Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 14
Текст из файла (страница 14)
проблемы математики. Фундам. направления. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 48. — С. 98–195.30. Смирнов А. О. Вещественные эллиптические решения уравнения sine-Gordon// Мат. сб. — 1990. — 181,№ 6. — С. 804–812.31. Смирнов А. О. 3-эллиптические решения уравнения sine-Gordon// Мат. заметки. — 1997. — 62, № 3. —С. 440–452.32. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.33. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.
— М.: ИЛ, 1957.34. Фиников С. П. Теория поверхностей. — М.-Л.: ГТТИ, 1934.35. Чебышев П. Л. О кройке одежды// Успехи мат. наук. — 1946. — 1, № 2. — С. 38–42.36. Чередник И. В. Об условиях вещественности в конечнозонном интегрировании// Докл. АН СССР. —1980. — 252, № 5. — С. 1104–1108.37. Шикин Е.
В. Об изометрическом погружении в трехмерное евклидово пространство двумерных многообразий отрицательной кривизны// Мат. заметки. — 1982. — 31, № 4. — С. 601–612.38. Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции нескольких переменных. — М.: Наука, 1979.39. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. — М.: Гос.изд-во физ.-мат.
лит., 1963.40. Amsler M.-H. Des surfaces a courbure negative constante dans l’espace a trois dimensions et de leurssingularites// Math. Ann. — 1955. — 3. — C. 234–256.52А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙ41. Andreev V. A., Brezhnev Yu. V. Darboux transformation, positons and general superposition formula forthe sine-Gordon equation// Phys. Lett. A. — 1995.
— 207. — С. 58–66.42. Beltrami E. Sulla superficie di rotazione che serve di tipo alle superficie pseudosferiche// Giorn. Mat. —1872. — 10, Op. 2.43. Bianchi L. Lezioni di geometria differenziale. Vol. 1. — Bologna, 192744. Bobenko A. I. Surfaces in terms of (2 × 2)-matrices. Old and new integrable cases// В сб.: Harmonic Mapsand Integrable Systems/ Asp. Math. — Brunswick: Vieweg, 1994.
— 23.45. Bobenko A. I., Kitaev A. V. On asymptotic cones of surfaces with constant curvature and the third Painlevéequation// Manuscr. Math. — 1998. — 97. — С. 489–516.46. Bureau F. J. Differential equations with fixed critical points// Ann. Math. Pure Appl.
— 1964. — 64. —С. 229—364.47. Cieslinski J. The spectral interpretation of n-spaces of constant negative curvature immersed in R2n−1 //Phys. Lett. A. — 1997. — 236. — С. 425–430.48. Cieslinski J., Goldstein P., Sym A. Isotermic surfaces in E3 as soliton surfaces// Phys. Lett. A. — 1995.
—205, № 1. — С. 37–43.49. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. — Paris, 1894.50. Dobriner H. Die Flachen constanter Krummung mit einem System spharischer Krummungsliniendargestellt mit Hilfe von Thetafunctionen zweier Variabeln// Acta Math. — 1886–1887. — 9. — C. 73–104.51. Enneper A. Analytisch-geometrische Untersuchungen. — Gottinger Nachrichten, 1868.52. Fay J. Theta-functions on Riemann surface/ Lect. Notes Math.
— Springer-Verlag, 1973. — 352.53. Galini A., Ivey T. A. Bäcklund transformations and knots of constant torsion// Knot TheoryRamifications. — 1998. — 7, № 6. — C. 719–746.54. Hoffmann T. Discrete Amsler surfaces and a discrete Painlevé III equation// В сб.: Discrete integrablegeometry and physics/ Oxford Lect. Ser. Math. Appl. — Oxford: Clarendon Press, 1999. — 16. — С.
83–96.55. Its A. R., Novokshenov V. Yu. The isomonodromic deformation method in the theory of Painlevé equations/Lect. Notes Math. — Berlin–Heidelberg–New York–Tokyo: Springer-Verlag, 1986. — 1191.56. Klein J. J. Geometric interpretation of the solutions of the sine-Gordon equation// J. Math. Phys. — 1985. —26, № 9.
— С. 2181–2185.57. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux transformation and solitons. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.58. Nemeth S. Z. Bäcklund transformations of n-dimensional constant torsion curves// Publ. Math.Debrecen. — 1998. — 53, № 3-4. — С. 271–279.59. Sym A. I. Soliton surfaces and their applications// В сб.: Geometric Aspects of the Einstein Equations andIntegrable Systems/ Lect. Notes Phys. — Berlin: Springer-Verlag, 1985. — 239.
