Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

БауманаКурсовая работапо дисциплине «Дифференциальная геометрияи основы тензорного анализа»Выполнил: Зубарев К.М.Группа: Ак3-41Вариант № 6Проверил: Щетинин А.Н.Г. Москва 2014 годСОДЕРЖАНИЕ:I. Постановка задачи.1. Введение............................................................................................................II. Практическая часть.1.2.3.4.5.6.7.8.Задача 1..............................................................................................................Задача 2..............................................................................................................Задача 3..............................................................................................................Задача 4..............................................................................................................Задача 5..............................................................................................................Задача 6..............................................................................................................Задача 7..............................................................................................................Задача 8............................................................................................................III.

Литература.1. Список используемой литературы.............................................................ВведениеДанная курсовая работа посвящена решению задач по курсу"Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа" . В началеработы в краткой форме приводятся необходимые определения, формулы иутверждения без доказательств для решения поставленных задач. Кнекоторым задачам построены графики для лучшего восприятия ихрешения.Так как курсовая работа проводится параллельно с чтением самого курса"Дифференциальная геометрии и основы тензорного анализа" , то в заданиевключены как стандартные задачи, так и задачи повышенной сложности. Ониотмечены звездочкой.В курсовой работе затронуты темы по курсу "Дифференциальная геометрияи основы тензорного анализа" такие как, "Кривые на плоскости и впространстве" , "Поверхности" , "Векторные и тензорные поля" , "Тензоркривизны" .Некоторые задачи требовали высокоточных сложных вычислений.

Данныепроблемы решались с помощью сервисов: "Nigma" , "Wolfram Alpha" . Всевычисления в каждой задаче так же проверены с помощью этих интернетсервисов.Малая часть заданий нуждалась в графическом представлении для лучшеговосприятия решения. Данную проблему помог решить сервис "WolframAlpha", который способен строить графики в декартовой, прямоугольной,полярной и прочих системах координат.Задача № 1Найдите эволюту кривой:x  a(2t cos t  (t 2  2)sin t )y  a(2t sin t  (t 2  2) cos t )Решение:Эволюту кривой будем считать по формулам:  x( x ') 2  ( y ') 2y'x ' y " x " y '( x ') 2  ( y ') 2  yx'x ' y " x " y '(1)Найдем производные:x '  a(2 cos t  2t sin t  cos t (t 2  2)  2t sin t )  at 2 cos ty '  a(2sin t  2t cos t  2t cos t  (t 2  2) sin t )  at 2 sin tx "  a(2t cos t  t 2 sin t )y "  a(2t sin t  t 2 cos t )Найдем координаты центра кривизны по формулам (1)a 2t 4 cos 2 t  a 2t 4 sin 2 t  x 2y' at cos t  a(2t sin t  t 2 cos t )  a(2t cos t  t 2 sin t )at 2 sin ta 2t 4 cos2 t  a 2t 4 sin 2 t x 2 4 2y '  x  y '  2at cos t  at 2 sin t  2a sin t  at 2 sin t 2 42a t cos t  a t sin t 2a(t cos t  sin t )a 2t 4 cos2 t  a 2t 4 sin 2 t  y 2 4 2x '  y  x '  2a(t sin t  cos t )a t cos t  a 2t 4 sin 2 tЗадача № 2Найдите натуральные уравнения кривой:x  13ch ty  5sh t  12tz  12sh t  5tРешение:Кривизну и кручение будем считать по формулам:K r ' r "r'k 3( r ', r ", r "')r ' r "2Найдем производные:x '  13sh ty '  5ch t  12z '  12ch t  5x "  13ch ty "  5sh ty "'  5ch tz "  12 sh tx "'  13sh tz "'  12ch tНайдем кривизну:i13sh tKjk5ch t  12 12ch t  513ch t5sh t12sh t((13sh t) 2  (5ch t  12) 2  (12ch t  5) 2 )3/2(169sh t)2  (156  65ch t)2  (156ch t  65) 2K(169sh2 t  25ch2 t  120ch t  144  144ch2 t  120ch t  25)3/21692 sh2 t  1562  156 130ch t  65ch2 t  156ch2 t  156 130ch t  652(169sh2 t  169ch2 t  169)3/21692 sh2 t  1692 ch2 t  1692169 ch 2t  1169 2ch2 t1223/22(169sh t  169ch t  169)(13 ch 2t  1)3 (13 2ch2 t )3 26ch tНайдем кручение:13sh t13ch t13sh tk5ch t  12 12ch t  55sh t12sh t5ch t12ch t22169  2ch t780sh2 t ch t  156  5sh2 t ch t  12 156sh2 t  65 12ch3 t  65  5ch2 t1692  2ch2 t12  65sh2 t ch t  65  5sh2 t  780sh2 t ch t  156  5ch3 t  156 12ch2 t1692  2ch2 t65  5  12 156219712222169  2ch t169  2ch t26ch 2 tНайдем натуральный параметр:tt00s   r '(u ) du   13 2ch u  13 2sh tТогда получаем натуральные уравнения кривой:K k 13s 2  338Задача № 3Вычислите гауссову кривизну поверхности:5x2  4 xy  2 y 2  4 z 2  24Найдите пределы изменения гауссовой кривизны.

