Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Группа Gдействует на G/H эффективно тогда и только тогда, когда подгруппа H не содержит нормальной подгруппы группы G. Если подгруппа H содержит не более, чем дискретные нормальныеподгруппы группы G, то действие G на G/H называется почти эффективным.Рассмотренный пример дает описание произвольного однородного пространства. Действительно,пусть M — однородное G-пространство, x ∈ M — любая точка и H — ее стационарная подгруппа.Тогда отображение G/H → M , aH → ax является диффеоморфизмом (см.
напр. [34]). Поэтому вдальнейшем будем считать, что M = G/H. Выделенный элемент в M , соответствующий классуeH, будем обозначать символом o. Пусть g и h — алгебры Ли групп G и H, соответственно.Каждый элемент X ∈ g будет отождествляться с векторным полем на M , которое порожденооднопараметрической группой преобразований at = exp(tX) многообразия M . При этом следуетиметь ввиду, что скобка Ли в алгебре Ли g — это скобка левоинвариантных векторных полей наG, а векторные поля на M = G/H получаются проектированием правоинвариантных полей на G.Поэтому для любых X, Y ∈ g имеет место равенство[X, Y ]g = −[X, Y ],где [X, Y ]g — скобка Ли в g, а [X, Y ] — скобка Ли соответствующих векторных полей на M .Пусть AdG — присоединенное действие группы Ли G на своей алгебре g.
При действии AdG a :g → g, a ∈ G элементы подгруппы b ∈ H отображают подалгебру h в себя. Поэтому определенодействие H на g/h = To M , которое также обозначается AdG b.Однородное пространство M = G/H называется редуктивным, если алгебра Ли g может бытьразложена в прямую сумму векторных пространств h м p, где h — алгебра Ли группы H и p —AdG (H)-инвариантное дополнение, т.е. еслиg = h ⊕ p,h ∩ p = 0,AdG (H)p ⊂ p.(11.1)Если H — замкнутая подгруппа связной полупростой группы Ли G, то однородное пространствоM = G/H является редуктивным.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК129Если M = G/H — риманово многообразие, причем метрика g инвариантна относительно действия группы G, то M называется однородным римановым многообразием.
В этом случае группаЛи G является подгруппой группы изометрий Ig метрики g (предполагается, что G является замкнутой подгруппой в Ig ). Стационарная подгруппа Hx любой точки x ∈ M является компактнойподгруппой группы G [34]. Известно также [34], что каждое однородное многообразие M = G/Hс компактной группой H допускает инвариантную риманову метрику.Элементы X ∈ g отождествляются с киллинговыми векторными полями на M , а элементы X ∈ hсоответствуют киллинговым векторным полям, обращающимися в нуль в точке x ∈ M .Из компактности группы H следует, что AdG (H) есть компактная линейная группа преобразований пространства g.
При помощи известной процедуры усреднения на алгебре g можно построитьAdG (H)-инвариантную евклидову метрику на g и AdG (H)-инвариантное дополнение p к h в gкак ортогональное дополнение к h. Таким образом, однородное риманово многообразие M = G/Hявляется редуктивным, g = h ⊕ p, h ∩ p = 0, AdG (H)p ⊂ p.Зафиксируем это ортогональное дополнение p и точку x ∈ M . Отождествим p с касательнымпространством Tx M , поставив в соответствие вектору X ∈ g значение в точке x киллинговавекторного поля, определенного элементом X ∈ g.
При этом представление изотропии группы Hв Tx M отождествляется с ограничением присоединенного представления AdG подгруппы H на p.Пусть g — инвариантная риманова метрика на M . Обозначим через (·, ·) скалярное произведениев p, соответствующее скалярному произведению gx в Tx M при отождествлении Tx M = p. Отметим, что это скалярное произведение AdG (H)-инвариантно, поскольку группа H = Hx действуетизометриями и сохраняет точку x. Таким образом, с каждой G-инвариантной римановой метрикойна M = G/H мы связали AdG (H)-инвариантное скалярное произведение в p.
Обратно, AdG (H)инвариантное скалярное произведение в p определяет скалярное произведение в Tx M = p, котороезатем действиями группы распространяется на все многообразие M . Таким образом, справедливаТеорема 11.1. Пусть G — группа Ли, H — ее компактная подгруппа, не содержащая нормальных подгрупп группы G и p — AdG (H)-инвариантное дополнение к h в g. Тогда существует естественное взаимно однозначное соответствие между G-инвариантными римановымиметриками на M = G/H и AdG (H)-инвариантными скалярными произведениями (·, ·) на p.Соответствие задается так: (X, Y ) = gx (X, Y ) где слева X, Y ∈ p, а справа — это элементыкасательного пространства Tx M = p.Доказательство этой и следующих общих теорем о кривизне однородных метрик можно найтив книгах Ш.
Кобаяси, К. Номидзу [9] и А. Бессе [5].Теорема 11.2. Пусть (M, g) есть G-однородное риманово многообразие и p — AdG (H)инвариантное дополнение к h в g. Пусть X, Y — киллинговы векторные поля на M , соответствующие элементам X, Y ∈ p. Тогда для ковариантной производной D связности ЛевиЧивита имеет место формула1(11.2)(DX Y )x = − [X, Y ]p + U (X, Y ),2где слева X, Y — это киллинговы векторные поля на M , справа X, Y ∈ p, [X, Y ]p — pкомпонента скобки Ли [X, Y ] ∈ g при разложении g = h ⊕ p и отображение U : p × p → pопределяется условием2(U (X, Y ), Z) = ([Z, X]p, Y ) + (X, [Z, Y ]p)(11.3)для всех Z ∈ p.Отметим, что метрика g называется естественно редуктивной, если U ≡ 0.Теорема 11.3.
