Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 16
Текст из файла (страница 16)
À.Í. Ùåòèíèí, Å.À. Ãóáàðåâà, Îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà, Èçä- âî ÌÃÒÓ, Ì., 2012.2. Ï.Ê. Ðàøåâñêèé, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Ìîñêâà, 1950.3. Â.À.Òîïîíîãîâ, Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé, Ôèçìàòêíèãà, 2012.4. À.Â. Ïîãîðåëîâ, Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Èçä- âî Õàðüêîâñêîãî óí-òà.,Õàðüêîâ, 1961.5. Þ.È. Äèìèòðèåíêî, Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå, Âûñøàÿ øêîëà, Ì., 2001.6. Â.Ô. Êàãàí, Îñíîâû òåîðèè ïîâåðõíîñòåé, Ãîñòåõèçäàò, 1941.20Ïîâåðõíîñòü Áåëüòðàìè.(Ïñåâäîñôåðà)Ïî îïðåäåëåíèþ âçÿâsdxλ − Kx2=±,dzKx2 − (λ − 1)ZxsKx2 − (λ − 1)dx,λ − Kx2s(1 − λ)a2 − x2.a2 λ + x2z=±x0è ïîäñòàâèâ K = −1ïîëó÷èì:a2dz=±dxÏðè λ = 0, äèôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé ïðèìåò âèä:√dza2 − x2=±.(1)dxxÈç ýòîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî íàèáîëüøåå óäàëåíèå ìåðèäèàíà îò îñè åñòü x = a.
Çà íà÷àëî êîîðäèíàò íà îñè âðàçåíèÿ ïðèìåì òó òî÷êó O, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó íàèáîëüøåìó óäàëåíèþ(OM ) ìåðèäèàíà îò îñè. Ìåðèäèàí, î÷åâèäíî, äîëæåí áûòü ñèììåòðè÷åì îòíîñèòåëüíî îñè Ox, òàêêàê êðèâàÿ M N äàñò ïðè âðàùåíèè ïîâåðõíîñòü òîé æå êðèâèçíû, ÷òî ñèììåòðè÷íàÿ åé êðèâàÿM N 0 . Ôîðìóëà (1) ïîêàçûâàåò, ÷òî êðèâàÿ êàñàåòñÿ îñè Ox â òî÷êå M, êîòîðàÿ, òàêèì îáðàçîì, åñòüòî÷êà âîçâðàòà. Ðàññìîòðèì âåðõíþþ âåòâü ýòîé êðèâîé: íà íåé óáûâàåò ñ âîçðàñòàíèåì z è, ñëåäîdzâàòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿäîëæíà èìåòü îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå; åñëè â ôîðìóëå (1) ñàì ðàäèêàëdxáóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì, òî ïðè íåì íóæíî áûäåò âçÿòü íèæíèé çíàê. Åñëè òåïåðü ïîëîæèì:x = a sin φ!π≥φ>0 ,221òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä:dz = −aÈíòåãðèðóÿ åãî è èìåÿ â âèäó, ÷òî ïðè φ =cos2 φdφ.sin φπx = a, z = 0, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ìåðèäèàíà:2!φz = a ln ctg − cos φ .2Êðèâàÿ îò òî÷êè M íàèáîëüøåãî óäàëåíèÿ îò îñè ïîñòîÿííî ïðèáëèæàåòñÿ ê íåé è èìååò îñüñâîåé àñèìïòîòîé.
Ìåðèäèàí èìååò ôîðìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1. Åñëè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Pýòîé êðèâîé ìû ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ, òî îòðåçîê åå P Q îò òî÷êè M äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ èìååòäëèíóvuuP Q = xt1 +!2dz= a.dxÒàêèì îáðàçîì, êðèâàÿ, ñëóæàùàÿ ìåðèäèàíîì ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè, îáëàäàåò òåìñâîéñòâîì, ÷òî òàê íàçûâàåìàÿ ¾äëèíà êàñàòåëüíîé¿ (P Q) èìååò ïîñòîÿííîé çíà÷åíèå a. Ýòà âîìíîãèõ îòíîøåíèÿõ êðèâàÿ áûëà îòêðûòà Ãþéãåíñîì è íàçâàíà èì òðàêòðèñîé. Ïðÿìàÿ Oz íàçûâàåòñÿ îñüþ òðàêòðèñû.Ðèñ. 2: Ìåðèäèàí22Ñîõðàíÿÿ îñü Z è íà÷àëî O â öåíòðå íàèáîëüøåé ïàðàëëåëè, óñòàíîâèì òåïåðü â åå ïëîñêîñòèïðîèçâîëüíî îñè X, Y îðòîãîíàëüíûõ äåêàðòîâûé êîîðäèíàò è ÷åðåç ϑ, OP' − POX(ϑ, P).xP, ..
