Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Единичный вектор нормали, из соображений аналитическойгеометрии:Этот вектор определён однозначно с точностью до направления. Выбор направлениязадаёт ориентацию поверхности.Определение. Первой квадратичной формой называется форма, она же - элементарнаядлина кривой на поверхности.6, где, из определения:Матрица первой квадратичной формы ( метрическая):В частности, если поверхность задана уравнением, тогда2)Вторая квадратичная форма, гдеПодставив , получим другую формы записи коэффицентов второй квадратичной формы:В частности, если поверхность задана уравнением, тогда:3)Нормальная, гауссова и средняя кривизныПусть- гладкая кривая класса , отнесённая к натуральному параметру s7Рассмотрим скалярное произведениеповерхности.
Тогданормалью, где, гдеи- единичный вектор нормали кесть угол между главной нормальюкривой ик поверхности.Так как( по формуле Френе), где. С другой стороны, учитывая, чтоОпределение. Скаляр– кривизна кривой, то имеемимеемназывается нормальной кривизной, а скаляр– геодезической кривизной.Из приведённых выше вычислений получим:– главные кривизны.– гауссова кривизна– средняя кривизна4)Нахождение главных кривизнДолжно быть ненулевое решение, следовательноРешения данного уравнения и есть экстремальные значения. По теореме Виета:8Получили формулы для вычисления гауссовой и средней кривизн, чтобы найти главные,необходимо решить изначальную систему уравнений, вычисливВ частности, если поверхность задана уравнениеми, тогда:Определение. Точка на поверхности называется эллиптической, если;гиперболической, если; параболической, еслии; точкой уплощения, если.
Омбилические точки характеризуются условиеми подразделяются на точкиуплощения и шаровые точки, в которых. Поверхность называется минимальной,сели во всех её точках. Поверхность называется развёртывающейся, если во всех еёточках5)Другие способы нахождения гауссовой кривизны.Введём обозначение.Имеют место формула Гаусса:6)Геодезическая кривизна, геодезическая линия.Геодезическая кривизнаВспомним формулу (7):или с учётом (8) и формул ФренеПолучимгде- единичный вектор нормали к поверхности.Пусть– уравнение кривой в окрестности некоторой точки.ОбозначимТогда для геодезической кривизны имеем формулу:Определение. Кривая на поверхности называется геодезической, если в каждой её точкегеодезическая кривизна равна нулю. Уравнения геодезическойпричём9Имеют место следующие утверждения.Для того, чтобы кривая была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы еёглавная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадала с нормалью кповерхности.Через каждую точку на поверхности в любом направлении можно провестигеодезическую, причём ровно одну.Часть 3.
Векторные и тензорные поля.1)Векторное полеПустьМножествовсех векторов с началом в точке х наделяетсяестественной структурой векторного пространства, называемого касательным пространствомв точке х.Определение. Векторное поле – это функция Х, относящая каждой точке, векторДля каждого существуют такие числачтоФункциибудем считать гладкими (класса)Ковекторное поле (в области) – это функция, относящая каждой точкеэлемент сопряжённого пространства(– пространство сопряжённое ккасательному) Существуют такие функциичтоЭти функции считаем гладкими.2)Тензорное поле.Пусть– векторное пространство векторных полей в областиавекторное пространство ковекторных полей в этой же области.
Зададим функцию линейному покаждому аргументуПусть в области пространства, в которой рассматривается поле Т, задана системакоординатПоложимФункцииназывают координатами тензорного поля Т в данной системе координат.Теорема. Любое тензорное полеможет быть записано в видеДоказательство. Обе части данной формулы являются тензорными полями.
Их значения внабореравны значениям функции , т.е. координаты тензоров совпадают, тогдасовпадают и сами тензорные поля.Теорема справедлива и для тензоров произвольного типа (p,q).Обозначим операцию свёртки. Пусть задано тензорное поле Т типа (2,1), его свёрткой поверхнему и первому нижнему индексам называют тензорное поле( - операциясвёртки), координаты которого вычисляются по формуле:3)Тензоры в пространствах с метрикой.Пусть в каждом касательном пространствеПоложимзадано скалярное произведение.10Тогда функциипредставляют собой координаты так называемого метрического тензора.Его можно записать в видеОчевидно, что матрица () симметричная и квадратичная формаположительно определена.Пусть Т – тензорное поле типа (1,1). Возьмём тензорное произведениеприменим операцию свёртки.
В результате получим тензор типа (2,0):координаты вычисляются по формуле.Говорят, что тензор S получен из тензора Т опусканием индекса.Тензор R с координатамигде () – матрица, обратная к матрице (, а затемЕго):получили из тензора Т поднятием индекса.Определение. Если– систему координат соответственно в областях U иV и отображение f задаётся формуламито координаты тензоратипа (1,1) вычисляются по формуле4)Производная Ли, коммутатор.Перенесём тензор из точки. Получимв точкус помощью отображенияОпределение.
Производной Ли тензорного поля типа (1,1) в направлении векторногополя X назовём тензорное полеТеорема. Производная Ли векторного полявыражается формулойпо направлению векторного поляДоказательство. Имеем11Взяв производную по t и устремив t к нулю получимТогдаПодставив последнее в полученное ранее выражение получим искомую формулу, что итребовалось доказать.□Определение. Полеобозначаетсяи называется коммутатором полей X и Y.Теорема.
