Курсовые АК3-41, 2014 (1075672), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 + 2z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõ ãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Ñîñòàâèì ìàòèöó è íàéäåì ñîáñòâåííûå ÷èñëà:2 − λ 22 = (λ − 2)(λ) − 4 = λ2 − λ − 6 = 0−1 − λλ1 = 3; λ2 = −2;5 íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè áóäåò âûãëÿäåòü:−2x2 + 3y 2 + 2z 2 = 12Âûðàçèì z è íàéäåì ïðîèçâîäíûå:sz=3(x2 − y 2 + 6)2Âû÷èñëèì ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè:K=2zxx zyy − zxy=(1 + zx2 + zy2 )2∂2∂x2!2rr∂23 2∂23 23 222− y +6· 2 x − y +6−x − y +62∂y2∂x∂y2!2!2 2rr∂3∂31 +x2 − y 2 + 6 +x2 − y 2 + 6 ∂x2∂y2rx2Ñëåäîâàòåëüíî, ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ðàâíà:K=−(8x2144+ 3y 2 + 24)2Ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû ðàâíû:11K ∈ [− ; 0); min(K) = − , (x, y) = (0, 0).446Çàäà÷à 4. Äîêàæèòå òåîðåìó Áåëüòðàìè-Ýííåïåðà.Ïî îïðåäåëåíèþ:Êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè, êàñàòåëüíàÿ ê êîòîðîé â êàæäîé òî÷êå íàïðàâëåíà ïî àñèìïòîòè÷åñêîìó íàïðàâëåíèþ â ýòîé òî÷êå, íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèåé.Àñèìïòîòè÷åñêèì íàïðàâëåíèåì â äàííîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåíèå, êàñàòåëüíîå ê íîðìàëüíîìó ñå÷åíèþ ñ êðèâèçíîé íóëü â ýòîé òî÷êå.Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ êðèâèçíû íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ:Ldu2 + 2M dudv + N dv 2ek=Edu2 + 2F dudv + Gdv 2Äëÿ îáðàùåíèÿ ek â íóëü íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî îáðàùåíèÿ â íóëü ÷èñëèòåëÿ äðîáè.
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèåLdu2 + 2M dudv + N dv 2 = 0Íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû êàñàòåëüíàÿ ê ýòîìó íîðìàëüíîìó ñå÷åíèþ øëà ïî àñèìïòîòè÷åñêîìó íàïðàâëåíèþ.Äîêàçàòåëüñòâî.Åäèíè÷íûé âåêòîð ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, áóäó÷è ïåðïåíäèêóëÿðåí ñîïðèêàñàþùåéñÿïëîñêîñòè ê àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè, íàïðàâëåí ïî áèíîðìàëè ê íåé. Ïîýòîìó âäîëü àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè m ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íûì âåêòîðîì b ïî áèíîðìàëè èëè îòëè÷àåòñÿ îò íåãî çíàêîì:b = ±mÇàïèøåì òðåòüþ ôîðìóëó Ôðåíå∂b= −κn∂sÓìíîæàÿ ñêàëÿðíî îáå ÷àñòè íà n è ó÷èòûâàÿ, ÷òî n2 = 1, ïîëó÷èìn∂b= −κ∂sÒàê êàê n = −[t, b],òî ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå−[t, b]∂b= −κ∂s7èëèκ=!∂bt, b,,∂sãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà âåðíàäëÿ ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé. Ïðèìåíèì åå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè.Òàê êàê òåïåðü b = ±m, òîκ=!∂mt, m,∂sÇäåñü âåêòîð m ðàññìàòðèâàåòñÿ âäîëü àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè êàê ôóíêöèÿ äóãè s.Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ êðó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè.