Найдите точки, в которых гауссова кривизнапринимает экстремальные значения.Решение:Приведем к каноническому виду: 5   2 2    7  6 2 2   1  62  1Получаем:6 x2  y 2  4 z 2  24Выразим из этого уравнения z:z6 2 y2x 644Найдем производные:3x2zyzy 4zzx 1(6 z 2  9 x 2 )34z1z yy (4 z 2  y 2 )316 zz xx Вычислим Гауссову кривизну по формуле:z xy  K3xy8z3z xx z yy  z xy2(1  z x2  z y2 ) 219 x2 y 212222(6 z  9 )  (4 z  y ) (24 z 4  6 z 2 y 2  36 x 2 z 2  9 x 2 y 2  9 x 2 y 2 )66664 z  64 zK  64 z22222 29xy 2 36 x  y  16 z (1  2 )24 z 16 z16 z 24(24 z 2  6 y 2  36 x 2 )(36 x 2  y 2  16 z 2 ) 2Подставим в это уравнение значение z:6y24(24  x 2   6   6 y 2  36 x 2 )4576422(60 x  5 y 2  96) 26 2 y222(36 x  y  16  x   6 )44K  0 следовательно все точки поверхности гиперболическиеНайдем производные:138240 xzx (60 x 2  5 y 2  96)311520 yzy 2(60 x  5 y 2  96)311520(60 x 2  25 y 2  96)z yy (60 x 2  5 y 2  96) 4z xx 138240(5 y 2  300 x 2  96)(60 x 2  5 y 2  96) 4z xy 4147200 xy(60 x 2  5 y 2  96)4В точке (0,0) будет экстремум функции, определим какая это точка, для этого посчитаем значенияпроизводных второго порядка в точке (0,0):A  96 11520 ; B  0 ; C  96 138240AC  B2  0 и A  0Следовательно это будет точка max.Найдем значение в точке (0,0): 116Гауссова кривизна изменяется в пределах: 1   16 , 0 Задача № 4Вычислите коммутатор  X , Y  векторных полей X и Y  X x y2y  xY  xyxРешение:Коммутатор будем вычислять по формуле: X , Y   XY  YX2   222 3 XY   x  y 2xyxyxyxyxyy   x xx 2xxy x2  22  23 YX   xy   x  y x y 2  0  xy  xyy xxxy x   xТогда получаем: X , Y    xy 2xЗадача № 5В плоскости Лобачевского с метрикойdu 2  dv 2ds v22Найти ковариантную производную  X T тензорного поля Т типа (1,1) в направлении векторногополя Х.

