Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 17
Текст из файла (страница 17)
192)Исследование гауссовой кривизны................................................................................................................... 19Задача №4 ................................................................................................................................................................. 201) ........................................................................................................................................................................... 202) ........................................................................................................................................................................... 21Задача №5 ................................................................................................................................................................. 22Задача №6 .................................................................................................................................................................
221)Дано................................................................................................................................................................... 222)Вычисление3) Вычисление............................................................................................................................................... 23и................................................................................................................................... 23Задача №7 .................................................................................................................................................................
241)Дано................................................................................................................................................................... 242)Вычисление компонент тензора кривизны....................................................................................................... 243)Вычисление компонент..........................................................................................................................
25Задача №8 ................................................................................................................................................................. 251)Дано................................................................................................................................................................... 252)Вычисление компонент3)Вычисление.......................................................................................................................... 25.....................................................................................................................................
2621.ВведениеДанная курсовая работа посвящена решению задач дифференциальной геометрии итензорного анализа, для более глубокого и полного изучения и закрепления необходимых темсоответствующего курса лекций. Так как курсовая работа проводится параллельно с чтениемсамого курса, то в задание включены как стандартные задачи, так и задачи повышеннойсложности (номера 4 и 8).
В теоретической части курсовой приведены выводы большинстваиспользуемых формул, необходимые определения и теоремы с доказательствами.В данной работе рассмотрены кривые на плоскости и в пространстве, поверхности,векторные и ковекторные поля, тензорные поля, коммутатор, ковариантноедифференцирование и тензоры Римана.Дифференциальная геометрия — это один из разделов математики, в котором изучаютсягладкие многообразия с помощью методов математического анализа, в частности —дифференциального исчисления.
Возникновение дифференциальной геометрии относитсяк XVIII веку и связано с именами Эйлера (1707-1783) и Монжа (1746-1818). Первое сводноесочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа кгеометрии», 1795). В 1827 Гаусс (1777-1855) опубликовал работу «Общее исследование окривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде.С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняласамостоятельное место в математике.Открытие Лобачевским (1792-1856) неевклидовой геометрии сыграло огромную роль вразвитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной.Риман (1826-1866) в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854)заложилосновы римановойгеометрии,наиболееразвитойчастисовременнойдифференциальной геометрии.32.Теоретическая частьЧасть 1. Кривые на плоскости и в пространстве.1)Общие понятияОпределение.
Кривой γ в пространствеотображениикласса.Параметрические уравнения кривой:называют образ интервалаприВ векторной форме:Если представить вектор в виде набора координат:Уравнениеназывают векторным уравнением кривой. Переменная t называетсяпараметром на кривой γ.Рассмотрим функцию [(0)]Данная функция является длиной дуги кривой от фиксированной точки допроизвольной точкиОпределение. Длина дуги гладкой кривой называется натуральным (илиестественным) параметром кривой. Параметризация кривой с помощью натуральногопараметра называется натуральной (естественной) параметризацией кривой.2)Кривизна, репер Френе, кручениеЕдиничный касательный вектор кривой обозначим через .
Для кривой, отнесённой кнатуральному параметру,Определение. Скаляр.называют кривизной, обратную величину– радиусом кривизны, а вектор-вектором кривизны кривойв точке.Определение. Пусть- гладкая кривая класса , отнесённая к натуральномупараметру s. В каждой точке данной кривой, где её кривизна отлична от нуля, определён реперпространства , который называется репером Френе и состоит из следующих векторов:1) единичного касательного вектора2) вектора главной нормали;;3)вектора бинормали.Теорема.
Пусть- гладкая кривая класса , отнесённая к натуральномупараметру s,– репер Френе кривой. Тогда существует такая гладкая (класса) функция, что имеют место следующие формулы ( формулы Френе):.4Доказательство. Первая формула Френе представляет собой определение вектораглавной нормали .Выведем третью формулу Френе. По определению имеем. Дифференцируемэто равенство:Отсюда следует, что вектор, а так какортогонален и вектору .
Следовательно, векторколлинеарен векторукоэффицент пропорциональности через – . Итак,, то вектор. Обозначим.Докажем, наконец, вторую формулу Френе. Дифференцируя равенствоиспользуя первую и третью формулы Френе, получаем:ичто и требовалось доказать. □3) Кривизна и кручение, отнесённые к произвольному параметруПусть- гладкая кривая класса , отнесённая к произвольному параметру t.Используя правило дифференцирования сложной функции [ф.(1)]запишем формулы Френе для кривой, отнесённой к произвольному параметру [ф. (2)-(4)]:Определение касательного вектораперепишем с учётом (1) в виде [(5)]Продифференцируем (5) по t :или, подставив (2) в это выражение, получим [(6)]Умножим (6) векторно на и с учётом (5) получим:Итак [(7)],Из (7) получаемили [(8)]Формула (8) позволяет вычислить кривизну любых параметризованных кривых класса.5Подставим в (7) выражение для кривизны кривой (8) [9]:Продифференцируем (9) по t и с учётом (4) получим [10]:Умножим (10) скалярно на и учётом (6) найдём:Из формулы (8) следует:и [11]Формула 11 позволяет вычислить кручение любых параметризованных кривых класса.4)Кривизна на плоскости, круг кривизны, эволюта кривойПусть задана кривая на плоскости, тогда её пространственные уравнениябудут иметь вид, а кривизна будет вычисляться по формуле, следствие из (8):Определение.
Назовём кругом кривизны кривой в данной точке М круг, который:1) касается кривой в точке М (т.е. имеет с ней общую касательную в этой точке);2) направлен выпуклостью вблизи точки М в туже сторону, что и кривая;3) имеет туже кривизну, что и кривая в точке М .Для плоской параметризованной кривой координаты центра круга кривизнывыражаются формулами [12][13]:Часть 2. Поверхности.1)Первая квадратичная формаПусть задана поверхностьКасательная плоскость к поверхности в точке М проходит через эту точку параллельновекторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
