Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Кроме того:R1122 = R2211 = −R1212 = −R2121 = K · |gij | ⇒24R1122 = R2211 = −R1212 = −R2121 = 2·z (36z 2 + x2 + 36y 2 )Остальные Rlijk = 0.Задача 8. Вычислить тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную производнуюэтого тензора в направлении поля X.Векторное поле X задано соотношением : X = ξ 1 X1 + ξ 2 X2 = vX2 .В свою очередь компоненты тензора кривизны находятся по формуле:∂Γljk ∂ΓliklRijk=−+ Γsjk Γlis − Γsik Γljs .∂xi∂xjВычисленные ранее, символы Кристоффеля равны:11Γ211 = ; Γ112 = Γ121 = Γ222 = − ; Γ122 = Γ111 = Γ212 = Γ221 = 0.vv11Вычисляем компоненты искомого тензора :∂Γl11 ∂Γl11l=R111−+ Γs11 Γl1s − Γs11 Γl1s ;∂u∂u1R111= Γ111 Γ111 − Γ111 Γ111 + Γ211 Γ112 − Γ211 Γ112 = 0;2R111 = Γ111 Γ211 − Γ111 Γ211 + Γ211 Γ212 − Γ211 Γ212 = 0;lR1121R1122R112∂Γl12 ∂Γl12=−+ Γs12 Γl1s − Γs12 Γl1s ;∂u∂u= Γ112 Γ111 − Γ112 Γ111 + Γ212 Γ112 − Γ212 Γ112 = 0;= Γ112 Γ211 − Γ112 Γ211 + Γ212 Γ212 − Γ212 Γ212 = 0;∂Γl11 ∂Γl21−+ Γs11 Γl2s − Γs21 Γl1s ;∂v∂u= Γ111 Γ121 − Γ121 Γ111 + Γ211 Γ122 − Γ221 Γ112 = 0;!∂Γ211111111=+ Γ111 Γ221 − Γ121 Γ211 + Γ211 Γ222 − Γ221 Γ212 = − 2 + · +−= − 2;∂vvv v vvvl=R2111R2112R211∂Γl12 ∂Γl22−+ Γs12 Γl2s − Γs22 Γl1s ;∂v∂u1∂Γ112=+ Γ112 Γ121 − Γ122 Γ111 + Γ212 Γ122 − Γ222 Γ112 = 2 ;∂vv= Γ112 Γ221 − Γ122 Γ211 + Γ212 Γ222 − Γ222 Γ212 = 0;lR212=1R2122R212∂Γl22 ∂Γl22−+ Γs22 Γl2s − Γs22 Γl2s ;∂v∂v= Γ122 Γ121 − Γ122 Γ121 + Γ222 Γ122 − Γ222 Γ122 = 0;∂Γ222 ∂Γ222=−+ Γ122 Γ221 − Γ122 Γ221 + Γ222 Γ222 − Γ222 Γ222 = 0;∂v∂vl=R2221R2222R222∂Γl22 ∂Γl12−+ Γs22 Γl1s − Γs12 Γl2s ;∂u∂v1∂Γ112111=−+ Γ122 Γ111 − Γ112 Γ121 + Γ222 Γ112 − Γ212 Γ122 = − 2 − 2 + 2 = − 2 ;∂vvvvv= Γ122 Γ211 − Γ112 Γ221 + Γ222 Γ212 − Γ212 Γ222 = 0;l=R1221R1222R122lR1211R1212R121∂Γl21 ∂Γl11=−+ Γs21 Γl1s − Γs11 Γl2s ;∂u∂v= Γ121 Γ111 − Γ111 Γ121 + Γ221 Γ112 − Γ211 Γ122 = 0;1111∂Γ211=−+ Γ121 Γ211 − Γ111 Γ221 + Γ221 Γ212 − Γ211 Γ222 = 2 − 2 + 2 = 2 ;∂vvvvv∂Γl21 ∂Γl21−+ Γs21 Γl2s − Γs21 Γl2s ;∂v∂v∂Γ121 ∂Γ121=−+ Γ121 Γ121 − Γ121 Γ121 + Γ221 Γ122 − Γ221 Γ122 = 0;∂v∂v= Γ121 Γ221 − Γ121 Γ221 + Γ221 Γ222 − Γ221 Γ222 = 0.lR221=1R2212R22112Таким образом компоненты тензора кривизны равны:1121; R211= R122= − 2;2vv2212121= R122= 0.= R222= R222= R212= R211= R112= R11221R121= R212=21211= R111= R111= R221= R221R121Согласно общему правилу ковариантного дифференцирования тензоров, ковариантнаяпроизводная тензора кривизны вычисляется по формуле:l∂Rijkalll+ Γlma Rijk− Γami Rajk− Γamj Riak− Γamk Rija.∂xmВ свою очередь ковариантная производная в направлении поля X будет равна:(∇m R)lijk =(∇X R)lijk = ξ 1 (∇1 R)lijk + ξ 2 (∇2 R)lijk = v (∇2 R)lijk .