определить координаты тензоров S и R, полученные опусканием и подниманиеминдексов, определить их ковариантные производные.T11  0x1  uT12  vx2  vT21  01  u2  0T 022 v 2gij   00 v 2  v2g 0ij0v2 Решение:Вычислим символы Кристофеля по формуле: Гijl 1 l g j gi gijg ( i  j  )2xxxgggggg11Г111  v 2 ( 111  111  111 )   0  ( 212  121  112 )  02xxx2xxxgggggg111Г112   0  ( 111  111  111 )  v 2 ( 212  121  112 ) 2xxx2xxxvgggggg1111Г 21 Г121  v 2 ( 112  211  211 )   0  ( 212  221  221 )  2xxx2xxxvgggggg11Г 212  Г122   0  ( 112  211  211 )  v 2 ( 212  221  212 )  02xxx2xxxgggggg111Г 22 v 2 ( 122  212  221 )   0  ( 222  222  222 )  02xxx2xxxgggggg111Г 222   0  ( 122  212  221 )  v 2 ( 222  222  222 )  2xxx2xxxvВычислим ковариантную производную по формуле: X T  1 (1T )ij  2 (2T )ij(k T )ij T jix k Г ki T j  Г kj TiT111112(1T )  Г11T11  Г12T12  Г11T11  Г11T21  11xT1222212(1T )1  Г11T11  Г12T12  Г11T12  Г11T22  01xT2111112(1T ) 2  Г11T21  Г12T22  Г12T11  Г12T21  01xT222212(1T ) 22  Г11T21  Г12T22  Г12T12  Г12T22  11x11ij u(( X T ) )   00uОпустим индекс с помощью формулы:S jk  g jTkS11  g11T11  g 21T12  0S12  g11T21  g 21T22  01v12 g12T2  g 22T2  0S 21  g12T11  g 22T12 S 22Посчитаем ковариантную производную по формуле:( k S )ij Sijxk Г ki S j  Г kj SiS111 Г111 S11  Г112 S12  Г111 S11  Г112 S12   21xvS12(1S )12  1  Г111 S12  Г112 S22  Г121 S11  Г122 S12  0xS(1S ) 21  211  Г121 S11  Г122 S21  Г111 S21  Г112 S22  0xS1(1S ) 22  221  Г121 S12  Г122 S22  Г121 S21  Г122 S22  2xv(1S )11  u v2(( X S )ij )   00 u v2 Опустим индекс у тензора с помощью формулы:R jk  g  jTkR11  g 11T11  g 21T21  0R12  g 11T12  g 21T22  v3R 21  g 12T11  g 22T21  0R 22  g 12T12  g 22T22  0Вычислим ковариантную производную по формуле:Rij(k R)  k  Г ki R j  Г kj RixijR11 Г111 R11  Г121 R 21  Г111 R11  Г121 R12  v 21xR1212(1 R)  1  Г111 R12  Г121 R 22  Г112 R11  Г122 R12  0xR 2121(1 R)  1  Г112 R11  Г122 R 21  Г111 R 21  Г121 R 22  0xR 2222(1 R)  1  Г112 R12  Г122 R 22  Г112 R 21  Г122 R 22  v 2x(1 R)11  uv 2(( X R) )   0ij0 uv 2 Сделаем проверку:( X S )ij  g ki ( X T ) kj( X R)ij  g ki ( X T ) kj1u(u)0v2v2( X S )12  g11 ( X T )12  g 21 ( X T ) 22  0( X S )11  g11 ( X T )11  g 21 ( X T )12 ( X S ) 21  g12 ( X T )11  g 22 ( X T )12  0( X S ) 22  g12 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0 1uuv2v2( X R)11  g 11 ( X T )11  g 21 ( X T )12  v 2  ( u )  uv 2( X R)12  g 11 ( X T )12  g 21 ( X T ) 22  0( X R) 21  g 12 ( X T )11  g 22 ( X T )12  0( X R) 22  g 12 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0  v 2u  uv 2Задача № 6Постройте три линейно независимых векторных поля на трехмерной сфере S 3 .Решение:Для начала выясним: возможно ли построить три линейно независимых поля на даннойсфере.Действительно по теореме Гурвица-Радона на нечетномерной сфере S n евклидовапространства n1 существует p(n) касательных полей, где p(n)= 2r +8q-1, n+1= 2 p (2a+1),p=4q+r 3  r  0В Нашем случае n=3, p=2, r=2 и q=0 и получаем, что возможно построить ровно 3независимых векторных поля.

Теперь рассмотрим нашу задачу.Пусть Сфера S 3 задана как множество точек в  4 , координаты которых удовлетворяютуравнению:x12  x22  x32  x42  1Обозначим через r  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) радиус вектор точки на сфере S 3 ,разобьем координатына две пары: ( x1 , x2 ) , ( x3 , x4 ) над элементами каждой пары сделаем подстановку вида: xi xjxj xi Этому разбиению на пары соответствует векторное полеa  ( x2 , x1 ,  x4 , x3 ) .

Характеристики

Список файлов домашнего задания