Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

212(t ) (  )  (1   )( ) 2  0 322  (   1)..2 . .    0.Из третьего уравнения найдем :d 2 2 d  d0ds 2  ds ds.kdk 2 d k 0ds  dsC1k2..Из первого уравнения найдем t:d 2t1d  dt02ds (   1) ds ds.tkdk1dk 0ds  (   1) dskC2  .t1 .Если существует круговая орбита, то   0 . Подставляя во второе уравнение.. и t , получим:  1 C2  2C1 2()(1)() 02 3 1  222C 2(   1) 2 C123Найдем период обращения по времени t:..t1 2Следовательно, период равен:T  2 2 Найдем какое значение может принимать:2  1 2(   1) 2 C1222 C11(*) 432(1   )1ОтсюдаC122(2   3)32.Теперь найдем период по собственному времени:2 C12(2   3)C12.

2 .1(2   3)  2Здесь.1 2  3А период равен:T  2 2   3 .Задача 5. Вычислите коммутатор [ X , Y ] векторных полей X и Y .X  2 xy x  x y , Y  xy yРешение. Формула для вычисления коммутатора[ X , Y ]  XY  YXXY  (2 xy x  x y )( xy y )  2 xy 2 y  2 x 2 y 2  2xy  x 2  y  x 2 y 2yyYX  ( xy y )(2 xy x  x y )  2 x 2 y x  2 x 2 y 2 2xy  x 2 y 2yy[ X , Y ]  2 xy 2  y  x 2  y  2 x 2 y x  (2 xy 2  x 2 ) y  2 x 2 y xЗадача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой:ds 2  du 2  cos 2 u  dv 2Найти ковариантную производную  X T тензорного поля Т типа (1,1) внаправлении векторного поля Х. определить координаты тензоров S и R,полученные опусканием и подниманием индексов, определить ихковариантные производные.T11  0T12  vx1  uT 0x v1  1T22  02  112 v 0T 0 0ij20 1g ij  2 0cosu1g ij   001 cos 2 u Решение.