Итак:(∇2 R)lijk =l∂Rijkalll+ Γl2a Rijk− Γa2i Rajk− Γa2j Riak− Γa2k Rija.∂vl∂R111llal;− Γa21 R11a− Γa21 R1a1+ Γl2a R111− Γa21 Ra11∂v1∂R1111121111−− Γ221 R121− Γ221 R211+ Γ122 R111− Γ121 R111(∇2 R)1111 =− Γ121 R111− Γ121 R111+ Γ121 R111∂v1Γ221 R112= 0;2∂R11121222222(∇2 R)111 =+ Γ221 R111− Γ121 R111− Γ121 R111− Γ121 R111+ Γ222 R111− Γ221 R211− Γ221 R121−∂v22Γ21 R112 = 0;(∇2 R)l111 =(∇2 R)l112(∇2 R)1112l∂R112alll=+ Γl2a R112− Γa21 Ra12− Γa21 R1a2− Γa22 R11a;∂v11112111= Γ121 R112−Γ121 R112−Γ121 R112−Γ122 R111+Γ122 R112−Γ221 R212−Γ221 R122−Γ222 R112= 0;22222212−Γ222 R112= 0;−Γ221 R212−Γ221 R122−Γ122 R111+Γ222 R112−Γ121 R112−Γ121 R112(∇2 R)2112 = Γ221 R112l∂R122llla;− Γa22 R1a2− Γa22 R12a+ Γl2a R122− Γa21 Ra22∂v1∂R1221111211(∇2 R)1122 =+ Γ121 R122− Γ121 R122− Γ122 R112− Γ122 R121+ Γ122 R122− Γ221 R222− Γ222 R122−∂v111121Γ222 R122= 3 + 3 − 3 − 3 − 3 = 0;vvvvv12222222(∇2 R)2122 = Γ221 R122−Γ121 R122−Γ122 R112−Γ122 R121+Γ222 R122−Γ221 R222−Γ222 R122−Γ222 R122= 0;(∇2 R)l122 =(∇2 R)l222(∇2 R)1222l∂R222alll+ Γl2a R222− Γa22 Ra22− Γa22 R2a2− Γa22 R22a;=∂v11112112= Γ121 R222−Γ122 R122−Γ122 R212−Γ122 R221+Γ122 R222−Γ222 R222−Γ222 R222−Γ222 R222= 0;12222222(∇2 R)2222 = Γ221 R222−Γ122 R122−Γ122 R212−Γ122 R221+Γ222 R222−Γ222 R222−Γ222 R222−Γ222 R222= 0;(∇2 R)l121l∂R121alll=+ Γl2a R121− Γa21 Ra21− Γa22 R1a1− Γa21 R12a;∂v131∂R1211111211+ Γ121 R121− Γ121 R121− Γ122 R111− Γ121 R121+ Γ122 R121− Γ221 R221− Γ222 R121−∂v1Γ221 R122= 0;2∂R1211222222(∇2 R)2121 =+ Γ221 R121− Γ121 R121− Γ122 R111− Γ121 R121+ Γ222 R121− Γ221 R221− Γ222 R121−∂v211112Γ221 R122= − 3 + 3 + 3 − 3 + 3 = 0;vvvvv(∇2 R)1121 =(∇2 R)l221(∇2 R)1221l∂R221llla;− Γa21 R22a− Γa22 R2a1− Γa22 Ra21+ Γl2a R221=∂v11112111= Γ121 R221−Γ122 R121−Γ122 R211−Γ121 R221+Γ122 R221−Γ222 R221−Γ222 R221−Γ221 R222= 0;12222222(∇2 R)2221 = Γ221 R221−Γ122 R121−Γ122 R211−Γ121 R221+Γ222 R221−Γ222 R221−Γ222 R221−Γ221 R222= 0;l∂R212alll=+ Γl2a R212− Γa22 Ra12− Γa21 R2a2− Γa22 R21a;∂v1∂R2121111211(∇2 R)1212 =+ Γ121 R212− Γ122 R112− Γ121 R212− Γ122 R211+ Γ122 R212− Γ222 R212− Γ221 R222−∂v211111Γ222 R212= − 3 − 3 + 3 + 3 + 3 = 0;vvvvv22222221= 0;−Γ222 R212−Γ221 R222−Γ222 R212+Γ222 R212−Γ122 R211−Γ121 R212−Γ122 R112(∇2 R)2212 = Γ221 R212(∇2 R)l212l∂R211alll+ Γl2a R211− Γa22 Ra11− Γa21 R2a1− Γa21 R21a;∂v1∂R21111121111−− Γ221 R221− Γ222 R211+ Γ122 R211− Γ121 R211− Γ121 R211− Γ122 R111+ Γ121 R211(∇2 R)211 =∂v21Γ21 R212 = 0;2∂R2111222222(∇2 R)2211 =+ Γ221 R211− Γ122 R111− Γ121 R211− Γ121 R211+ Γ222 R211− Γ222 R211− Γ221 R221−∂v111122Γ221 R212= 3 − 3 − 3 + 3 − 3 = 0.vvvvv(∇2 R)l211 =В итоге получилось, что все компоненты ковариантной производной в направлении поля X равны нулю:(∇X R)lijk = 014Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский государственный технический университетИмени Н.
