Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 24
Текст из файла (страница 24)
.г*(я1, яг) = О. (Ч.47) Следовательно, Я1 = ф(т2). (Ч.48) Если же и — гп = 3, то безразмерное уравнение подобия будет содержать три критерия и т,д. В качестве примера рассмотрим получение формы уравнения подобия для определения козффипиента теплоотдачи в случае вынужденного движения жидкости в трубе.
На основе общих характеризующих процесс, равно числу всех физических величин, существенных для процесса, минус число основных размерностей е — гв. Среди физических величин, существенных для леденил, сами основные размерности могут яая присутствовать (частично или полностью), тах и отсутствовать.
Таким образом, метод анализа размерностей позволяет зависимость между гг физическими величинами у(А1, Аг, АЗ,... ..., А„) = 0 представить в виде зависимости между п — гв иритеРнЯми подобии <Р(Я'1, тг,..., те га) = О. Нулевое или отрипательное значение разности в — гп означает, что совокупность рассматриваемых физических величин не может быть приведена я безразмерному виду. При и — гп ж 1 уравнение подобия будет содержать только один неопределяющнй критерий, который будет, очевидно, постоянной величиной. Условие и — гп = 1 представляет безусловный интерес, тах кая сводит решение рассматриваемой задачи к отысканию одного постоянного множителя, который может быть определен из опыта, В том случае, когда физических представлений полагаем, что яозффипиент теплоот- дачи а зависит от диаметра трубы Ю, скорости нотона ге, плотно- сти р, вязкости и, теплопроводностн й и удельной теплоемхости с жидкости, т.е.
а = ДЮ, ге, д, гг, А, с), (Ч.49) Таким образом, общее число физических величин е = 7. .Пля анализа размерностей представим зту зависимость в ви- де ь гув В е я~есУ (Ч.50) Размерности всех величин, входящих в зто уравнение, выразим через четыре основных размерности (Ь, М, Т, 6): Подставив зти выражения в уравнение (Ч.50), получим уравне- ние основных размерностей: МТ-38-1 й1 а(ЬТ-1)В(МЬ-з)е(МТ-1Ь-1)ю (МЬТ-З~-1)а(Ь2Т-2~-1)г (Ч бц Из условия равенства степеней при соответствующих основных размерностях в левой и правой частях уравнения можно записать следующую систему уравнений для показателей степеней при Ь, Т, М н 6 соответственно: Эта система, состоящая из четырех уравнений (ггг = 4), содержит шесть неизвестных показателей степеней (е — 1 = 8).
Следовательно, два показателя степени не могут быть определены (п — ггг — 1 = 2). Принимая за неопределимые показатели Ц вЂ” МТ 29-1. Я ЬМТ-З9-1, с ЬЗТ-26 (,„) ЬТ-1. ( ) М1 -З, г О) 0 = а+ 5- Зс - И+ е+ 2у; -3 = -Ь вЂ” А- Зе — 2у; 1=с+И+с; -1 = -е- у. (Ч,52) (Ч.53) (Ч.54) (Ч.55) гоо 201 степени с и /, можно выразить остальные (а, 6, и', е) через ннх следующим образом.
Из уравнения (Ч.55) имеем е = 1 — /, Подставив е в выражение (Ч.54), а е и И в (Ч.53), соответственно находим Н = / — с, 6 = с. Наконец, подставив значения 6, и' и е в формулу (Ч.52), имеем а = с — 1. Заменив теперь соответствующие пояазатели степени в уравнении (Ч,50), получим выражение для коэффициента тецлоотдачн в виде (Ч.5б) Объединив величины с одинаковыми появзателямн степени, за- писываем уравнение в безразмерном виде: — = й — — „.
(Ч.57) Полученные безразмерные комплексы можно представить в виде известных чисел (критериев) подобия: ЕИир/д = Юе/и = Ие; дс/Л = асср/(Лр) ж и/е = Рг; аЮ/Л = Ми. Следовательно, уравнение подобия для рассматриваемого случая теплоотдачи при вынужденном движении в трубе может быть записано в виде (Ч.58) Полученное уравнение находится в соответствии с я'-теоремой: число критериев (Ми, Ие, Рг) равно разнице между числом физических величин и = 7 (а, Ю, в, р, д, Л, с) и числом основных размерностей гв = 4 (Ь, 9, Т, М). Константа 6 и неизвестные показатели степени при определяющих критериях с и / в полученном уравнении могут быть 'определены экспериментально.