Вычислим символы Кристоффеля по формуле:Г ijl 1 l g j gi gijg ( i  j  )2xxx1 ggg1Г111  ( 111  111  111 )   0  (.......)  02 xxx211g 21 g12 g11Г112   0  (.......) ()022 cos 2 u x 2 x1 x 21 ggg11Г 21 Г121  ( 112  211  211 )   0  (.......)  02 xxx2g 21 g 22 g 2111Г 212  Г122   0  (.......) ( 1  2 )  tgu22 cos 2 u x 2xx1g12 g 21 g 22 11Г 22()   0  (.......)  sin u cos u2 cos 2 u x 2 x 2 x1211g 22 g 22 g 22Г 222   0  (.......) ()022 cos 2 u x 2 x 2 x 2Вычислим ковариантную производную по формулам: X T  1 (1T )ij   2 ( 2T )ijij( k T ) T jix k Г ki  T j  Г kj TiT11T111 1 1ГTГT)( Г 21 T1  Г 21T ) 1 111 x1x 2T 1T 11 11 11 ( 11  Г111 T11  Г111 T11  Г121 T12  Г112 T21 )  ( 12  Г 21T1  Г 21T1  Г 22T12  Г 212 T21 )  1xx( xT )11  (T21T211 1 1ГTГT)( Г 21 T2  Г 22T ) 1 212 x1x 2T 1T 11 111 ( 21  Г111 T21  Г121 T11  Г121 T22  Г122 T21 )  ( 22  Г 21T2  Г 22T11  Г 22T22  Г 222 T21 ) xx v cos u sin u( xT )12  (T12T122 2 2ГTГT)( Г 22 T1  Г 21T ) 1 111 x1x 2T 2T 21 ( 11  Г112 T11  Г111 T12  Г122 T12  Г112 T22 )  ( 12  Г 212 T11  Г 21T12  Г 222 T12  Г 212 T22 ) xx vtgu( xT )12  (T22T222 2 2( xT )  ( 1  Г1 T2  Г12T )  ( 2  Г 22 T2  Г 22T ) xxT 2T 21 ( 21  Г112 T21  Г121 T12  Г122 T22  Г122 T22 )  ( 22  Г 212 T21  Г 22T12  Г 222 T22  Г 222 T22 )  0xx221( (  X T ) ij )    v tg u v c o s u s in u 0Опустим индекс с помощью формулы: S jk  g jTkS 11  g 11T11  g 21T12  vS 12  g 11T21  g 21T22  0S 21  g 12T11  g 22T12  0 v 0Sij  00S 22  g 12T21  g 22T22  0Посчитаем ковариантную производную по формулам:( X S )ij   k ( k S )ij  1 (1S )ij   2 ( 2 S )ij( k S ) ij  S ijxk Г ki S  j  Г kj S iS11S Г11 S 1  Г11 S1 )  ( 112  Г 21S 1  Г 21S1 ) 1xxSS11 ( 111  Г111 S11  Г111 S11  Г112 S 21  Г112 S12 )  ( 112  Г 21S11  Г 21S11  Г 212 S21  Г 212 S12 )  1xx( x S )11  (S12S Г11 S 2  Г12 S1 )  ( 122  Г 21S 2  Г 22S1 ) 1xxSS11 ( 121  Г111 S12  Г121 S11  Г112 S 22  Г122 S12 )  ( 122  Г 21S12  Г 22S11  Г 212 S 22  Г 222 S12 ) xx v cos u sin u( x S )12  (S 21S Г12 S 1  Г11 S 2 )  ( 212  Г 22S 1  Г 21S 2 ) 1xxSS11 ( 211  Г121 S11  Г111 S 21  Г122 S 21  Г112 S 22 )  ( 212  Г 22S11  Г 21S 21  Г 222 S 21  Г 212 S 22 ) xx v cos u sin u( x S ) 21  (S 22S Г12 S 2  Г12 S 2 )  ( 222  Г 22S 2  Г 22S 2 ) 1xxSS11 ( 221  Г121 S12  Г121 S 21  Г122 S 22  Г122 S 22 )  ( 222  Г 22S12  Г 22S 21  Г 222 S22  Г 222 S22 )  0xx( x S ) 22  (1(( X S ) ij )    v cos u sin u v cos u sin u 0Поднимем индекс у тензора с помощью формулы:R jk  g jTkR11  g 11T11  g 21T21  vR12  g 11T12  g 21T22  0R 21  g 12T11  g 22T21  0 v 0R ij  0 0R 22  g 12T12  g 22T22  0Вычислим ковариантную производную по формулам:( X R )ij   k ( k R )ij  1 (1 R )ij   2 ( 2 R )ijR ij( k R )  k  Г ki  R  j  Г kj R ixijR11R111111ГRГR)( Г 21 R 1  Г 21 R1 ) 11x1x 2R11R111 111 111211121111 ( 1  Г11 R  Г11 R  Г12 R  Г12 R )  ( 2  Г 21R11  Г 21R11  Г 22R 21  Г 22R12 )  1xx( x R)11  (R12R121221ГRГR)( Г 21 R 2  Г 22 R1 ) 11x1x 2R12R121 122 111222 1211 ( 1  Г11 R  Г11 R  Г12 R  Г12 R )  ( 2  Г 21R12  Г 212 R11  Г 22R 22  Г 222 R12 )  vtguxx( x R)12  (R 21R 212112ГRГR)( Г 22 R 1  Г 21 R 2 ) 11x1x 2R 21R 212 1112122112211 ( 1  Г11 R  Г11 R  Г12 R  Г12 R )  ( 2  Г 212 R11  Г 21R 21  Г 222 R 21  Г 22R 22 )  vtguxx( x R)21  (R 22R 222222ГRГR)( Г 22 R 2  Г 22 R 2 ) 11x1x 2R 22R 222 122 21222222 ( 1  Г11 R  Г11 R  Г12 R  Г12 R )  ( 2  Г 212 R12  Г 212 R 21  Г 222 R 22  Г 222 R 22 )  0xx( x R) 22  (vtgu  1(( X R)ij )  vtgu0Сделаем проверку: ( X R )ij  g i ( X T )j( X R )11  g 1 ( X T )1  g 11 ( X T )11  g 12 ( X T )12  1*1  1( X R )12  g 1 ( X T )2  g 11 ( X T )12  g 12 ( X T ) 22  vtgu( X R ) 21  g 2 ( X T )1  g 21 ( X T )11  g 22 ( X T )12  vtgu( X R ) 21  g 2 ( X T )1  g 21 ( X T )11  g 22 ( X T )12  0- Верно!( X S )ij  g i ( X T )j( X S )11  g 1 ( X T )1  g11 ( X T )11  g 21 ( X T )12  1*1  1( X S )12  g 1 ( X T )2  g11 ( X T )12  g 21 ( X T ) 22  v cos u sin u( X S ) 21  g 2 ( X T )1  g12 ( X T )11  g 22 ( X T )12  v cos u sin u( X S ) 22  g 2 ( X T )2  g12 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0- Верно!lЗадача 7.