Э. БауманаАэрокосмический факультетКафедра Вычислительная математикаи математическая физикаКУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА"Выполнил:студент 2-го курсаВолков М.Н.Преподаватель:Щетинин А.Н.Введение.До определенного времени риманова геометрия и основы топологии не входили впрограммы обязательного университетского математического образования даже дляматематических факультетов. Однако до сих пор нет единой точки зрения на то, какименно эти курсы следует модернизировать, какую часть современной геометрии следует считать общеобязательным элементом современной математической культуры,сколь абстрактным должен быть язык ее изложения.Модернизированный курс геометрии начал создаваться на отделении механики механико - математического факультета МГУ в 1971 г. Многие ведущие механики разделяли точку зрения математиков о полезности внедрения некоторых сведений из теориимногообразий, групп преобразований, алгебр Ли, а также изложения простейших идейнаглядной топологии.
При этом язык изложения всех частей курса должен был бытьпредельно простым, не абстрактным, терминология — общей с той, которая используется физиками всюду, где это возможно.Развитие топологических и геометрических идей за последние десятки лет потребовало существенного усложнения алгебраического аппарата, переплетающегося с многомерной геометрической интуицией, глубокого использования функционального анализа и теории уравнений в частных производных, комплексного анализа.Наглядным и общеполезным разделом классической геометрии поверхностей в трехмерном пространстве является также геометрия в целом, в особенности теория выпуклых фигур и ее приложения.
Большой интерес также представляют глобальныепроблемы теории поверхностей отрицательной кривизны.Тензорное исчисление в настоящее время представляет собой отдельную и важнуюобласть математики. Возникшее как необходимый математический аппарат физических наук, оно активно используется и развивается в теоретической механике, механике сплошных сред, кристаллофизике, электродинамике, квантовой механике, теорииотносительности и др.Введение Декартом системы координат совершило революцию в математике и еёприложениях. Следующий шаг был сделан при введении векторного исчисления.