Âûïèøåì äëÿ àñèìïî∂r∂mòîòè÷åñêîé ëèíèè â êàêîé-íèáóäü åå òî÷êå ôîðìóëû= t1 cos φ + t2 sin φ è= ∂a1 cos φt1 +∂s∂s∂a2 sin φt2 :t = cos φt1 + sin φt2∂m= −k1 cos φt1 − k2 sin φt2∂sÇäåñü t1 è t2 - åäèíè÷íûå âåêòîðû ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì â äàííîé òî÷êå, φ - óãîë, îáðàçóåìûé âåêòîðîì t ñ t1 . Íî òàê êàê t êàñàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè, òî îí èäåò ïî àñèìïòîòè÷åñêîìóíàïðàâëåíèþ â äàííîé òî÷êå, è óãîë φ óäîâëåòâîðÿåò, ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèþstg φ = ± −k1k2Òåïåðü îñòàåòñÿ âñòàâèòü âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó. Ïîëó÷èìκ = [cos φt1 + sin φt2 , m](−k1 cos φt1 − k2 sin φt2 ).Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â âåêòîðíîì ïðîèçâåäåíèè, ó÷èòûâàåì, ÷òî t1 , m, t2 - åäèíè÷íûå âçàèìíîîðòîãîíàëüíûå âåêòîðû è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïîäõîäÿùåé íóìåðàöèè t1 , t2 ìîæíî ñ÷èòàòü[t1 , m] = t2 , [t2 , m] = −t18Ïîëó÷èìκ = (cos φt2 − sin φt1 )(−k1 cos φt1 − k2 sin φt2 ).Ðàñêðûâàÿ, íàêîíåö, ñêîáêè â ýòîì ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèè, ïðèõîäèì ê ôîðìóëåκ = cos φ sin φ(k1 − k2 ) =tg φ(k1 − k2 ),1 + tg φÒàêsêàê t12 = t22 = 1, t1 t2 = 0.
Íî äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè óãîë φ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþk1tg φ = ± − , ïðè÷åì çíàê ± â ïðàâîé ÷àñòè õàðàêòåðèçóåò, ïî êàêîìó èç äâóõ àñèìïòîòè÷åñêèõk2íàïðàâëåíèé â äàííîé òî÷êå èäåò íàøà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ.Âñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿ κ çíà÷åíèå tg φ, ïîëó÷àåìsk1 k1 − k2= ∓k2κ=± − ·k2k11−k2Ìû âèäèì, ÷òîs−k1.k2êðó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ïî äâóìàñèìïòîòè÷åñêèì íàïðàâëåíèÿì, îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì.κ, òî, âîçâîäÿ κ â êâàäðàò, ïîëó÷àåì èç ïðåäûäóùåé ôîðìóëû×òî æå êà÷àåòñÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿκ2 = −k1 k2 = −Kèëè√κ = ± −K.Èòàê,ìîäóëü êðó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè ðàâåí êîðíþ êâàäðàòíîìó èç âçÿòîé ñ îáðàòíûìçíàêîì ïîëíîé êðèâèçíû â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.Äâà ïîä÷åðêíóòûõ ïðåäëîæåíèÿ ñîñòàâëÿþò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Áåëüòðàìè-Ýííåïåðà, êîòîðàÿ,òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà.
9Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (Çàäà÷à 1 èç [3]).X = 2x∂x + y∂y ; Y = y∂xÂîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé:∂[X, Y ] =∂x∂f∂y!∂−∂y∂f∂x!Ïîëó÷èì:!!!!!!∂∂f∂∂f∂f∂∂f∂∂f∂∂f∂+yy−y2x+y= 2xy+yy− 2yx−2x∂x∂y∂x∂x∂x∂y∂x∂x∂y∂y∂x∂x!∂ ∂f∂2f∂f∂2f∂f∂2f∂2f∂f∂f∂fy2= 2xy 2 + y+ y2− 2y− 2xy 2 − y 2=y− 2y= −y .∂x ∂y∂x∂x∂x∂y∂x∂x∂x∂y∂x∂x∂xÑëåäîâàòåëüíî, êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y ðàâåí:[X, Y ] = −y10∂∂xÇàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 udv 2íàéòè êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .Îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûå èç òåíçîðíîãî ïîëÿ X ñîîòâåòñòâåííî îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ. Îïðåäåëèòü êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R.Ïî óñëîâèþ:ds2 = du2 + cos2 udv 2T11 = 0; T12 = 1; T21 = 0; T22 = 0;ξ 1 = v; ξ 2 = 0;x1 = u; x2 = v;10!gij =g ij0 cos2 u10=1 0cos2 uÐàñêðîåì (∇X T )ij , ó÷èòûâàÿ ÷òî ξ 1 = v, ξ 2 = 0:(∇X T )ij = ξ 1 (∇1 T )ijÂîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé:(∇1 T )ij =∂Tjii+ Γi1α Tjα − Γα1j Tα∂x1(∇1 T )11 = Γ112 = 0;(∇1 T )12 = 0;(∇1 T )21 = Γ212 − Γ111 = − tg u;(∇1 T )22 = −Γ112 = 0;Ñèìâîëû Êðèñòîôåëÿ íàéäåì ïî ôîðìóëå:1 mα ∂gαj ∂giα ∂gijΓm(+−)ij = g2∂xi∂xj∂xα11∂gα2 ∂g1α ∂g121−)=0Γ112 = g 1α ( 1 +2∂x∂x2∂xα1−1∂gα2 ∂g1α ∂g12sin uΓ212 = g 2α ( 1 +−)=2 cos u sin u = −= − tg u2α22∂x∂x∂x2 cos ucos u1∂gα1 ∂g1α ∂g11−)=0Γ111 = g 1α ( 1 +2∂x∂x1∂xαÒîãäà êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ:0(∇X T )ij =0!−v tg u 0Îïóñòèì è ïîäíèìåì èíäåêñû ïî ôîðìóëàì:Sjk = gαj Tkα ;Rjk = g αj Tαk ;Ïîëó÷èì:0Sij =ij0!cos2 u 0R =0!100Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ:∂Sijα− Γαki Sαj − Γkj Siα∂xk∂Rij(∇k R)ij =+ Γikα Rαj + Γjkα Riα∂xkÏîëó÷èì êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ:(∇k S)ij =∂Rijáóäåò âñåãäà ðàâíî íóëþ.∂xk(∇1 R)11 = 0 + Γ11α Rα1 + Γ11α R1α = Γ112 R12 = 0*Rij ,(∇1 R)21 = 0 + Γ21α Rα1 + Γ11α R2α = 0(∇1 R)12 = 0 + Γ11α Rα2 + Γ21α R1α = Γ111 + Γ212 = − tg u12(∇1 R)22 = 0 + Γ21α Rα2 + Γ21α R2α = Γ211 = 0*Ñèìâîëû Êðèñòîôåëÿ áûëè ïîñ÷èòàíû ðàíåå.0ij(∇X R) =!−v tg u00α2(∇1 S)11 = 0 − Γα11 Sα1 − Γ11 S1α = −Γ11 = 0α(∇1 S)12 = 0 − Γα11 Sα2 − Γ12 S1α = 0(∇1 S)21 =0−0+∂S21α1122−Γα12 Sα1 −Γ11 S2α = −2 sin u−Γ12 S11 −Γ11 S11 −Γ12 S21 −Γ11 S12 = −2 sin u cos u−∂x1cos2 u− 0 = − sin utguα(∇1 S)22 = 0 − Γα12 Sα2 − Γ12 S2α = 00(∇X S)ij =0−v sin u cos u 0Âûïîëíèì ïðîâåðêó:(∇X S)ij = giα (∇X T )αj(∇X R)ij = g iα (∇X T )jαÂèäíî, ÷òî:(∇1 S)21 = g2α (∇X T )α1 = −v sin u cos u(∇1 R)12 = g 1α (∇X T )2α = −v tg uÎñòàëüíûå êîìïîíåíòû ðàâíû íóëþ.13!lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk Òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èç çàäà÷è 3.Äëÿ ðåøåíèÿ äîêàæåì ñîîòíîøåíèå:2R2111R1212R2121R122=K·g11g21g12g22Ïóñòü ïîâåðõíîñòü çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), ãäå x,y,z - åâêëèäîâûêîîðäèíàòû ïðîñòðàíñòâà è (u, v) = (z 1 , z 2 ) - êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè. Âûáåðåì â èññëåäóåìîéòî÷êå P = (0, 0), ãäå îñü z íîðìàëüíà ê ïîâåðõíîñòè, â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ u = z 1 = x, v = z 2 = y .Òîãäà ïîâåðõíîñòü îêîëî òî÷êå P çàïèøåòñÿ óðàâíåíèåì z = f (x, y), ãäå gradf |P = 0. Äëÿ êîìïîíåíòìåòðèêè íà ïîâåðõíîñòè ïîëó÷èìgij = δij +∂f ∂f 1, z = x, z 2 = y.∂z i ∂z j∂gij ÷àñòíîñòè, â òî÷êå P = (0, 0) âñå= 0.
