Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 34
Текст из файла (страница 34)
J0 , симметричен относительно g0 и 1 − P 2 положителен относительно g0 .Возникает естественный вопрос: связаны ли аналогичными соотношениями другие метрики слоевMJ0 и MJ ? Ответ дает следующаяЛемма 9.8 (см. [31]). Пусть g0 ∈ MJ0 — произвольная J0 -эрмитова метрика и J = J0 (1 +P )(1 − P )−1 . Тогда g , определенная равенством:1 g0 (1 + P )(1 − P )−1 X, Y + g0 X, (1 + P )(1 − P )−1 Yg (X, Y ) =(9.38)2118Н. К. СМОЛЕНЦЕВявляется J-эрмитовой метрикой.
Фундаментальная форма ω (X, Y ) = g (JX, Y ) метрики g выражается через ω следующим образом:1ω(X, Y ) + ω (1 + P )(1 − P )−1 X, (1 + P )(1 − P )−1 Y .(9.39)ω (X, Y ) =2Из данной леммы следует, что для ассоциированных метрик g0 , J0 и g, J слои MJ0 и MJестественно диффеоморфны. Действительно, формулыg0 (X, Y ) = g(X, (1 − P )(1 + P )−1 Y ),J0 = J(1 − P )(1 + P )−1 ,позволяют определить обратное отображение слоев MJ → MJ0 :1 g0 (X, Y ) =g (1 − P )(1 + P )−1 X, Y + g X, (1 − P )(1 + P )−1 Y .2(9.40)Теорема 9.9 (см. [31]). Пространство M является гладким тривиальным расслоением надAMω . Слоем над элементом (g, J) ∈ AMω служит пространство MJ всех J-эрмитовых римановых метрик на M .В качестве искомой тривиализации можно взять ILH-гладкое отображение (9.38):ΨM : PJ0 × MJ0 −→ M,(P, g0 ) −→ g ,где метрика g определяется равенством (9.38). Из леммы 9.8 следует, что MJ0 диффеоморфноотображается на весь слой MJ расслоения pω над точкой g(X, Y ) = g0 ((1 + P )X, (1 − P )−1 Y ).Обратное отображение для ΨM определяется соответствием (9.40), MJ → MJ0 , g −→ g0 вместес проекцией pω : M −→ AMω .Таким образом, пространство всех римановых метрик на имплектическом многообразии M раскладывается в прямое произведение пространства ассоциированных метрик и пространства Jконформно эквивалентных метрик.9.7.
Действие группы симплектических диффеоморфизмов на пространства ассоциированных метрик. Как уже упоминалось, на пространстве AM действует группа Dω гладких симплектических диффеоморфизмов многообразия M , т.е. таких диффеоморфизмов η : M → M ,которые сохраняют симплектическую форму η ∗ ω = ω. Группа Dω действует также на пространстве Aω положительных ассоциированных почти комплексных структур: если η ∈ Dω иJ ∈ Aω , то η ∗ J = (dη)−1 ◦ (J ◦ η) ◦ dη. Легко проверяется Dω -эквивариантность диффеоморфизмаG : Aω −→ AM.Установим ортогональные разложения типа Берже-Эбина пространств S2 и S2A , связанные сдействием группы Dω . Группа Dω является ILH-группой Ли с алгеброй Ли Te Dω , состоящей изгладких локально гамильтоновых векторных полей X на M .
Рассмотрим также ILH-группу ЛиG точных симплектических диффеоморфизмов. Ее алгеброй Ли служит алгебра H гамильтоновыхвекторных полей XF на M [199, 212]. Произвольное гамильтоново векторное поле XF можнопредставить в виде XF = J grad F , где F — некоторая функция на M , называемая гамильтонианомполя XF и J — почти комплексная структура, соответствующая метрике g. Поэтому ортогональноедополнение H⊥ к H в пространстве Γ(T M ) всех векторных полей состоит из векторных полей Vна M , удовлетворяющих условию div JV = 0.Зафиксируем риманову метрику g ∈ AMs и рассмотрим ее орбиту gG.
Касательное пространствоTg (gG) состоит из 2-форм вида h = LXF g. Рассмотрим дифференциальный оператор, действующийна функциях:Dg (F ) = LXF g.Dg : H s+2 (M, R) −→ S2s ,Для функции F ∈ H s+1 (M, R) имеем J(grad F ) = XF . Поэтому оператор Dg является композициейтрех операторов, Dg = 2αg ◦ J ◦ grad. Операторы grad и αg имеют иньективные символы [56], аследовательно, и Dg имеет иньективный символ. Сопряженный имеет вид Dg∗ = 2 div ◦J ◦ δg .Поэтому h∗ ∈ Ker Dg∗ удовлетворяет условию div (Jδg h∗ ) = 0. По теореме 1.5 получаем следующееразложение.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК119Теорема 9.10. Пространство S2s раскладывается в прямую сумму ортогональных подпространств(9.41)S2s = Ker Dg∗ ⊕ Im Dg .В соответствии с этим каждая симметричная 2-форма h класса H s однозначно представляется в виде(9.42)h = h∗ + LX g,где X = XF — гамильтоново векторное поле класса H s+1 , а h∗ удовлетворяет условиюdiv(Jδh∗ ) = 0.Пространство 2-форм h∗ класса H s , удовлетворяющих условию div (Jδg h∗ ) = 0, будем обозначать символом S2∗s .
Разложение (9.41) будем также записывать в виде S2s = S2∗s ⊕ αg (Hs+1 ), гдеHs+1 — пространство гамильтоновых векторных полей на M класса H s+1 .s симметричных антиэрмитовых 2-форм раскладываетсяСледствие 9.11. Пространство S2Aв ортогональную прямую суммуs∗s= S2A⊕ αg (Hs+1 ),S2Ah = h∗ + LX g,(9.43)где X = XF — гамильтоново векторное поле класса H s+1 , а h∗ — антиэрмитова и удовлетворяет условию div(Jδh∗ ) = 0.Теорема 9.12 (см.
[25]). Пространство S2s раскладывается в прямую сумму ортогональныхподпространствS2s = S20s ⊕ B s ⊕ αg (Hs+1 ).(9.44)В соответствии с этим каждая симметричная 2-форма h класса H s однозначно представляется в виде(9.45)h = h0 + LY g + LX g,где X = XF — гамильтоново векторное поле класса H s+1 , h0 обладает свойством δg (h0 ) = 0,а векторное поле Y класса H s — тем свойством, что div Jδg LY g = 0.Замечание. Для векторного поля δg LY g имеется следующее выражение из [109]:δg LY g = ΔY − grad(div Y ) − 2 Ric(g)Y,где (ΔY ) = (dd∗ + d∗ d)(Y ) и Y — 1-форма, полученная из векторного поля Y опусканием индекса.Сформулируем вариант последнего разложения, когда вместо пространства H гамильтоновыхвекторных полей на M берется пространство Te Dω локально гамильтоновых векторных полей.Известно, что Te Dωs+1 /Hs+1 изоморфно первой группе когомологий H 1 (M, R) многообразия M .Можно считать, что H 1 (M, R) представлено векторными полями класса C ∞ и Te Dωs+1 = Hs+1 ⊕H 1 (M, R) — прямая сумма.
Тогда αg (Te Dωs+1 ) = Im Dg ⊕ αg (H 1 (M, R)).Теорема 9.13 (см. [25]). Пространство S2s раскладывается в ортогональную прямую сумму s ⊕ αg (Te Ds+1 ).S2s = S20s ⊕ Bω(9.46)В соответствии с этим каждое тензорное поле h ∈ S2s однозначно представимо в видеh = h0 + LY g + LX g,(9.47)где X — локально гамильтоново векторное поле класса H s , h0 обладает свойствомδg (h0 ) = 0, а векторное поле Y класса H s — тем свойством, что 1-форма γ(Y ) =(J(ΔY − grad div Y − 2 Ric(g)Y ) является d∗ -точной.В разложении (9.47) векторные поля X и Y определяются по h с точностью до киллинговавекторного поля. Рассмотрим разложение антиэрмитовых 2-форм.s , то в разложении (9.47) вторая компонента L g одноЛемма 9.14 (см. [25]). Если h ∈ S2AY0значно определяется по h .120Н.
К. СМОЛЕНЦЕВs . ОпределимРассмотрим эрмитову часть (h0 )H бездивергентной компоненты h0 формы h ∈ S2AотображениеJ : Γ(T20 M ) −→ Γ(T20 M ),которое 2-форме a(X, Y ) на M ставит в соответствие 2-форму J(a)(X, Y ) = a(X, JY ). Отображение J коммутирует с оператором взятия эрмитовой части aH формы a, J(aH ) = (Ja)H . Отметимочевидный изоморфизмsss⊕ S2A−→ H s (Λ2H (M )) ⊕ S2A,J : S2H2где ΛH (M ) — расслоение эрмитовых кососимметрических 2-форм на M .