Приэтом для решения алгебраических и геометрических задач было достаточно введениядвух понятии - скаляра и вектора. Но для решения физических задач, например, задач теории упругости и гидродинамики требуются более сложные величины - тензоры.Тензорное исчисление возникло при разработке теории относительности и зачем сталонезаменимым методом, используемым в дифференциальной геометрии. Вслед за этимтензорное исчисление стало применяться всё шире и шире, потому что оно позволяетисследовать свойства изучаемых величин путём выделения инвариантов.
Инвариан1тами называются те зависимости, которые по меняются при переходе из одной системы координат в другую. Так как законы физики и механики не зависят от способаописания, то для выявления основных свойств изучаемого явления требуется доказательство их независимости от координатной системы. Именно поэтому необходимспособ перехода из одной системы координат в другую, как для геометрических зависимостей, так и для дифференциальных и интегральных уравнении. Таким образом,преобразование систем координат является основным методом тензорного исчисления.Независимость описания от выбора системы координат является не единственнымтребованием, предъявляемым к изучаемым величинам и законам.
Так как физические величины имеют размерность, то нужно, чтобы входящие в уравнение в видеслагаемых величины имели одинаковую размерность. В тензорном исчислении чтообеспечивается равенством рангов входящих в уравнение тензоров.В отличие от специальных разделов математики, таких, как дифференциальные иинтегральные уравнения, математическая физика, механика и т.д., тензорное исчисление представляет собой общий метод описания, одинаково применимый в любомразделе физики и математики.В ходе развития тензорного исчисления появилось несколько вариантов его изложения, основными из которых являются координатный (индексный) и бескоординатный(инвариантный) подходы. Последний способ называют прямым тензорным исчислением.
С чисто математической точки зрения оба подхода совершенно эквивалентны. Темне менее, существует мнение, что «прямой тензорный язык позволяет легко видеть ипредугадывать результаты, которые трудно увидеть в координатной версии тензорногоисчисления.
С другой стороны, не редки ситуации, когда прямое тензорное исчислениепозволяет легко предугадать новый результат, строгое доказательство которого прощеполучить на основе координатной формы тензорного исчисления, поскольку имеетсяхорошо разработанная техника работы с объектами, зависящими от индексов. Поэтомусвободное владение обеими формами тензорного исчисления совершенно необходимолюбому профессиональному исследователю. К счастью, из свободного владения прямой формой вытекает и свободное владение координатной формой, хотя обратное неимеет места» .Кроме того, прямое тензорное исчисление позволяет не только связать интуитивныепредставления рассматриваемого явления с его математической моделью и дать наглядную «физическую» интерпретацию элементов тензорной формы уравнений, входящих в математическую модель, но и более экономно изложить многие разделы научного знания.Впервые систематическое изложение тензорного исчисления было выполнено Грегорио Риччи (1853 - 1925) и Туллио Леви-Чивита (1873 - 1941) в 1901 г.2Задача №1.Найти эволюту циклоидыx = a(t − sin t),y = a(1 − cos t)Если кривая задана параметрически, то координаты (ξ, η) центра круга кривизны выражаются формулами:ẋ2 + ẏ 2ξ =x−ẋ = a(1 − cos t),ẍ = asint,ẋÿ − ẍẏẏ = asint,2ẋ2 + ẏ 2ẏ,η=y+ẋÿ − ẍẏÿ = a cos ta2 (1 − 2 cos t + cos2 t + sin2 t)2(a(1 − cos t)) + (a sin t)ξ = a(t − sin t) −a(1 − cos t) · a cos t − a sin t · a sin t1 − 2 cos t + 1sin t) −cos t − 1ẋ.· a sin t = a(t − sin t) −a2 (cos t − cos2 t − sin2 t)2(1 − cos t)· a sin t = a(t − sin t) +1 − cos t· a sin t = a(t − sin t) + 2 · a sin t = at + a sin t = a(t + sin t)(a(1 − cos t))2 + (a sin t)2η = a(1 − cos t) +· a sin t = a(t −a(1 − cos t) · a cos t − a sin t · a sin t2 · a(1 − cos t) = a(cos t − 1)2(1 − cos t)· a(1 − cos t) = a(1 − cos t) +Получаем:ξ = a(t + sin t)η = a(cos t − 1)Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