Пусть X и Y – векторные поля. Тогда [14]Доказательство. Вычислим коммутаторИмеем5)Ковариантная производнаяОпределение. Ковариантной производной в направлении векторного поля Х называетсяправило, сопоставляющее векторному полю Y векторное поле, если выполнены следующиеусловия:,где Z – тоже векторное поле.Пусть,и– система координат в области U. Тогда [15]Пусть X – векторное поле, рассмотрим дифференцирование,удовлетворяющее следующим условиям:1), для;2)дляи3)для векторных полей определяется формулой (15)Покажем, что этими условиямиопределена однозначно. С одной стороны,, где, а с другой –ОткудаИтак, ковариантная производная для векторных и ковекторных полей определяетсяследующими формулами [16],[17]:12Теорема.
Ковариантные производные тензоров второго ранга определяются поформулам [18],[19],[20]:Ковариантная производная для тензоров произвольного ранга вычисляется по формуламаналогичным (18)-(19).Доказательство. Ограничимся случаем тензорного поля типа (2,0). Используя свойства1-3 операции , получим, что и требовалось доказать.□6)Тензор кривизныТеорема. Для симметричных связностей и для любого векторного поля T выражениеимеет вид:, где- тензор Римана(тензор кривизны), определяемыйформулойЕсли связность евклидова, то. В точках, где, верно равенство:Доказательство. Для векторных полей в любых координатах имеемСоставим выражение. После сокращений получим в координатахВведём обозначениеТогда получим формулу, где- тензор кручения. Оказывается,- это тензор; этот тензор называется тензоромРимана или римановой кривизной. Для симметричных связностей ().
Такимобразом получим:13, что и требовалось доказать. □Свойства тензора кривизны:1)2)3)4)Определение. Тензором Риччи называется выражение– след тензора Римана.Определение. Скалярной кривизной называется след тензора Риччи:Теорема. Для двумерных поверхностей в трёхмерном пространстве скалярная кривизнасовпадает с удвоенной гауссовой кривизной.
Поэтому гауссова кривизна, в отличие от среднейкривизны поверхности, выражается через риманову метрику самой поверхности (являетсявнутренним инвариантом).Доказательство. Пусть поверхность задается уравнениями, где x,y,z – евклидовы координаты пространства и- координаты наповерхности, выберем в исследуемой точкегде z нормальна к поверхности, в качествепараметров, тогда поверхность около точки P запишется уравнением, где. Для компонент метрики на поверхности получимВ частности в точкевсеВ такой точке имеем формулу, следовательно, все символы Кристоффеля равны нулю.В данной точке:Тогда, поопределению имеем, что, в точке P, в выбранных координатах.
Однако гауссова кривизнаK– это скаляр,где- компонента тензора. Они равны лишь в выбранной системе координат,. Легко видеть из определения R, согласно которому, что (опустили индекс)В нашей системе координатравенство R=2K, так как R и K – скаляры, то это верно всегда.□Для дальнейшего решения задач покажем, что, поэтому в ней верно14Вспомним теорему доказанную выше, в её же условиях:ПолучилиВспомним, чтоВспомним, чтоТак жеДля вычисления остальных компонент воспользуемся формулой3.
Практическая частьЗадача №1.Найти эволюту кривой заданной в полярных координатах.Произведём замену (на графике это поворот на ):Получим:;Тогда:Здесь;Воспользуемся формулами (12) и (13) для вычисления координат эволюты:15Часть- общая для обеих формул, вычислим её отдельно:Подставим полученное значение в формулы (12) и (13):Итого:Из полученных формул видно, чтосоответствуют координатам (x,y) кардиоиды,смещённой в положительном направлении полярной оси на, отражённой относительноOx. Учитывая, чточасовой стрелки., получим, что– поворот полярной оси напротив16На рисунке изображены: исходная кривая(меньший график)(больший график) и эволютаЗадача №2Найти натуральные уравнения кривой.17Для начала, вычислим всё необходимое для дальнейших расчётов(производные уже получены):Вычислим натуральный параметр по формуле (0), где:Вычислим кручение и кривизну по формулам (8) и (11), соответственно:Вспомним, что:Получим натуральные уравнения кривой:18Задача №3Вычислите гауссову кривизну поверхностиНайдите пределы изменения гауссовой кривизны.
Найдите точки, в которых гауссовакривизна принимает экстремальные значения.1)Вычисление гауссовой кривизныПриведём уравнение поверхности к каноническому виду для удобства вычислений.Получим:(3.1)Формула для вычисления гауссовой кривизны в декартовых координатах, где Y=Y(X,Z) :(3.2)Подставим полученные значения в формулу (3.2):Все точки – гиперболические.2)Исследование гауссовой кривизныДля простоты иследование в выражение для гауссовой кривизны подставим выражениеполученное из уравнения задающего поверхность.19_0Получили, что в плоскостиМ(x,0,y), т.е на окружности+Yгауссова кривизна достигает минимума, в точкахЗадача №41) Пусть на гладкой поверхности в двух точках прижимается и натягиваетсянерастяжимая нить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