Пусть X, Y — произвольные векторы в точке x однородного риманова многообразия M . Тогда, с учетом отождествления Tx M = p, справедлива формула311gx (R(X, Y )Y, X) = − |[X, Y ]p|2 − ([X, [X, Y ]g]p, Y ) − ([Y, [Y, X]g]p, X)+422(11.4)+ |U (X, Y )|2 − (U (X, X), U (Y, Y )).130Н. К. СМОЛЕНЦЕВОбозначим {Xi } ортонормированный базис пространства p = Tx M . Положим Z =Лемма 11.4. Вектор Z =творяющий условиюini=1U (Xi , Xi ).U (Xi , Xi ) однозначно характеризуется как вектор из p, удовле∀X ∈ p,(Z, X) = tr(ad X),где tr(ad X) — след эндоморфизма ad X : g → g.
см.(11.5)Отметим, что Z = 0 тогда и только тогда, когда группа G унимодулярна. В базисе {Xi } изформулы (11.4) получаемСледствие 11.5. Кривизна Риччи Ric в точке x задается формулойnn11|[X, Xi ]p|2 −([X, [X, Xi ]p]p, Xi )−Ric(X, X) = −22i=1−ni=1([X, [X, Xi ]h]p, Xi ) +i=1n1 ([Xi , Xj ]p, X)2 − ([Z, X]p, X).4i,j=1Данную формулу можно упростить, если использовать Ad G-инвариантную форму КиллингаКартана B(X, Y ) = tr(ad X ◦ ad Y ) на алгебре g. Отметим, что пространство p не обязательноB-ортогонально к h.
Форма B отрицательно определена на h, но на p она не обязательно знакоопределена и невырожденна.Скалярное произведение (·, ·) на p, определенное инвариантной метрикой g на M , продолжим навсю алгебру g. Для этого достаточно положить h ⊥ p, а на подалгебре h задать Ad H-инвариантноескалярное произведение, существующее в силу компактности H.Следствие 11.6.
Кривизну Риччи Ric в точке x можно представить в видеnn1 112|[X, Xi ]p| − B(X, X) +([Xi , Xj ]p, X)2 − ([Z, X]p, X).Ric(X, X) = −224i=1i,j=1Следствие 11.7. Скалярная кривизна s в точке x (а значит и всюду) задается формулойnn11 |[Xi , Xj ]p|2 −B(Xi , Xi ) − |Z|2 .(11.6)s=−42i,j=1i=1Дополнительную информацию об однородных метриках и однородных эйнштейновых метрикахможно найти, например, в книге А. Бессе [5].Однородное многообразие M = G/H (с компактной группой H) называется изотропно неприводимым, если представление изотропии группы H неприводимо, т.е.
представление AdG (H) группыH в пространстве p неприводимо.Теорема 11.8 (см. [241]). Предположим, что однородное многообразие M = G/H изотропнонеприводимо. Тогда существует единственная (с точностью до гомотетии) G-инвариантнаяриманова метрика на M . Эта метрика является эйнштейновой.Действительно, любая G-инвариантная риманова метрика на M задается некоторым AdG (H)инвариантным скалярным произведением в p. Из неприводимости представления AdG (H) следует,что все AdG (H)-инвариантные скалярные произведения в p пропорциональны. Следовательно ивсе однородные римановы метрики пропорциональны.
Кроме того, любая AdG (H)-инвариантнаясимметрическая 2-форма на p пропорциональна скалярному произведению (·, ·). В частности, тензорРиччи пропорционален в точке x метрике в точке x и тем самым, ввиду однородности, всюду наM . Поэтому G-инвариантная риманова метрика на M является эйнштейновой.Теорема 11.9 (см.
[68]). Пусть (M, g) — изотропно неприводимое однородное многообразие.Тогда для любого риманова функционала F на M, обладающего градиентом, существуеттакая константа λ, что grad Fg = λg.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК131Действительно, для любой изометрии a метрики g имеем a∗ (grad Fg ) = grad Fg . В частности,для изометрий b ∈ H, оставляющих на месте точку x, b∗ (grad Fg )(x) = grad Fg (x). Учитываянеприводимость группы изотропии, мы получаем, что grad Fg (x) = λ(x)g(x). Из однородностипространства следует, что λ(x) = const.Следствие 11.10 (см. [68]).
Изотропно неприводимые однородные метрики являются критическими точками любого риманова функционала на пространстве M1 метрик одного объема,равного единице.G-однородное риманово многообразие (M, g) называется нормальным, если в алгебре Ли g существует такое AdG (H)-инвариантное скалярное произведение q что p является q-ортогональнымдополнением к h и метрика g определяется ограничением q на p. G-однородное риманово многообразие (M, g) называется стандартным, если q = −B, где B — форма Киллинга-Картана.Заметим, что в последнем случае группа G компактна и полупроста, поскольку форма формаКиллинга-Картана B отрицательно определена.Пусть теперь g — любая G-инвариантная риманова метрика на M .
Как мы видели, она задаетсянекоторым AdG (H)-инвариантным скалярным произведением в p. Для того, чтобы лучше понять,как устроены такие скалярные произведения, рассмотрим линейное представление изотропии χгруппы H в Tx M = p. Поскольку H компактна, то это представление вполне приводимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