Критерии, найденные методом анализа размерностей, не всегда по форме совпадают с критериями, полученными на основе теории подобия. Однало системы критериев, определенные разными способами, эквивалентны между собой. Таким образом, теория подобия и анализ размерностей являются, по существу, разными методами одной и той же системы исследования, основанной на использовании обобщенных безразмерных переменных, различие которых обусловлено только объемом предварительных знаний об исследуемом процессе. Пля применения теории подобия необходим 66льшнй объем предварительных знаний, достаточпЫй для вывода уравнений, определяющих процесс. Если применение теории подобия возможно, то ей следует отдать предпочтение.
В рамках теории подобия выясняется физический смысл критериев подобия. Если математическая постановка задачи невозможна, то применение анализа размерностей становится неизбежным, В этом случае ие всегда есть полнел уверенность в безошибочности составленного перечня существенных для процесса величин и правильности принятой системы размерностей. В тех случаях, иогда перечень величии, существенных для пропесса, и их связь с основными размерностями установлены точно, метод анализа размерностей обеспечивает результаты, эквивалентные результатам, получаемым с помощью теории подобия. Ч.б.
Моделирование Существование подобия физических явлений значительно упрощает и облегчает экспериментальные исследования, давая возможность заменить изучение процесса, протеяакяцего в образце, изучением его на модели, имеющей другие размеры и работающей при других условиях (другие температуры, давления, скорости и т,п.), более удобных для эксперимента. Условия моделирования, т.е. условия, которым должна удовлетворять модель и процесс, протекавший в ней, для того чтобы результаты, полученные на модели, могли быть применены и образцу, задаются теорией подобия.
В соответствии с этой теорией для того, чтобы результаты исследования на модели моглн быть перенесены на образец, процесс в модели должен быть подобен процессу в образце, а для этого необходимо осуществить условия подобия, сформулированные в и. Ч.З. Из второго условия подобия следует, что все размеры модели н образца должны быть связаны между собой соотжиценим 1м<,д = сДеэ (подобие геометрических условкй однозначности).
Константа геометрического подобия с~ указывает, во сколько раз модель уменьшена (с~ < 1) нлн увеличена (с~ > 1) по срелненкю с образцом. Однородные физические величины в модели н образце также должны быть связаны соответствующимн константами попобия: п„,оя = скп,ер, рмоя — — сяреер н т.п.
(подобне фнзкче. скнх условий однозначности). Необходимо обеспечкть в модели подобное распределение скоростей и температур на входе в скстему, а также в начальный момент времени. Пля этого скорости н температуры в сходственных точках моделя н образна должны быть связаны соответствующнмн константами подобия (подобие граничных н начальных условий однозначности.) Однако константы подобия фнзкческнх величин не могут выбираться произвольно, так как онн связаны между собой. Взаимосвязь констант подобия определяется третьим условием подобия (см.
п. Ч.З). Условие равенства крктернев подобия определяет завкснмость между константами подобия разлкчных фнзкческнх величин, которая должна быть реализована прн моделировании. Например, нз равенства критериев Рейнольдса в модели н образпе следует, что константы подобия для скорости среды на входе в систему (се,), размера (с~) к кннематкческой вязкости среды (с„) связаны между собой следующим выраженкем: Ве /Не ~р = с~с1/с„= 1. Это означает, что если в модели будет нспользована та же жндкость, что и в образце (с„ж 1), то при кзготовленкн модели в масштабе 1:5 (с1 = 1/5) скорость жидкости в ней надо будет увеличить в 5 рзз (см = 5).
Следует заметить, что необходимость одновременного осуществления различных соотношений между масштабами преобразования различных физических величин, вытекающая нз равенства различных критериев, накладывает серьезные ограничения на возможность точного моделирования. Проблема еще больше усложняется прн необходимости учитывать зависимость физических велнчнн от температуры, нбо в этом случае в соответствии с условнямн подобию должны быть тождественымк уравнения, описывающие изменение физическнх величин от температуры.
В связи с этим возникает потребность в методах приближенного моделированию Моделкрованне существенно упрощается прн налички так называемой автомодельностн пропесса относнтельно какого-либо одределяющего критерия. Неопределяющнй крнтернй евтомоделен по отношению к опредакяющему тогда,, когда данный неопределя/ощнй критерий не зависит от рассматриваемого определяющего. Если процесс автомоделен относнтелько какого-либо определяющего критерия, то прк моделнрованнн отпадает необходкмость соблюдать равенство этого крктеркя для моделн н образца. Критерий характеризует отношение двух эффектов, существенных для процесса. Его влияние на процесс значимо, когда оба эффекта сокзмернмы по величине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
