Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

При вращении вокруг оси OZ мы получим всю плоскостьOXY, т.е. z(x,y)=0, а значит поверхность минимальна (очевидно).2 случай:Вращение вокруг оси OXПусть x  u , тоr (u , v)  (u , f (u ) cos v, f (u ) sin v)ru  (1, f 'cos v, f 'sin v)rv  (0,  f sin v, f cos v)ruu  (0, f ''cos v, f ''sin v)rvv  (0,  f cos v,  f sin v)ruv  (0,  f 'sin v, f 'cos v)E  (ru , ru )  1  ( f ') 2F  (ru , rv )  0G  (rv , rv )  f 2EG  F 2  f 2 (1  ( f ') 2 )8L(ruu , ru , rv )N(rvv , ru , rv )M(ruv , ru , rv )EG  F 2EG  F2f f ''f 2 (1  ( f ') 2 )f2f 2 (1  ( f ') 2 ) 0;EG  FEN  2 FM  GLН02( EG  F 2 ) 22Что дает нам дифференциальное уравнение.1  ( f ') 2  ff ''  0При решении которого мы получим уравнение1f  e  ( x C2 )  2C1 (e 2C1 ( C2  x )  e2C1 )2x  C2  x2C1  axx1xf  a (e a  e a )  a ch( )2aТ.е. мы получили уравнение цепной линии, которая при вращение даст намкатеноид.3 Случай:Вращение вокруг оси OY.

Симметричен второму случаю.9Задача № 5Вычислите коммутатор [X,Y] векторных полей X и Y.X  xyx  yY  yy X (Y f )  Y ( X f )  ( xy ff f )( y )  y ( xy  ) x yyyx y2f 2 f f2 ff 2 f ff2  xy  y 2  xy  xyy 2  xyxy yyxxyyyx[X, Y]  y  xyx210Задача № 6На сфере единичного радиуса с заданной первой квадратичной формой:Найти ковариантную производную тензорного поля Т типа (1,1) внаправлении векторного поля X. Определить координаты тензоров S и R,полученные соответственно опусканием и подниманием индексов.Определить ковариантные производные и 1  v2  01T 01gij  01g ij   000cos 2 u 0 1 cos 2 u 0Символы Кристоффеля:1 lk  g kj  gik  gijg ( i )2 x  x j  xkГ111  0Г ijl Г112  0Г121  0Г122  tg u11Тогда ковариантная производная( Ñ X T )ij  1 (Ñ 1T )ij(Ñ 1T ) ijdT jidx( Ñ 1T )  0i Г1i T j  Г1jTi11( Ñ 1T )12  0( Ñ 1T )12  0( Ñ 1T ) 22  0Ñ XT  0Найдем S,R и их ковариантная производныеSij  g kiT jkR ij  g kiTk jS11  1R11  1S12  0R12  0S 21  0R 21  0S 22  0R 22  0( Ñ X S )ij  1( Ñ 1S )ij( Ñ X R)ij  1( Ñ 1 R)ij( Ñ 1S )11  0( Ñ 1 R)11  0( Ñ 1S )12  0( Ñ 1 R)12  0( Ñ 1S ) 21  0( Ñ 1S ) 22  0( Ñ 1 R) 21  0( Ñ 1 R) 22  0Проверка не требуется, т.к.

все производные нулевые.12Задача № 7Найдите компоненты и тензора кривизны поверхности из номера 3.Найдем матрицу и еѐ определитель1  z x2gij  z z x y 5 x 2  24 y 2  96z x z y   4 x 2  24 y 2  961  z y2  3 xy 22 4 x  24 y  963 xy4 x 2  24 y 2  96 4 x 2  33 y 2  96 4 x 2  24 y 2  96 5 x 2  33 y 2  96gij 4( x 2  6 y 2  24)Т.к. справедливо следующее2 R211 1 R12122 R121R212  11 R122  R2112R122 K  gij1 R212 R1122  R2211   R1212   R2121  K  gijТо,2211R R2121576(5 x 2  24 y 2  96) K  g11 (5 x 2  60 y 2  96) 2 (4 x 2  24 y 2  96)576(4 x 2  33 y 2  96)R   R  K  g 22 (5 x 2  60 y 2  96) 2 (4 x 2  24 y 2  96)1728 xy2121R212 R121  R122  R211 K  g12 (5 x 2  60 y 2  96) 2 (4 x 2  24 y 2  96)11221212R1122  R2211   R1212144(5 x 2  33 y 2  96)  R2121  K  gij (5 x 2  60 y 2  96) 2 ( x 2  6 y 2  24)13Задача № 8Вычислить тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную производную этоготензора в направлении поля Xx1  ux2  vГ111  0Г121  01Г 2101Г 22 cos u  sin uГ112  0Г122  tguГ 212  tguГ 222  0 Г qli  Г ipkR  Г ipk Г qlp  Г ipl Г qkpklxx1 Г11  Г111111R111  Г111 Г111  Г 21Г112  Г111 Г111  Г 21Г112  0uu Г121  Г111111R112  Г111 Г121  Г 21Г122  Г121 Г111  Г 22Г112  0uviqkl11R121  R11201211R1R12211 Г 21 Г 211111 Г111 Г 21 Г 21Г 212  Г111 Г 21 Г 21Г 212  0uu1 Г 21  Г 21111 Г121 Г121  Г 22Г122  Г 22Г121  Г 22Г122  0vv1R22202R11102R21102R12202R21202R22102R2220141R221  cos 2 u1R212 cos 2 u2R112 11R1121 Rijklllll(Ñ m R ) ГRГRГRГRmijkmijkmjikmkij xmlijk1(Ñ 1 R)11101(Ñ 1 R)11201(Ñ 1 R)1210(Ñ 1 R)1211  01(Ñ 1 R)1220(Ñ 1 R)1221  0(Ñ 1 R)1212  0(Ñ 1 R)1222  02(Ñ 1 R)11102(Ñ 1 R )11202(Ñ 1 R)12102(Ñ 1 R) 21102(Ñ 1 R)12202(Ñ 1 R) 21202(Ñ 1 R) 22102(Ñ 1 R) 2220т.е.l(Ñ m R)ijk015Список литературы1.

Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия,Наука, М., 1979.2. Ю.И. Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М., 2001.3. А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева, Основы тензорного анализа, Изд-во МГТУ,М., 2012.4. А.В. Погорелов, Лекции по дифференциальной геометрии, Изд-воХарьковского ун-та., Харьков, 1961.5. Д. Громов, В.

Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, Мир,М., 1971.6. Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, ТТ, 1,2,Физматлит, М., 19857. Э.Р. Розендорн, Задачи по дифференциальной геометрии, Изд-во МГУ, М.,1969.16Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ÔåäåðàöèèÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåòÈìåíè Í.

Ý. ÁàóìàíàÀýðîêîñìè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêàè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀïî êóðñóÂûïîëíèë:ñòóäåíò 2-ãî êóðñàÑåëèâàíîâ È.À.Ïðåïîäàâàòåëü:Ùåòèíèí À.Í.Ðåóòîâ 2014Ñîäåðæàíèå:1. Ââåäåíèå.....................................................................................................................22. Çàäà÷à 1.....................................................................................................................33. Çàäà÷à 2.....................................................................................................................44.

Çàäà÷à 3.....................................................................................................................55. Çàäà÷à 4.....................................................................................................................76. Çàäà÷à 5...................................................................................................................107. Çàäà÷à 6...................................................................................................................118. Çàäà÷à 7...................................................................................................................149. Çàäà÷à 8...................................................................................................................1710.Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû.........................................................................2011.Ïîâåðõíîñòü Áåëüòðàìè(Ïñåâäîñôåðà).................................................................211Ââåäåíèå.Äàííàÿ êóðñîâàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ çàäà÷ ïî êóðñó "Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿè îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà".

 íà÷àëå ðàáîòû â êðàòêîé ôîðìå ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ, ôîðìóëû è óòâåðæäåíèÿ áåç äîêàçàòåëüñòâ äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. Ê íåêîòîðûìçàäà÷àì ïîñòðîåíû ãðàôèêè äëÿ ëó÷øåãî âîñïðèÿòèÿ èõ ðåøåíèÿ.Òàê êàê êóðñîâàÿ ðàáîòà ïðîâîäèòñÿ ïàðàëëåëüíî ñ ÷òåíèåì ñàìîãî êóðñà "Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèè è îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà òî â çàäàíèå âêëþ÷åíû êàê ñòàíäàðòíûå çàäà÷è, òàê èçàäà÷è ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè. Îíè îòìå÷åíû çâåçäî÷êîé. êóðñîâîé ðàáîòå çàòðîíóòû òåìû ïî êóðñó "Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà"òàêèå êàê, "Êðèâûå íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå "Ïîâåðõíîñòè "Âåêòîðíûå èòåíçîðíûå ïîëÿ "Òåíçîð êðèâèçíû".Íåêîòîðûå çàäà÷è òðåáîâàëè âûñîêîòî÷íûõ ñëîæíûõ âû÷èñëåíèé.