Найдите компоненты R ijk и Rlijk тензора кривизны поверхности иззадачи 3.Решение.Для решения докажем соотношение2 R211 1 R1212R212 g11K1R122 g 21g12 g 22 Пусть поверхность задается уравнениями x  x(u , v), y  y (u , v), z  z (u , v) , гдеx, y, z – евклидовы координаты пространства и (u , v)  ( z1 , z 2 ) - координаты наповерхности, выберем в исследуемой точке P  (0, 0), где z нормальна кповерхности, в качестве параметров u  z1  x, v  z 2  y , тогда поверхностьоколо точки P запишется уравнением z  f ( x, y ), где gradf P  0 . Длякомпонент метрики на поверхности получимf fgij   ij  i j , z1  x, z 2  yz zВ частности в точке P  (0, 0), все производныеgijz k 0 , следовательно, всесимволы Кристоффеля равны нулю.

В такой точке имеем формулуiRqklГ qliz k 2 g qkГ qkiz l 2 g ql 2 gik1   2 gil  q k i l q l l k2  z zz z z z z z1  2 g2 g2 g2 g R2121   1 212  1 121  1 221  2 112 2  z zz z z z z z z1  x, z 2  yRiqklg11  1  z x2 , g12  g 21  1  z x z y , g 22  1  z 2y22 2 g112  g122  g 22 2 z xy , z xx z yy  z xy , 2 z xy222yxyx1 zxx z yy  zxy2  zxx z yy  zxy2  2 zxy2  2 zxy2   zxx z yy  zxy2  K , по определению2zzимеем, что K  xx xy , в точке P , где g ij   ij в выбранных координатах.z yx z yyТогда R2121 Однако гауссова кривизна K – это скаляр, R2121 - компонента тензора. Ониравны лишь в выбранной системе координат, где det g ij  1  g .

