Курсовые АК3-41, 2014 (1075672)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный техническийуниверситет им. Н. Э. Баумана.Курсовые работы AK3-41по дисциплине: «Дифференциальная геометрия»Москва 2014 г.1Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. КУРСОВАЯ РАБОТАпо курсу«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИОСНОВЫ ТЕНЗОРНГО АНАЛИЗА»Выполнил:студент 2-го курса, гр. АК3-41 Артамонов А.В. Преподаватель:Щетинин А.Н. ВведениеДифференциальная геометрия — это один из разделов математики, вкотором изучаются гладкие многообразия с помощью методовматематического анализа, в частности — дифференциального исчисления.Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку исвязано с именами Эйлера (1707-1783) и Монжа (1746-1818).

Первое сводноесочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложениеанализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс (1777-1855) опубликовал работу«Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основытеории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальнаягеометрия перестала быть только приложением анализа и заняласамостоятельное место в математике.Открытие Лобачевским (1792-1856) неевклидовой геометрии сыгралоогромную роль в развитии всей геометрии, в том числе идифференциальной.Риман (1826-1866) в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основанияхгеометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболееразвитой части современной дифференциальной геометрии.Задача 1.

Найдите эволюту кривойx  a (cos t  t sin t ), y  a (sin t  t cos t ).Решение. Координаты центра круга кривизны выражаются формулами:  xx '2  y '2x '2  y '2y ',   y x ' .x ' y '' x '' y 'x ' y '' x '' y 'Находим производные:x '  at cos t , y '  at sin tx ''  a (cos t  t sin t ), y ''  a (sin t  t cos t ).Находим координаты центра круга кривизны:  a(cos t  t sin t ) (at cos t ) 2  (at sin t )2at sin t  a cos t(at cos t )a(sin t  t cos t )  a(cos t  t sin t )(at sin t )  a(sin t  t cos t ) (at cos t )2  (at sin t ) 2at cos t  a sin t(at cos t )a(sin t  t cos t )  a (cos t  t sin t )(at sin t )Исключая t, находим уравнение эволюты:  a cos t  2   2  a 2 -окружность радиуса a с центром в начале координат  a sin tОбщая точка имеет координаты (a;0)Задача 2.

Найдите натуральные уравнения кривойx  e t (4 cos t  3), y  5e t sin t , z  e t (3 cos t  4).Решение. Находим производные:x '  e t (4 cos t  3  4 sin t ), y '  5et (sin t  cos t ), z '  e t (3 cos t  4  3sin t )x ''  e t ( 8 sin t  3), y ''  10e t cos t , z ''  e t ( 6 sin t  4)x '''  e t ( 8sin t  3  8 cos t ), y '''  10et (cos t  sin t ), z '''  e t ( 6 sin t  4  6 cos t )Длина дуги кривой, заданной параметрически:ts   x '2  y '2  z '2 dt.0Вычисляем интеграл:ts   (et (4 cos t  3  4 sin t )) 2  (5et (sin t  cos t )) 2  (et (3cos t  4  3sin t )) 2 dt 0t  5 3et dt  5 3(et  1)  5 3.0Кривизна k и кручение к кривой вычисляются по формулам:kr ' r ''r'3,к  r ', r '', r '''r ' r ''2.Находим кривизну k и кручение к:k21.,к  t15e15etНаходим натуральные уравнения кривой:k63.,к  3s3sЗадача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности5 x 2  4 xy  2 y 2  z 2  24Найдите пределы изменения гауссовой кривизны.

Найдите точки, в которыхгауссова кривизна принимает экстремальные значения.Решение. Составим матрицу и найдем собственные числа522 (5   )(2   )  4   2  7  6  0  1  1, 2  62В новой системе координат уравнение поверхности будет выглядетьx 2  6 y 2  z 2  24z  24  x 2  6 y 2Вычислим гауссову кривизну поверхности по формулеKz xx z yy  z xy2(1  z x2  z 2y ) 2x6yx2  z 26 xy36 y 2  6 z 2zx   , z y  , z xx  , z xy   3 , z yy  zzz3zz32 x 2  z 2   36 y 2  6 z 2   6 xy   3 222z3  z34  z   6 x  36 y  6 z K222222( x  36 y  z )(5 y  4) 2  x  2  6 y 2  1           z  z  Вычислим экстремумы гауссовой кривизны1) K '  K y 0 80 y0 y0(5 y 2  4)3142) zmin| x 0  24  6 y 2  0  y  2K y 2 1144Пределы изменения гауссовой кривизны11K1444Задача 4.

Докажите, что если все нормали к поверхности проходят черезодну точку, то поверхность есть сфера или область на сфере.Решение.Точка C - общая точка всех нормалей к поверхности, r  r (t) - радиус-векторпроизвольной точки M , n - нормаль к поверхности в точке M .drdt- касательный вектор в точке M .    r || n, r'  n  r  r'  (r, r')  0 (r, r) '  (r, r')  (r', r)  2(r, r) '  0  (r, r)  c1  CM  constТ.к.