— С. 154–231.60. Steuerwald R. Über Ennepersche Flächen und Bäcklundsche Transformation// Abh. Bayer. Akad. Wiss.,N. F. — 1936. — 40. — С. 1–106.61. Wissler C. Globale Tschbyscheff-Netze auf Riemannischen Mannigfaltigkeiten und Fortsetzung von Flächenkonstanter negativer Krümmung// Comment. Math.
Helv. — 1972. — 47, № 3. — С. 348–372.Современная математика и ее приложения. Том 31 (2005). С. 53–68УДК 514.76КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯНА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХc 2005 г.И. Г. ШАНДРААННОТАЦИЯ. В данной работе построен аналог понятия «конциркулярное поле» для полуримановапространства (многообразия c вырожденной метрикой).
Найден тензорный признак пространств, допускающих максимальное число конциркулярных полей, либо вовсе не допускающих таких полей.Обнаружена лакуна в распределении размерностей пространства конциркулярных полей, которая вотличие от соответствующей лакуны для псевдоримановых многообразий, оказалась на единицу короче. Выделены и изучены специальные типы конциркулярных полей, не имеющих аналогов дляпсевдоримановых многообразий. Получена каноническая формы метрики для некоторых классов полуримановых пространств, допускающих конциркулярные поля.СОДЕРЖАНИЕ1.2.3.4.Введение . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Конциркулярные поля на многообразиях с вполне идемпотентной псевдосвязностью .
.Cпециальные типы конциркулярных векторные поля на полуримановых пространствахКаноническая форма метрики и горизонтального проектора полуримановых пространств, допускающих SH-конциркулярные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535456606568ВВЕДЕНИЕВ 1939 г. А. Фиалковым [12] на псевдоримановом многообразии (M, g) было введено в рассмотрение векторное поле Φ, удовлетворяющее условию(∇X Φ) = ρ · X,где X — произвольное дифференцируемое векторное поле на M , ρ — некоторая скалярная функция,а ∇ — связность Леви-Чивиты.
В последствии такое поле возникло при исследовании конциркулярных отображений (т.е. конформных отображений, сохраняющих геодезические круги) и поэтомубыло названо К. Яно [16] конциркулярным полем. В литературе это поле также встречалось подназваниями геодезическое поле [10] (ввиду того, что интегральные кривые этого поля являютсягеодезическими) и эквидистантное поле [4] (так как это поле градиентно и порождаемая имнормальная конгруенция является эквидистантной). Частный случай конциркулярного поля (приρ = const) под названием сходящееся поле направлений еще в 1935 г.
исследовал П. А. Широков [11]. Конциркулярные поля играют важную роль в теориях геодезических отображений,проективных и конформных преобразований и в этой связи изучались многими математиками:Н. С. Синюковым [4], Г. Фризом [15], А. В. Аминовой [1], Й. Микешем [3], А. С. Солодовниковым [5], И. Г. Шандрой [6, 7].Отметим ряд интересных свойств, которыми обладают псевдориманово многообразие (M, g),допускающее конциркулярное поле. Если ρ = 0, то (M, g) допускает нетривиальные конформноепреобразование и нетривиальное геодезическое отображение (а следовательно, и квадратичныйинтеграл геодезических).
Если же на многообразии существуют несколько линейно независимыхc Ин-т кибернетики АН Грузии, 2005ISSN 1512–1712 54И. Г. ШАНДРАконциркулярных полей, то все конциркулярные поля являются специальными, т.е. удовлетворяютусловиюX(ρ) = K · g(Φ, X), K = const,а многообразие допускает нетривиальное проективное преобразование и киллингово векторноеполе (линейный интеграл геодезических).
Пространство конциркулярных полей порождает идеалйордановой алгебры геодезических отображений [7]. Конциркулярные поля представляют такжеинтерес с точки зрения приложений [1,14]. Так, в модели де Ситтера траектории временеподобныхконциркулярных полей определяют мировые линии разбегающихся или сближающихся галактик,подчиняющихся гипотезе Вейля.В данной работе предпринята попытка построения аналога понятия конциркулярного поля дляполуриманова пространства (O(r, R) × Gl(n − r, R)-структуры). В разделе 1 приводятся предварительны сведения из теории псевдосвязностей и полуримановых пространств.
Раздел 2 посвященисследованию пространств, допускающих максимальное число конциркулярных полей либо вовсе не допускающих таких полей. Здесь также обнаружена лакуна в распределении размерностейпространства конциркулярных полей, которая в отличие от соответствующей лакуны для псевдоримановых пространств оказалась на единицу короче. В разделе 3 изучаются специальные типыконциркулярных полей. Раздел 4 посвящен нахождению канонической формы метрики и горизонтального проектора для некоторых типов полуримановых пространств, на которых существуютконциркулярные поля. Исследования ведутся локально, в классе достаточно гладких функций.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
