Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 21
Текст из файла (страница 21)
П. К. Рашевский – Курс дифференциальной геометрии – М.-Л.: ГИТТЛ, 19502. А. И. Погорелов – Дифференциальная геометрия – М.: Наука, 19743. Ю. И. Димитриенко – Тензорное исчисление – М.: Высшая школа, 20014. А. Н. Щетинин, Е. А. Губарева – Основы тензорного анализа – М.: Изд-воМГТУ, 20125. Л. Д. Ландау и Е.
М. Лифшиц – Теоретическая физика. Том 2. Теория поля:Изд-во Наука, 19886. Г. В. Коренев – Тензорное исчисление: Изд-во МФТИ, 1990Московский государственный техническийуниверситет им. Н. Э. Баумана.Курсовая работа #14по дисциплине: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГОАНАЛИЗА»Выполнил:студент 2-го курса, гр. АК3-41Ягубов Роман БорисовичПроверил:Щетинин Александр Николаевичг. МоскваСОДЕРЖАНИЕ:I. Постановка задачи.1. Введение............................................................................................................1II. Практическая часть.1.2.3.4.5.6.7.8.Задача 1..............................................................................................................2Задача 2..............................................................................................................3Задача 3..............................................................................................................4Задача 4..............................................................................................................5Задача 5..............................................................................................................6Задача 6..............................................................................................................7Задача 7..............................................................................................................9Задача 8............................................................................................................10III.
Литература.1. Список используемой литературы.............................................................11ВведениеДанная курсовая работа посвящена решению задач по курсу"Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа" . В началеработы в краткой форме приводятся необходимые определения, формулы иутверждения без доказательств для решения поставленных задач.
Кнекоторым задачам построены графики для лучшего восприятия их решения.Так как курсовая работа проводится параллельно с чтением самого курса"Дифференциальная геометрии и основы тензорного анализа" , то в заданиевключены как стандартные задачи, так и задачи повышенной сложности. Ониотмечены звездочкой.В курсовой работе затронуты темы по курсу "Дифференциальная геометрияи основы тензорного анализа" такие как, "Кривые на плоскости и впространстве" , "Поверхности" , "Векторные и тензорные поля" , "Тензоркривизны" .Некоторые задачи требовали высокоточных сложных вычислений.
Данныепроблемы решались с помощью сервисов: "Nigma" , "Wolfram Alpha" . Всевычисления в каждой задаче так же проверены с помощью этих интернетсервисов.Малая часть заданий нуждалась в графическом представлении для лучшеговосприятия решения. Данную проблему помог решить сервис "WolframAlpha", который способен строить графики в декартовой, прямоугольной,полярной и прочих системах координат.1Задача 1.Найдите эволюту кривой, заданной в полярных координатах.Преобразование к параметрическими уравнениями:Координаты центра круга кривизны выражаются формулами:Промежуточные вычисления:Эволюта кривой в параметрическом виде ε(t) и η(t):Рис. 1.
Эволюта кривой кардиоида x=ε(t) и y=η(t):2Задача 2.Найти натуральные уравнения кривой.Промежуточные вычисления | r' | , | r' |3 , | r' x r''' | , | r' x r''' |2, ( r', r'', r''' ):Найдем натуральный параметр s:Получаем натуральные уравнения:3Задача 3.Вычислите гауссову кривизну поверхности:Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, вкоторых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.Составим матрицу и найдем собственные числа:В новой системе координат уравнение поверхности будет выглядеть:Выразим z и найдем ее производные:Вычислим гауссову кривизну поверхности:Следовательно гауссова кривизна поверхности равна:Видно, чтоайдем производные f :Точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальныезначения:Гауссова кривизна достигает максимума в точке.Пределы изменения гауссовой кривизны равны:4Задача 4.Вычислите гауссову кривизну поверхности с первой квадратичнойформой:Матрица первой квадратичной формы:Формула Гаусса:Следовательно гауссова кривизна поверхности равна:5Задача 5.Вычислите коммутаторвекторных полей X и Y.Воспользуемся формулой:Следовательно коммутаторвекторных полей X и Y равен:6Задача 6.В плоскости Лобачевского с метрикой:Найти ковариантную производнуютензорного поля Т внаправлении векторного поля X.
Определить координаты тензоров S иR, полученные соответственно опусканием и подниманием индексов.Определить ковариантные производныеиНайдем символы Кристоффеля:Получим:Воспользуемся формулой:Следовательно ковариантная производнаяравна:Применив формулу:Координаты тензора S, полученные опусканием индексов:Применив формулы:7=0Следовательно ковариантная производнаяравна:Выполним проверку:Применив формулу:=Координаты тензора R, полученные подниманием индексов:Применив формулу:Получим:Следовательно ковариантная производнаяравна:Выполним проверку:8Задача 7.Найдите компонентыВычислим матрицуитензора кривизны поверхности.и её определитель (производные из задачи 3):Для компонента тензора кривизны справедливы выражения:Следовательно компонентыравны:итензора кривизны поверхностиОстальные координаты равны нулю.9Задача 8.Вычислите тензор кривизны и ковариантную производную его.Формула Гаусса:Следовательно тензор кривизны равен:Для компонента тензора кривизны справедливы выражения:Остальные координаты равны нулю.Применив формулы (символы Кристоффеля из задачи 6):Получим:=0=0Следовательно ковариантная производнаяравна:10Список используемой литературы.1.
Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная2.3.4.5.6.7.геометрия, Наука, М., 1979.Ю.И. Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М.,2001.А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева, Основы тензорного анализа, Издво МГТУ, М., 2012.А.В. Погорелов, Лекции по дифференциальной геометрии, Издво Харьковского ун-та., Харьков, 1961.Д. Громов, В. Клингенберг, В.
Мейер, Риманова геометрия вцелом, Мир, М., 1971.Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшейматематике, ТТ, 1,2, Физматлит, М., 1985Э.Р. Розендорн, Задачи по дифференциальной геометрии, Изд-воМГУ, М., 1969.Основная теоретическая часть для решения представленных задач была взятаиз источников: "Методические указания по выполнению курсовой работы поДифференциальной геометрии" и "А. Н. Щетинин, Е. А. Губарева, Основытензорного анализа, Изд-во МГТУ, 2012" .11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