Ïîýòîìó â ýòîé òî÷êå Γkij = 0.  òàêîé òî÷êå èìååì∂z kôîðìóëóiRqkl=Riqkl1=2∂Γiql ∂Γiqk−,∂z k∂z l∂ 2 gil∂ 2 gqk∂ 2 gik∂ 2 gql+−−∂z q ∂z k ∂z i ∂z l ∂z q ∂z l ∂z i ∂z k!.1 ∂ 2 g21∂ 2 g12∂ 2 g11∂ 2 g22R2121 = ( 1 2 + 2 1 − 2 2 − 1 1 )2 ∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂zz 1 = x,Ïðè ýòîì:g11 = 1 + zx2 ,∂ 2 g11 2 = 2zxy∂y 2 Pz2 = yg22 = 1 + zy2 ,g12 = 1 + zx zy = g21∂ 2 g22 2 = 2zxy∂x2 ∂ 2 g12 2 = zxx zyy + zxy∂x∂y PPÎêîí÷àòåëüíî èìååì:122222R2121 = (zxx zyy + zxy+ zxx zyy + zxy− 2zxy− 2zxy) = zxx zyy − zxy=K2Ïî îïðåäåëåíèþK = detzxxzxyzyxzyy!â òî÷êå P , ãäå δij = gij â âûáðàííûõ êîîðäèíàòàõ. Îäíàêî ãàóññîâà êðèâèçíà Ê - ýòî ñêàëÿð,à R2121 - êîìïîíåíòà òåíçîðà.
Îíè ðàâíû ëèøü â äàííîé, èçáðàííîé, ñèñòåìå êîîðäèíàò, ãäåigij = δij , detgij = 1 = g. Ëåãêî âèäåòü èç îïðåäåëåíèÿ R, ñîãëàñíî êîòîðîìó R = g ql Rqil, ÷òîR = 2det(g ql )R2121 =22R2121 = R2121 = R.det(gij )g14 íàøåé ñèñòåìå êîîðäèíàò g = 1 è R2121 = K. Ïîýòîìó â íàøåé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåðíî ðàâåíñòâîR = 2K ; òàê êàê R è K - îáà ñêàëÿðû, òî ýòî âåðíî âñåãäà.Òîãäà èìååì:R2121 = KgαRiqkl = giα RqklαR2121 = g2α R121Òîãäà:αKg = g2α R121αR121= Kg 2α g , ãäå g = (g11 g22 − g12 g21 )11R121= K(g 21 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g21 ) = −R21122−R121= K(g 22 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g11 ) = R211Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ:iiiRqkl+ Rlqk+ Rklq=0ïîëó÷àåì, ÷òî1111R121+ R211+ R112= 0 ⇒ R112=02222=0R121+ R211+ R112= 0 ⇒ R112αR212= Kg 2α g11−R212= K(g 11 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g22 ) = R12222R212= K(g 12 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g12 ) = −R122Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ:iiiRqkl+ Rlqk+ Rklq=0ïîëó÷àåì, ÷òî1111R212+ R221+ R122= 0 ⇒ R221=02222= 0 ⇒ R221=0R212+ R221+ R122iRqkl=∂Γiql ∂Γiqk−=0∂z k∂z l1=R111∂Γ111 ∂Γ111−=0∂x∂x2=R111∂Γ211 ∂Γ211−=0∂x∂x1R222=∂Γ122 ∂Γ12−=0∂y∂y2R222=∂Γ222 ∂Γ22−=0∂y∂y⇒2R2111R1212R2121R122=2−R1211−R211152−R1221−R212g= K · 11g21g12g22Âåðíåìñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è:1442x2 + 4xy − y 2 + 2z 2 = 12; K = −;z =(8x2 + 3y 2 + 24)2xzx0 = rx2zy0 = − p3− y2 + 623(x2 − y 2 + 6)2;3y4x2s− 6y 2 + 24;Âû÷èñëèì êîìïîíåíòû ìàòðèöû gij è åå îïðåäåëèòåëü:g11 = 1 + zx2 = 1 +9x24x2 − 3y 2 + 12=22z(2x2 − 3y 2 + 12)g22 = 1 + zy2 = 1 +2y 24x2 + 3y 2 + 24=2z2(2x2 − 3y 2 + 12)3xy3xy=−22z(2x − 3y 2 + 12) 4x2 − 3y 2 + 123xy (2x2 − 3y 2 + 12) − (2x2 − 3y 2 + 12)8x2 + 3y 2 + 24gij = =3xy4x2 + 3y 2 + 24 2(2x2 − 3y 2 + 12)− (2x2 − 3y 2 + 12) 2(2x2 − 3y 2 + 12) g12 = g21 = zx zy = −Âîñïîëüçóåìñÿ äîêàçàííûìè ðàíåå ñîîòíîøåíèÿìè è ïîëó÷èì:22R211= −R121= K · g11 = −11R122= −R212= K · g22 = −(2x2144(4x2 − 3y 2 + 12)− 3y 2 + 12)(8x2 + 3y 2 + 24)2144(4x2 + 3y 2 + 24)2(2x2 − 3y 2 + 12)(12 − 3x2 + 2y 2 )22121R212= R121= −R122= −R211= K · g12 =432xy(2x2 − 3y 2 + 12)(8x2 + 3y 2 + 24)2R1122 = R2211 = −R1212 = −R2121 = K · |g| = −Îñòàëüíûå êîîðäèíàòû ðàâíû íóëþ.