Если ϕ ∈ Λ2H (M ), то легковидеть, что Jϕ(X, Y ) = ϕ(X, JY ) является эрмитовой симметричной 2-формой.s изоморфно прямой сумме ортогональных подТеорема 9.15 (см. [25]). Пространство S2Aпространствs ∼(9.48)S2A= AS20s ⊕ αg (Te Dωs+1 ).0s00sПространство AS2 состоит из симметричных 2-форм h ∈ S2 , обладающих свойствомs однозначно пред(h0 )H = J(dβ)H , где β — 1-форма на M . Каждое тензорное поле h ∈ S2Aставимо в видеh = h0 + LY g + LX g,(9.49)sгде X — локально гамильтоново векторное поле класса H , компонента LY g однозначно определяется по h0 , векторное поле Y и 2-форма h0 обладают свойствами:1) δg h0 = 0,2) (h0 )H = −J((LY ω)H ),3) γ(Y ) = (J(ΔY − grad div Y − 2 Ric(g)Y )) — d∗ -точная 1-форма.Мы получили также, что для любого векторного поля Y на M имеют место равенства:LY ω = −J(LY g) − gLY J,J(LY ω)H = (LY g)H .В случае сферы и двумерного тора найден [32] явный вид уравнения div(Jδh) = 0, определяющего существенные инфинитизимальные деформации ассоциированной метрики в разложении∗ ⊕ α (H).
Рассмотрим единичную сферу S 2 в R3 . В качестве одной из координат возьмемS2A = S2Agсферическую координату ϕ ∈ (0, 2π), вторую координату ζ определим соотношением z = tanh(ζ).Тогда каноническая метрика g0 на S 2 имеет вид: g0 = cosh1 2 ζ (dζ 2 + dϕ2 ). В данных координа-тах антиэрмитова симметричная форма h ∈ Tg0 AM(S 2 ) имеет вид h = udζ 2 − 2vdζdϕ − udϕ2 =1/2(u + iv)dw2 + 1/2(u − iv)dw2 , где w = ζ + iϕ.
Поэтому форму h можно отождествить с комплексной функцией h ≡ 1/2(u + iv). Уравнение div(Jδh) = 0 имеет вид: 2∂2v∂u∂ v∂2u∂v4−+= 0.+2+ 2 tanh(ζ)div J δg h = − cosh (ζ)∂ζ 2∂ζ∂ϕ ∂ϕ2∂ζ∂ϕ 2∂ h∂hВ комплексной форме имеем, div J δg h = −2 cosh4 (ζ) Im ∂w+2tanh(ζ)2∂w = 0. В работе найдены [32] частные решения полученного уравнения. В случае тора уравнение div(Jδh) = 0 выглядитаналогично 2 ∂2v∂2v∂2u∂ h=−+2= 0.div J δg h = −2 Im∂x2∂x∂y ∂y 2∂w2Частные решения можно получить через тригонометрические функции.В работе [30] показано, что для действия группы G точных симплектических диффеоморфизмовна пространстве AM имеет место терема о срезе. Пусть Iω,g = Ig ∩ G — группа точных симплектических изометрий метрики g ∈ AM.Теорема 9.16 (о срезе). Пусть g ∈ AM.
Если s 2n + 5, то существует подмногообразиеsв AMs и локальное сечение χs+1 : Iω,g \ G s+1 → G s+1 определенное на открытой окрестSω,gности U s+1 класса смежности [Iω,g ] обладающее свойствами:s ) = Ss .1) Если γ ∈ Iω,g , то γ ∗ (Sω,gω,gs+1s ) ∩ S s = ∅, то γ ∈ I2) Пусть γ ∈ G . Если γ ∗ (Sω,gω,g .ω,gПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК121s × U s+1 → AMs , F s (g , u) = χs+1 (u)∗ g , есть гомеоморфизм на3) Отображение F : Sω,g11открытую окрестность V s элемента g из AMs .Общая схема [93] построения среза для действия всей группы диффеоморфизмов D на простран∗s — пространство антиэрмитовыхстве всех метрик M применима и к данному случаю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
