класса гладкости H s , s 2n + 5.Теорема 10.2 (см. [30]).
Пусть g ∈ CAMc , тогда для любого s 2n + 5 существует окрестность W s элемента g в срезе Sgs такая, что пространство PMs (g) ∩ W s является аналитическим множеством конечномерного вещественно-аналитического подмногообразия Z ⊂ W s ,касательное пространство Tg Z которого имеет независящщую от s размерность и состоитиз антиэрмитовых 2-форм класса C ∞ .124Н. К. СМОЛЕНЦЕВИз теорем 10.1 и 10.2 следует, что аналогом свойства эйнштейновости в случае ассоциированныхметрик на симплектическом многообразии является эрмитовость тензора Риччи и постоянствоскалярной кривизны. Это дает основание ввести следующееОпределение 10.1. Ассоциированная метрика называется почти эйнштейновой, если она имеетэрмитов тензор Риччи и постоянную скалярную кривизну.Ассоциированная метрика g и соответствующая почти комплексная структура J определяют почти кэлерову структуру (M, g, J, ω).
В случае кэлеровой структуры тензор Риччи является эрмитовым, поэтому можно ожидать, что при постоянной скалярной кривизне метрика будет эйнштейновой. В работах [121, 122] Футаки в отметил, что если первый класс Чженя c1 (M ) положителен, толюбая кэлерова форма из класса c1 (M ) и постоянной скалярной кривизны является эйнштейновой.В то же время существуют примеры кэлеровых метрик постоянной скалярной кривизны, которыене являются эйнштейновыми [167, 205].Для ассоциированных метрик можно определить тензор ∗-риччи и ∗-скалярную кривизну равенствами:s∗ (g) = Ric∗i(10.1)Ric∗ij = Riklt J kl Jjt ,i .На кэлеровом многообразии Ric∗ = Ric. В случае почти кэлерова многообразия тензор Ric∗ является эрмитовым в отличие от тензора Риччи Ric.
Наиболее важное свойство ∗-скалярной кривизнызаключается в том, что1(10.2)s(g) − s∗ (g) = − |∇J|2 ,2следовательно, s(g) − s∗ (g) 0 и равенство имеет место только для кэлеровых метрик. Тогда, длякомпактного многообразия, кэлеровы метрики, если они существуют дают максимум функционалаS(g) = s(g) − s∗ (g) dμ(10.3)Mна пространстве AM и следовательно возникает вопрос о критических точках этого функционала.В работе [64] показано, что условие на критические метрики функционала S(g) те же самые, что идля функционала A(g) — эрмитовость тензора Риччи.
Тогда можно ожидать, что для функционала(10.4)I(g) = (s(g) + s∗ (g)) dμMкаждая метрика g ∈ AM будет критической. То, что это действительно так, установлено в работе[62]. Теорема ∗10.3. Пусть M — компактное симплектическое многообразие. Тогда I(g) =M (s(g) + s (g)) dμ есть симплектический инвариант и с точностью до константы он совпадает с произведением (c1 (M ) ∪ [ω]n−1 )([M ]), где c1 (M ) — первый класс Чженя многообразия M .Функционал I(g) называется тотальной скалярной кривизной [62] симплектического многообразия. В работе [160] Кода рассматривал следующий более общий функционал(10.5)Fλμ (g, J) = (λs(g) + μs∗ (g)) dμgMна пространстве HM почти эрмитовых структур и на пространстве HMω почти эрмитовых структур с фундаментальной формой ω.
Если форма ω — симплектическая, то HMω = AM. В этомслучае Кода показал, что если λ = μ, то метрика g является критической тогда и только тогда,когда тензор Риччи Ric эрмитов.В работе [128] Гольдберг показал, что если RXY JZ = JRXY Z на почти кэлеровом многообразии, то метрика является кэлеровой и высказал следующую гипотезу.Гипотеза Гольдберга. Компактное почти кэлерово эйнштейново многообразие является кэлеровым.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК125Эта гипотеза не решена до сих пор.