Легко видеть изопределения R , согласно которому R  g ql Rqili , чтоR  2 det g ql R2121 2R2121  Rdet gijВ нашей системе координат g  1, R2121  K , поэтому в ней верно равенствоR  2 K , так как R и K – скаляр, то это верно всегда. Тогда имеемR2121  Kg , Riqkl  gi Rqkl, R2121  g 2 R121 Kg  g 2 R121R121 Kg 2 g , g=(g11 g 22  g12 g 21 )1122R121 K ( g 21 )   R211,  R121 K ( g11 )  R211iii Rlkq Rqlk 0 , получаем, чтоИспользуя соотношение Rqkl1111R121 R211 R112 0  R11202222R121 R211 R112 0  R11201122Kg 2 g  R212,  R212 K ( g 22 )  R122, R212 K (  g12 )   R122iii Rlkq Rqlk 0 , получаем, чтоИспользуя соотношение Rqkl1111R212 R221 R122 0  R21102222R212 R221 R122 0  R2110iqklR1R111Г qliz kГ qkiz l0Г111 Г111Г 2 Г 2Г 1 Г 1Г 2 Г 2212 0, R111 11  11  0, R222 22  22  0, R222 22  22  0xxxxyyyyВ итоге получаем22111121RR22121122RR21211211  R  R21221212RR g11K g 21g12 g 22 Вернемся к решению задачи: Вычислим компоненты тензора кривизны поформулам2 R211 1 R12122   R121R212 11 R122   R2112 R122 g11K1 R212 g 21g12 1  y x2 y x y z  K2g 22  y x yz 1  yz R1122  R2211   R1212   R2121  K det gОстальные координаты равны нулю.Поверхность из задачи 3 задана уравнениемy  42 2 2 2x  z33yx 2x32z3yz 224  x2  z 23342 2 2 2x  z33Гауссова кривизна K из решения задачи 3 равна1(3  x  z 2 ) 2K2Вычислим элементы матрицы gij и её определитель4 2x92xg11  1  y  1 2 2 2 2x  z334g12  g 21  y x yz 436  10 x 2  6 z 26(6  x 2  z 2 )4 xy6(6  x 2  z 2 )4 2z9g 22  1  yz2  1 2 2 2 2x  z3336  6 x 2  10 z 26(6  x 2  z 2 )1  y x2 yx y zdet g  (1  yx2 )(1  yz2 )  ( y x yz )2 2yx y z 1  y z2 36  10 x 2  6 z 2   36  6 x 2  10 z 2   18  5 x 2  5 z 24 xy 222222 3(6  x 2  z 2 ) 6(6  x  z )   6(6  x  z )   6(6  x  z ) Вычислим компоненты тензора кривизны поверхности2211R2121 R212R212 R121  R12218  5 x 2  3z 2 K (1  y ) 3(6  x 2  z 2 )(3  x 2  z 2 ) 22 xz1  R211 K ( zx z y ) 23(6  x  z 2 )(3  x 2  z 2 )22x11R122  R212 K (1  z y2 ) R1122  R2211   R121218  3x 2  5 z 23(6  x 2  z 2 )(3  x 2  z 2 )218  5 x 2  5 z 2  R2121  K det g 3(6  x 2  z 2 )(3  x 2  z 2 ) 2Задача 8*.