Äàííûå ïðîáëåìû ðåøàëèñü ñ ïîìîùüþ ñåðâèñîâ: "Nigma "Wolfram Alpha". Âñå âû÷èñëåíèÿ â êàæäîé çàäà÷å òàê æå ïðîâåðåíû ñ ïîìîùüþ ýòèõ èíòåðíåò ñåðâèñîâ.Ìàëàÿ ÷àñòü çàäàíèé íóæäàëàñü â ãðàôè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè äëÿ ëó÷øåãî âîñïðèÿòèÿ ðåøåíèÿ. Äàííóþ ïðîáëåìó ïîìîã ðåøèòü ñåðâèñ "Wolfram Alpha êîòîðûé ñïîñîáåí ñòðîèòü ãðàôèêèâ äåêàðòîâîé, ïðÿìîóãîëüíîé, ïîëÿðíîé è ïðî÷èõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.2Çàäà÷à 1. Íàéòè ýâîëþòó ãèïåðáîëû.x = a ch t,y = b sh t.Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, òî êîîðäèíàòû (ξ, η) öåíòðà êðóãà êðèâèçíû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè:ξ =x−ẋ2 + ẏ 2ẏ,ẋÿ − ẍẏη=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏÃåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî öåíòðîâ êðèâèçíû äàííîé êðèâîé íàçûâàåòñÿ ååíåíèå :ẋ = a sh t; ẍ = a ch t;ýâîëþòîé. Íàéäåì åå óðàâ-ẏ = b ch t; ÿ = b sh t;ξ = a ch t−(a sh t)2 + (b ch t)2(a2 sh2 t + b2 ch2 t) ch t(a sh t)2 + (b ch t)2bcht=acht−bcht=acht+=aab sh2 t − ab ch2 tab(sh2 t − ch2 t)=η = b sh t +(a2 + b2 ) 3a2 ch t + a2 sh2 t ch t + b2 ch3 t=ch t;aa(a sh t)2 + (b ch t)2(a sh t)2 + (b ch t)2(a2 sh2 t + b2 ch2 t) sh tasht=bsht+asht=bsht−=bab sh2 t − ab ch2 tab(sh2 t − ch2 t)=(a2 + b2 ) 3b2 sh t − a2 sh3 t − b2 ch2 t sh t=−sh t;bbÌû ïîëó÷èëè, ÷òî êîîðäèíàòû öåíòðà êðèâèçíû ðàâíû:ξ=(a2 + b2 ) 3ch t;aη=−(a2 + b2 ) 3sh t.b óðàâíåíèå ýâîëþòû ãèïåðáîëû.Ðèñ.

1: Ýâîëþòà ãèïåðáîëû3Çàäà÷à 2. Íàéòè íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîé.Êðèâàÿ çàäàíà â ïðîñòðàíñòâå óðàâíåíèÿìè:x = et (4 cos t + 3),y = 5et sin t,z = et (3 cos t − 4)èëè â âåêòîðíîé ôîðìå:r(t) = et (4 cos t + 3), 5et sin t, et (3 cos t − 4) .Ôîðìóëûk = k(s),ãäå k è κ κ = κ(s)êðèâîé, à s íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð (äëèíà äóãè) íàçûâàþòñÿêðèâîé.êðèâèçíà è êðó÷åíèåíàòóðàëüíûìè óðàâíåíèÿìèÄëÿ íàõîæäåíèÿ íàòóðàëüíûõ óðàâíåíèé êðèâîé âíà÷àëå âû÷èñëèì åå êðèâèçíó è êðó÷åíèå,êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì:k=|r0 × r00 |3|r0 |,κ=(r0 , r00 , r000 )2 .|r0 × r00 |r0 (t) = (et (−4 sin t + 4 cos t + 3), 5et (sin t + cos t), et (−3 sin t + 3 cos t − 4)) ;r00 (t) = (et (3 − 8 sin t), 10et cos t, −2et (3 sin t + 2)) ;r000 (t) = (et (−8 sin t − 8 cos t + 3), 10et (cos t − sin t), −2et (3 sin t + 3 cos t + 2)) .~k~i~j000tttr × r = e (−4 sin t + 4 cos t + 3) 5e (sin t + cos t) e (−3 sin t + 3 cos t − 4) = ~i(10e2t (−3 + 2 cos t −et (3 − 8 sin t)10et cos t−2et (3 sin t + 2)2 sin t)) + ~j(25e2t (sin t + cos t)) + ~k(5e2t (−3 sin t + 3 cos t + 8));p|r0 × r00 | = 100e4t (3 − 2 cos t + 2 sin t)2 + 50e4t (49 + 24 cos t − 24 sin t + 8 sin 2t) =√√= 3750e4t = 25 6e2t ;|r0 | =√√75e2t = 5 3et ;√3|r0 | = 375 3e3t ;Ïîäñòàâëÿåì âñå ýòî â ôîðìóëó äëÿ k :√25 6e2t1 √ −t√k==2e3t15375 3eet (−4 sin t + 4 cos t + 3) 5et (sin t + cos t)0 00 000et (3 − 8 sin t)10et cos t(r , r , r ) = et (−8 sin t − 8 cos t + 3) 10et (cos t − sin t)2|r0 × r00 | = 3750e4t ;4et (−3 sin t + 3 cos t − 4) = −250e3t ;−2et (3 sin t + 2)t−2e (3 sin t + 3 cos t + 2)Ïîäñòàâëÿåì âñå ýòî â ôîðìóëó äëÿ κ:κ=− 250e3t1= − e−t .3750e4t15Ïîëó÷èëîñü, ÷òî êðèâèçíà k è êðó÷åíèå κ ðàâíû:√1 √ −tk = − 2κ =2e15Íàéäåì íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð s:Zts=Zt √√√ t|r (u)| du = 5 3eu du = 5 3eu = 5 3(et − 1).0000√k = − 2κ =√6√3(s + 5 3)Çàäà÷à 3.

Характеристики

Список файлов домашнего задания