1672(2x2 − 3y 2 + 12)(8x2 + 3y 2 + 24)Çàäà÷à 8. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ds2 = du2 + cos2 udv 2 ; ξ 1 = v; ξ 2 = 0;Âû÷èñëèì ñèìâîëû Êðèñòîôåëÿ:Γlij1= g lα2∂gαj ∂giα ∂gij+−∂xi∂xj∂xα!•Γ111 = Γ121 = Γ112 = Γ211 = Γ222 = 0•Γ122 = cos u sin u•Γ221 = Γ212 = −sin ucos uÒåíçîð êðèâèçíû âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå:iRqkl=∂Γiql ∂Γiqk−+ Γipk Γpql − Γipl Γpqk∂xk∂xl1R111=∂Γ111 ∂Γ111−+ Γ1p1 Γp11 − Γ1p1 Γp11 = Γ111 Γ111 + Γ121 Γ211 − Γ111 Γ111 − Γ121 Γ211 = 0∂x1∂x11R112=∂Γ112 ∂Γ111−+ Γ1p1 Γp12 − Γ1p2 Γp11 = Γ111 Γ112 + Γ121 Γ212 − Γ112 Γ111 − Γ122 Γ211 = 0∂x1∂x21R121=∂Γ111 ∂Γ112−+ Γ1p2 Γp11 − Γ1p1 Γp12 = Γ111 Γ112 + Γ121 Γ212 − Γ112 Γ111 − Γ122 Γ211 = 0∂x2∂x11R122=∂Γ112 ∂Γ112−+ Γ1p2 Γp12 − Γ1p2 Γp12 = Γ112 Γ112 + Γ122 Γ212 − Γ111 Γ121 − Γ122 Γ212 = 0∂x2∂x21R211=∂Γ121 ∂Γ121−+ Γ1p1 Γp21 − Γ1p1 Γp21 = Γ111 Γ111 + Γ121 Γ221 − Γ111 Γ121 − Γ121 Γ221 = 0∂x1∂x117∂Γ122 ∂Γ121∂(cos u sin u)sin u−+ Γ1p1 Γp22 − Γ1p2 Γp21 =+· cos u sin u = cos2 u12∂x∂x∂ucos u1R212=1R221=2R112=2R121=∂(cos u sin u)∂Γ121 ∂Γ122sin u−+ Γ1p2 Γp21 − Γ1p1 Γp22 = −−· cos u sin u = − cos2 u21∂x∂x∂ucos u1R222=∂Γ122 ∂Γ122−+ Γ1p2 Γp22 − Γ1p2 Γp22 = Γ112 Γ122 + Γ121 Γ222 − Γ112 Γ122 − Γ122 Γ222 = 0∂x2∂x22R111=∂Γ211 ∂Γ211−+ Γ2p1 Γp11 − Γ2p1 Γp11 = Γ112 Γ111 + Γ222 Γ211 − Γ211 Γ111 − Γ221 Γ211 = 0∂x1∂x1∂Γ212 ∂Γ211∂ tg u1+ Γ211 Γ112 − Γ212 Γ111 + Γ221 Γ212 − Γ222 Γ211 = − 2 + tg2 u−+ Γ2p1 Γp12 − Γ2p2 Γp11 =∂x1∂x2∂ucos u∂Γ211 ∂Γ2121∂ tg u−+ Γ2p2 Γp11 − Γ2p1 Γp12 =+ Γ212 Γ111 − Γ211 Γ112 + Γ222 Γ211 − Γ221 Γ212 =− tg2 u∂x2∂x1∂ucos2 u2R122=∂Γ212 ∂Γ212−+ Γ2p2 Γp12 − Γ2p2 Γp12 = Γ212 Γ112 − Γ212 Γ112 + Γ222 Γ212 − Γ222 Γ212 = 0∂x2∂x22R211=∂Γ221 ∂Γ221−+ Γ2p1 Γp21 − Γ2p1 Γp21 = Γ211 Γ121 − Γ211 Γ121 + Γ221 Γ221 − Γ221 Γ221 = 0∂x1∂x12R212=∂Γ222 ∂Γ221−+ Γ2p1 