− P'.OP 0 = xp,ãäå p = i cos ϑ + j sin ϑ åñòü åäèíè÷íûé âåêòîð â ïëîñêîñòè XOY . Ðàäèóñ-âåêòîð r òî÷êè Mâûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé:r = xp + zk, (2)êîòîðàÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü ïîâåðõíîñòè ïðèíèìàåò âèä:!φr = a sin φp + a ln ctg − cos φ k.2Ýòî - âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè, îòíåñåííîé ê ïàðàìåòðàì ϕ è ϑ.Äàííàÿ ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì òðàêòðèñû âîêðóã ñâîåé îñè, Áåëüòðàìèíàçâàë ïñåâäîñôåðîé (ðèñ. 2).Ðèñ. 3: ÏñåâäîñôåðàÐàçûùåì îñíîâíóþ ìåòðè÷åñêóþ ôîðìó ïñåâäîñôåðû. Óðàâíåíèå (2) äàåò:dr = dxp + xdp + dzk,è òàê êàê âåêòîðû p, dp, k îáðàçóþò òðèýäð è dp2 = dϑ2 , òî23dr2 = dxp + xdp + dzk,Âûðàæàÿ dz ÷åðåç dx ïî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì ìåòðè÷åñêóþ ôîðìó ïñåâäîñôåðû:ds2 =adx2+ x2 dϑ2 ,x2âûðàæåííóþ â êîîðäèíàòàõ x, ϑ.
Îòñþäà ïîëó÷åì ýëåìåíò äëèíû ìåðèäèàíàdσ =adx,xè äëèíó äóãè ìåðèäèàíà σ îò ïàðàëëåëè x äî íàèáîëüøåé ïàðàëëåëèZaσ=axσ−adx= a ln ; x = ae a .xxÅñëè âûðàçèòü x ÷åðåç σ , òî ïîëó÷èì äëÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìû ïñåâäîñôåðû âûðàæåíèå:2σds = dσ + a e a dϑ2 .222−Îòêóäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ðàâíà −1.a2Äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèé ëèíèé ïñåâäîñôåðû, âû÷èñëåì åå âòîðóþ îñíîâíóþ ôîðìó.Èñõîäèì äëÿ ýòîãî èç âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ ïñåâäîñôåðû, ïðèíèìàÿ x çà ïåðâóþ, ϑ, (1), :r1 = p + z 0 k = p −sqrta2 − x2k, r2 = xp0 .xÎòêóäà:N = [r1 r2 ] = xk +pp1a2 − x2 p; n = (xk + a2 − x2 p).a24Äàëåå, ïîâòîðíîå äèôåðåíöèðîâàíèå äàåò:r11 =a2 k√, r12 = p0 , r22 = −xp.x2 a2 − x2Îòñþäàa, π12 = 0, π22π11 = √x a2 − x2√x a2 − x2.=−aÂìåñòå ñ òåì äèôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé ïðèíèìàåò âèä:a2dadxa2 dx2x= dϑ2 ⇐⇒ √= ϑ,= ±dϑ ⇐⇒ vu 2 !2x2 (a2 − x2 )x a2 − x2u at− a2xà â êîîðäèíàòàõ ξ, η :dηpη 2 − a2= ∓dξ.Ýòî óðàâíåíèå èìååò îáùèé èíòåãðàëη = a ch(ξ − c).Äâîéíîé çíàê îòïàäàåò, ïîòîìó ÷òî ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòíóþôóíêöèþ àðãóìåíòà, à ñ èìååò ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå.Ðèñ.
4: Ñîâîêóïíîñòü àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé25Московский государственный техническийуниверситет им. Н. Э. Баумана.Курсовая работапо дисциплине: «Дифференциальная геометрия»Выполнила:студентка 2-го курса, гр. АК3-41Сухорукова Ольга СергеевнаПроверил:Щетинин Александр НиколаевичМосква 2014 г.1Оглавление1.Введение ....................................................................................................................................................................... 32.Теоретическая часть ..................................................................................................................................................... 4Часть 1.
Кривые на плоскости и в пространстве. ....................................................................................................... 41)Общие понятия ................................................................................................................................................... 42)Кривизна, репер Френе, кручение ...................................................................................................................... 43) Кривизна и кручение, отнесённые к произвольному параметру ......................................................................
54)Кривизна на плоскости, круг кривизны, эволюта кривой .................................................................................. 6Часть 2. Поверхности. ................................................................................................................................................
61)Первая квадратичная форма ............................................................................................................................... 62)Вторая квадратичная форма ............................................................................................................................... 73)Нормальная, гауссова и средняя кривизны ........................................................................................................ 74)Нахождение главных кривизн ............................................................................................................................
85)Другие способы нахождения гауссовой кривизны............................................................................................. 96)Геодезическая кривизна, геодезическая линия. ................................................................................................. 9Часть 3. Векторные и тензорные поля. ..................................................................................................................... 101)Векторное поле ................................................................................................................................................. 102)Тензорное поле..................................................................................................................................................
103)Тензоры в пространствах с метрикой. .............................................................................................................. 104)Производная Ли, коммутатор. .......................................................................................................................... 115)Ковариантная производная ............................................................................................................................... 126)Тензор кривизны ...............................................................................................................................................
133. Практическая часть ................................................................................................................................................... 15Задача №1. ................................................................................................................................................................ 15Задача №2 ................................................................................................................................................................. 17Задача №3 ................................................................................................................................................................. 191)Вычисление гауссовой кривизны .....................................................................................................................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