При дополнительном предположении неотрицательностискалярной кривизны она доказана в работе [220]. Известно также [196], что без предположениякомпактности гипотеза не верна. В примерах почти кэлеровых, но не кэлеровых многообразий,обладающих эрмитовым тензором Риччи, скалярная кривизна отрицательна, поэтому естественнопоставить следующий вопрос: является ли кэлеровым почти кэлерово многообразие неотрицательной скалярной кривизны с эрмитовым тензором Риччи? В работе [89] Драгхичи показал, что этоверно в размерности 4 и не верно в высших размерностях. Для высших размерностей Драгхичипоказал [87], что компактное почти кэлерово многообразие с эрмитовым тензором Риччи и с дополнительным условием λ Ric(X) 2λ для некоторого числа λ и любого направления X, то Mявляется кэлеровым.Хорошо известно, что на кэлеровом многообразии определена форма Риччи и она пропорциональна первой форме Чженя γ, 2πγij = − Ricik J kj .
На почти кэлеровом многообразии формаРиччи, вообще говоря, не определена — нужна эрмитовость тензора Риччи. В работе [87] Драгхичи определил форму Риччи почти кэлерова многообразия равенством ψ(X, Y ) = Ricinv (X, JY ),где Ricinv — J-инвариантная часть тензора Риччи. Кроме того, на почти кэлеровом многообразииопределена форма ∗-Риччи, ψ ∗ (X, Y ) = Ric∗ (X, JY ). Последнее определение корректно, посколькуRic∗ является J-инвариантным.
Драгхичи показал [87], что если M — компактное почти кэлерово многообразие, форма Риччи которого принадлежит первому классу Чженя, то M являетсякэлеровым.10.2. Экстремальные кэлеровы метрики. Пусть M — компактное комплексное многообразие скэлеровой метрикой. Зафиксируем класс когомологий [ω] ∈ H 1,1 (M, R) кэлеровой формы ω и рассмотрим множество M[ω] кэлеровых метрик g, у которых фундаментальная 2-форма принадлежитклассу [ω]. Следуя Калаби [77–79], рассмотрим функционал B(g) = M s(g)2 dμ(g) на пространстве M[ω] . Использование данного функционала мотивируется тем, что для класса метрик M[ω]полный объем Vω (M ) и полная скалярная кривизна Sω = A(g) являются постоянными. Из этихфактов по неравенству Шварца получаем, что функционал B(g) ограничен снизу числом Sω2 /Vω инижняя граница достигается, только в том случае, когда существует метрика g ∈ M[ω] постояннойскалярной кривизны.Калаби установил также [77], что на пространстве M[ω] являются постоянными следующиефункционалы: C(g) − B(g), D(g) − C(g).
Оценки снизу получены также и для функционалов C(g)и D(g).Калаби определил экстремальные кэлеровы метрики как критические для функционала B(g)на пространстве M[ω] и получил следующий результат (см. также [5]):Теорема 10.4. Кэлерова метрика g является экстремальной тогда и только тогда, когдаградиент функции скалярной кривизны s(g) является (вещественным) голоморфным векторным полем.В случае римановых поверхностей в работе [243] показано, что если эйлерова характеристиканеположительна, то экстремальные метрики существуют и имеют постоянную скалярную кривизну.Ясно, что кэлеровы метрики постоянной скалярной кривизны являются экстремальными.
Кроме того, многообразия, которые не имеют голоморфных векторных полей имеют только такиеэкстремальные метрики. С другой стороны, Калаби [78] привел примеры экстремальных метрикнепостоянной скалярной кривизны, откуда, в частности, следует, что существуют экстремальныеметрики, которые кэлеровы, но не эйнштейновы. Известно [171], что комплексные поверхности сположительным первым классом Чженя, которые допускают экстремальные метрики, могут бытьтолько такими: CP 2 , CP 1 × CP 1 и раздутие CP 2 в одной точке. В первых двух случаях экстремальные метрики эйнштейновы, а в третьем случае экстремальная метрика имеет непостояннуюскалярную кривизну [78].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