Γp22 − Γ2p2 Γp21 = Γ211 Γ122 − Γ212 Γ121 + Γ221 Γ222 − Γ222 Γ221 = 0∂x1∂x22R221=∂Γ221 ∂Γ222−+ Γ2p2 Γp21 − Γ2p1 Γp22 = Γ112 Γ121 − Γ211 Γ122 + Γ222 Γ221 − Γ221 Γ222 = 0∂x2∂x12R222=∂Γ222 ∂Γ222sin usin u· cos u sin u +· cos u sin u = 0−+ Γ2p2 Γp22 − Γ2p2 Γp22 = −22∂x∂xcos ucos u18Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ:l(∇m R)ijk =1(∇1 R)111 =1(∇1 R)112 =1(∇1 R)121 =1(∇1 R)122 =1(∇1 R)211 =1(∇1 R)212 =1(∇1 R)221 =1(∇1 R)222 =2(∇1 R)111 =2(∇1 R)112 =2(∇1 R)121 =2(∇1 R)122 =2(∇1 R)211 =2(∇1 R)212 =2(∇1 R)221 =2(∇1 R)222 =l∂Rijkαlαlαl+ Γlmα Rijk− Γαmi Rαjk − Γmj Riαk − Γmk Rijα∂xm1∂R111α1α1α1+ Γ11α R111− Γα11 Rα11 − Γ11 R1α1 − Γ11 R11α = 0∂x11∂R112α1α1α1+ Γ11α R112− Γα11 Rα12 − Γ11 R1α2 − Γ12 R11α∂x11∂R121α1α1α1+ Γ11α R121− Γα11 Rα21 − Γ12 R1α1 − Γ11 R12α∂x11∂R122α1α1α1+ Γ11α R122− Γα11 Rα22 − Γ12 R1α2 − Γ12 R12α∂x11∂R211α1α1α1+ Γ11α R211− Γα12 Rα11 − Γ11 R2α1 − Γ11 R21α∂x11∂R212α1α1α1+ Γ11α R212− Γα12 Rα12 − Γ11 R2α2 − Γ12 R21α∂x11∂R221α1α1α1+ Γ11α R221− Γα12 Rα21 − Γ12 R2α1 − Γ11 R22α∂x11∂R222α1α1α1+ Γ11α R222− Γα12 Rα22 − Γ12 R2α2 − Γ12 R22α∂x12∂R111α2α2α2+ Γ21α R111− Γα11 Rα11 − Γ11 R1α1 − Γ11 R11α∂x12∂R112α2α2α2+ Γ21α R112− Γα11 Rα12 − Γ11 R1α2 − Γ12 R11α∂x12∂R121α2α2α2+ Γ21α R121− Γα11 Rα21 − Γ12 R1α1 − Γ11 R12α∂x12∂R122α2α2α2+ Γ21α R122− Γα11 Rα22 − Γ12 R1α2 − Γ12 R12α∂x12∂R211α2α2α2+ Γ21α R211− Γα12 Rα11 − Γ11 R2α1 − Γ11 R21α∂x12∂R212α2α2α2+ Γ21α R212− Γα12 Rα12 − Γ11 R2α2 − Γ12 R21α∂x12∂R221α22α2α+ Γ21α R221− Γα12 Rα21 − Γ12 R2α1 − Γ11 R22α∂x12∂R2222α2α2α+ Γ21α R222− Γα12 Rα22 − Γ12 R2α2 − Γ12 R22α∂x1=0=0=0=0=0=0=0=0=0=0=0=0=0=0=0Ñëåäîâàòåëüíî, êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà:l(∇m R)ijk =l∂Rijkαlαlαl+ Γlmα Rijk− Γαmi Rαjk − Γmj Riαk − Γmk Rijα = 0∂xm19Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