Вычислите тензор кривизны из задачи 6и ковариантнуюпроизводную этого тензора в направлении поля X.Решение. Координаты тензора кривизныГ ljklГslslikRijkl ГГГГjkisikjsx ix jНенулевые символы Кристоффеля:Г122  Г 212  tgu1Г 22 cos u sin uВычислим координаты тензора кривизны:Г111 Г111 1  Г11s Г11s  Г11s Г11s  01xx1ГГ 11R112 121  121  Г12s Г11s  Г12s Г11s  0xx1Г 21 Г1111R121  1  2  Г 21s Г11s  Г11s Г 21s  0xx1ГГ1211R122 22 Г 22s Г11s  Г12s Г 21 s  cos 2 ux1x 2Г 1 Г 11R211 112  21 Г11s Г 21 s  Г 21s Г11s  01xx1ГГ 11R212 122  22 Г12s Г 21 s  Г 22s Г11s   cos 2 u1xx11Г 21 Г 211R221  2  2  Г 21s Г 21s  Г 21s Г 21 s  0xx1ГГ 11R222 222  222  Г 22s Г 21 s  Г 22s Г 21 s  0xx1R111Г112 Г112 1  Г11s Г12s  Г11s Г12s  01xx2ГГ 22R112 121  121  Г12s Г12s  Г12s Г12s  0xx2Г 21 Г1122R121  1  2  Г 21s Г12s  Г11s Г 22s  1xxГ 2 Г1222R122 22 2  Г 22s Г12s  Г12s Г 22s  0x1x22ГГ2R211 112  21 Г11s Г 22s  Г 21s Г12s  11xx2ГГ 22R212 122  22 Г12s Г 22s  Г 22s Г12s  01xx2Г 21 Г 2122R221  2  2  Г 21s Г 22s  Г 21s Г 22s  0xx2ГГ 22R222 222  222  Г 22s Г 22s  Г 22s Г 22s  0xx2R111Вычислим ковариантную производную тензора кривизны:llll  x R ijk  m   m R ijk  1  1R ijk   2   2 R ijkl  m R ijk 1'1111 u'11u'1 1R 111   R 1R 112   R1121 1 R 121   R121u11aa111 RldRijkdxmlll  lma Rijka   ami Rajk  amj Riak  amk Rijaaaa 11Ra111  11R11a1  12R111 a  0aaaa 11a R112 11Ra112  11R11a 2  12R111 a  0aaaa 11a R121 11Ra1 21  12R11a1  11R121 a  01'1 1 R 122   R122u  11a R122a  11a Ra122  12a R11a 2  12a R121 a  2 cos u ( sin u )  (tgu ) cos 2 u  (tgu ) cos 2 u  01'1'1aaaa1 12Ra111  11R21a1  11R21 1 R 211   R211u  11a R211a 01aaaa1 12Ra112  11R21a 2  12R21 1R 212   R212u  11a R212a  2 cos u ( sin u )  (tgu )( cos 2 u )  (tgu )( cos 2 u )  01'1'1aaaa1 12Ra1 21  12R21a1  11R22 1R 221   R221u  11a R221a 01aaaa1 12Ra1 22  12R21a 2  12R22 1 R 222   R222u  11a R222a 02'2'2'2'2'2'2'2'2 1R 111   R111u  12a R111a  11a Ra211  11a R12a1  11a R112 a  02 1R 112   R112u  12a R112a  11a Ra212  11a R12a 2  12a R112 a  02 1R 121   R121u  12a R121a  11a Ra221  12a R12a1  11a R122 a  (tgu )(1)  (tgu )(1)  02 1R 122   R122u  12a R122a  11a Ra222  12a R12a 2  12a R122 a  02aaaa 12Ra211  11R22a1  11R212 a  ( tgu ) *1  ( tgu ) *1  0 1 R 211   R211u  12a R2112aaaa 12Ra212  11R22a 2  12R212 a  0 1R 212   R212u  12a R2122aaaa 12Ra221  12R22a1  11R222 a  0 1R 221   R221u  12a R2212aaaa 12Ra222  12R22a 2  11R222 a  0 1R 222   R222u  12a R2221'1'1'1'1'1'1'1'1  2 R 111   R111v  12a R111a   a21Ra111   a21R11a1   a21 R111 a  01  2 R 112   R112v  12 a R112a   21a Ra112   21a R11a 2   22a R111a  (tgu )( cos2 u)  (tgu ) cos2 u  01  2 R 121   R121v  12a R121a   a21 Ra121   a22 R11a1   a21R121 a  (1)(cos u sin u)  (tgu ) cos2 u  01  2 R 122   R122v  12a R122a   21a Ra122   22a R11a 2   22a R121 a  01  2 R 211   R211v  12a R211a   a22 Ra111   a21 R21a1   a21R211a  cos u sin u  (tgu )( cos2 u)  01  2 R 212   R211v  12a R212a  12a Ra112   a21R21a 2   a22 R211 a  01  2 R 221   R221v  12a R221a   a22 Ra121   a22 R21a1   a21R221 a  01  2 R 222   R222v  12a R222a   a22 Ra122   a22 R21a 2   a22 R221 a  ( cos u sin u ) cos 2 u  (cos u sin u )( cos 2 u )  02'2'2'2'2'2'2  2 R 111   R111v   22a R111a   a21 Ra211   a21R12a1   a21 R112 a  (1)(tgu )  (tgu )(1)  02  2 R 112   R112v   22a R112a   21a Ra212   21a R12a 2  a22 R112 a  02  2 R 121   R121v  22a R121a   a21 Ra221   a22 R12a1   a21R122 a  02  2 R 122   R122v  22a R122a   21a Ra222   22a R12a 2   22a R122 a  02  2 R 211   R211v   22a R211a   22a Ra211   21a R22a1   21a R212 a  02  2 R 212   R212v  22a R212a   22a Ra212   21a R22a 2   22a R212 a  (tgu )( cos2 u )  (cos u sin u ) *1  02'2'2  2 R 221   R221v   22a R221a   22a Ra221   22a R22a1   21a R222 a  (cos u sin u )(1)  (cos u sin u ) *1  02  2 R 222   R222v   22a R222a   a22 Ra222   a22 R22a 2   a22 R222 a  0Следовательно, ковариантная производнаяllравна:l  x R ijk  ξ 1  1 R ijk  ξ 2   2 R ijk  1* 0  1* 0  0Список литературы1.

Характеристики

Список файлов домашнего задания