CM - постоянная величина, а точка M - произвольная точка поверхности,то все точки поверхности равноудалены от точки C  поверхность – сфераили область на сфере.Задача 5. Вычислите коммутатор [ X , Y ] векторных полей X и Y .X  xy x   y , Y  y yРешение. Формула для вычисления коммутатора[ X , Y ]  XY  YXXY  ( xy x   y )( y y )  xy 2  2xy   y  y 2yyYX  ( y y )( xy x   y )  xy x  xy 2  2xy  y 2yy[ X , Y ]   y  xy xЗадача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формойds 2  du 2  cos 2 udv 2найдите ковариантную производную  X T тензорного поля Tтипа (1,1) внаправлении векторного поля X .

Определите координаты тензоров S и R ,полученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определитеих ковариантные производные  X S и  X R .T11  v, T12  0, T21  0, T22  0x1  u , x 2  v, 1  0,  2  v10Решение. gij  , g ij2  0 cos u 1 00 1 cos 2 u Вычислим символы КристоффеляГ ijk 1 k  g j gi gij g  i  j  2xx  xГ111 1 11  g11 g11 g11  1g  1  1  1    0  (...)  02xx  2 xГ112 11gg  g 0  (...)  g 22  211  121  112   022xx  xГ121 1 11  g12 g12 g12g  1  2  22xx xГ 212 11gg  g 0  (...)  g 22  212  221  212   tgu22xx  x1Г 221 11  g12 g 21 g 22  1g  2  2  1    0  (...)  sin u cos u2xx  2 xГ 222 11gg  g 0  (...)  g 22  222  222  222   022xx  x 1   0  (...)  0 211gg  gГ122   0  (...)  g 22  221  122  122   tgu22xx  xgg  11 g1Г 21 g 11  112  211  211    0  (...)  02xx  2 xВычислим смешанную производную по формуле X T  k (kT )ij  1 (1T )ij  2 (2T )ijij( k T ) T jixk Г ki  T j  Г kj Ti (1T )ij  0, т.к.

 1  01T11T11a 11aГTГT121 a2a 1x 2x 2T 1T 11( 2T )12  12  Г 22a Ta1  Г 21aT2a  12   Г 22T11  v sin u cos uxx2T( 2T )12  12  Г 21a Ta2  Г 22aT1a  Г 212 T11  vtguxT 2( 2T ) 22  21  Г 22a Ta2  Г 22aT2a  0x vv 2 sin u cos u i(( X T ) j )   20 v tgu( 2T )11 Опустим индекс с помощью формулыS jk  g jTkS11  g11T11  g 21T12  vS12  g11T21  g 21T22  0S21  g12T11  g 22T12  0S22  g12T21  g 22T22  0Найдём ковариантную производную по формуле( k S )ij Sijxk Г ki S j  Г kj S iS11S1 Г 21a Sa1  Г 21a S1a  112  2 Г 21S11  12xxS1( 2 S )12  122  Г 21a Sa 2  Г 22a S1a   Г 22S11  v sin u cos uxS1( 2 S )21  212  Г 22a Sa1  Г 21a S 2 a   Г 22S11  v sin u cos uxS( 2 S )22  222  Г 22a Sa 2  Г 22a S2 a  0xvv 2 sin u cos u (( X S )ij )   20 v sin u cos u( 2 S )11 Сделаем проверку( X S )ij  gai ( X T )j( X S )11  g 1 ( X T )1  g11 ( X T )11  g 21 ( X T )12  v( X S )12  g 1 ( X T )2  g11 ( X T )12  g 21 ( X T ) 22  v 2 sin u cos u( X S ) 21  g 2 ( X T )1  g12 ( X T )11  g 22 ( X T )12  v 2 sin u cos u( X S ) 22  g 2 ( X T )2  g12 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0Поднимем индекс с помощью формулыR jk  g  jTkR11  g11T11  g 21T21  vR12  g 11T12  g 21T22  0R 21  g 12T11  g 22T21  0R 22  g 12T12  g 22T22  0Найдём контравариантную производную по формулеR ij Г ki  R j  Г kj R ikx11RR111( 2 R )11  2  Г 21a R a1  Г 21a R1a  2  2 Г 21R11  1xx12R( 2 R )12  2  Г 21a R a 2  Г 22a R1a  Г 212 R11  vtguxR 21( 2 R )21  2  Г 22a R a1  Г 21a R 2 a  Г 212 R11  vtguxR 22( 2 R )22  Г 22a R a 2  Г 22a R 2 a  02x vv 2tgu (( X R)ij )   20  v tgu( k R )ij Сделаем проверку( X R )ij  g i ( X T )j( X R)11  g 1 ( X T )1  g 11 ( X T )11  g 12 ( X T )12  v( X R)12  g 1 ( X T )2  g 11 ( X T )12  g 12 ( X T ) 22  v 2tgu( X R) 21  g 2 ( X T )1  g 21 ( X T )11  g 22 ( X T )12  v 2tgu( X R) 22  g 2 ( X T )2  g 21 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0Задача 7.

Найдите компоненты Rijkl и Rijkl тензора кривизны поверхности иззадачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.Решение. Для решения докажем соотношение2 R211 1 R1212R212g K  111 R122  g 21g12 g 22 Пусть поверхность задается уравнениями x  x (u , v ), y  y (u , v ), z  z (u , v ) , гдеx, y, z – евклидовы координаты пространства и (u , v )  ( z1 , z 2 ) - координаты наповерхности, выберем в исследуемой точке P  (0, 0), где z нормальна кповерхности, в качестве параметров u  z1  x, v  z 2  y , тогда поверхностьоколо точки P запишется уравнением z  f ( x, y), где gradf P  0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания