Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В результате приведения к безразмерному виду каждое дифференциальное уравнение системы, описывающей процесс, приобретает форму уравнения (Ч.б), в котором величины гЦ со. держат дифференциальные операторы нэд безразмериыми перемевнымн ВКда бэгр/дР, ОгрГдт, Ядоя К т.д. Очевидно, решение системы уравнений типа (Ч.З) юлжно представлять собой некоторую функпию, связнвэюпгую значения всех безразмерных переменных (зависимой гр н независимых Р, я, у, У), критериев подобия, а также безразмерных величин, заданных по условиям однозначности.
Так кэп масштабные фнзическке величины для образования соответствующих безразмерных величии берутся нз усковий однозначности, то все безразмерные величины условий однозначности, принятые в качестве масштабов, равны ешппще. В решение войдут только безразмерные отношения величин одной и той же физичекой природы из условий однозначности (размеры, температуры и т.п.), например Р) = 1г/1о, Рь -- Т1(Те. Такие отношения называются парамегпричесмими критериллаи. Следовательно, решение системы безразмерных дифференциальных уравнений будет иметь вкд Ф =Уг(г,я,у,з,я1>зъ",Рг>"); (Ч.б) т3 = Я(т, я, у, з, яг, из, ..., Р1,...), где <р, ф — зависимые (искомые) безразмерные переменные; т, н, у, з — независимые безразмерные переменные (время и координаты); 1г1, яз — опрепеляющие критерии подобия, которые зада.
ны условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными; Р1 ... — параметрические критерии, заданные условиями однозначности и постоянные для конкретной задачи. уравнения вида (Ч.б) называются крипзериалънъмвв урвеиенилми подобия. Каждое уравнение подобия описывэ ет все подобные между собой явления.
Если нет необходимости определять искомую величину, например коэффициент теплоотдачи, в каждой точке поверхности н в каждый момент времепк, а достаточно знать его срепнее значение по всей поверхности и за весь период времени, то в уравнении подобия отсутствуют значения безразмерных коордкнат я, у, з к времени г и оно имеет вид ~э = Уэ(яъ яз,...,Р1,...). (ЧЛ) В частных случаях, когда те или иные эффекты не проявляются в процессе, некоторые критерии, содержащке масштабы этих эффектов, могут отсутствовать в уравнении подобия. В таком случае имеем Оепзомодемьмоснзь явления по отношению к данному критерию. В уравнениях подобия, описывающих процессы с одинаковымн условиями однозначности, отсутствуют параметрические критерки.
Следовательно, наличие в уравнении параметрического критерия, например отношения размеров, свидетельствует о том, что данное уравнение подобия учитывает некоторое геометрическое нелодобне систем. Необходимо также отметить, что вкд критериев, вытекающих из дифференциального уравнения, зависит от того, на масштаб какого эффекта делили члены уравнения при приветики гво его к безразмерному виду. Однако системы критериев, полученных из одной и той же системы уравнений н условий однозначности, эквивалентны. Любая комбинация нз критериев является тоже критерием и может заменить в уравнении подобия один нз критериев, входящих в эту комбинапию.
Этим правилом пользуются для исключения из критериев величины, не содержащейся в условиях однозначности, путем сочетания двух критериев, содержащих зту величину. Прн этом количество критериев подобия уменьшается, так как полученный критерий заменяет лишь один из критериев. Критерии подобия, содержащие неизвестные величины, называются неопределлючцтызн мринзерилмн. В заключение полезно сравнить решение обычной (размерной) системы дифференпиальных уравнений и условий однозначности в виде а ж Ят, я, у, з, 9, с,,и, А, в, Т, 1,...), (Ч.й) где д, с, д,...
— значение физических величин, входящих в усло- вия однозначности, с решением системы дифференпнальных уравнений н условий однозначности в безразмерном виде: а = Дг, Ы, у, з, я1, кз,..., Р1). (Ч.й) звз Сравнивал решения, можно заметить, что оба решения однозначно определяют значение искомой величины а. Однако число аргументов во втором случае существенно меньше, чем в первом, так как величины, имеющие место в условиях однозначности, находятся в нем в виде комплексов-критериев, определяющих влкяние совокупности физических величин на процесс. Прн меньшем числе аргументов обработка результатов экспериментов илн численных решений и получение необходимой зависимости между величинами существенно упрощаются.
Кроме того, каждое частное решение в безразмерном виде, т.е. каждое относительное значение искомой величины при определенном значении определяющих критериев, справедливо для многих подобных между собой случаев, нбо одно и то же значение критерия может быть получено с помощью различных численных значений входящих в него физических величин. Таким образом, разработанная на основе теория подобия форма представления решения системы дмфференпнальных уравнений в безразмерном виде позволяет, во-первых, сократить число аргументов и тем самым упростить обработку результе тов эксперимента н получение зависимостк между величинами н, во.вторых, обобщить данные единичного опыта нли численного решения на многие подобные между собой случаи.
Основные положения теорим подобия формулируются в виде трех теорем: 1. У подобных явлений все критерии подобия (определяющие и неопределяюшме) должны быть численно равны. 2, Решение дифференпмальиого уравнения может быть представлено в виде связи между критеряямм, вытекающими из этого уравнения. 3. Явления подобны, если они имеют подобные условия однозначности и численно равные крктеряя, содержашме велмчмкы из условий однозначности (определяющие критерии).
Этя теоремы отражают условия подобия и особенности подобных явлений, которые былм рассмотрены выше. Из рассмотренного следует, что теория подобия не дает решения, а только позволяет обобщкть экспериментальные данные, указывал форму, в которой эти данные должны представляться. Следовательно, теория подобия, по существу, является теорией эксперимента, поэтому значение ее особенно велико для научных областей, основой которых является эксперимент илм численное решение. Именно к такой области относятся конвективный теплообмен. Ч.4. Критерии подобия м уравнения подобия конвективного теплообмепа Йля установления вида критериев подобия необходимо систему уравнений конвектявного теплообмена привести к безразмерному виду. Система дифференпнальных уравнений конвективного теплообмена для течения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами представляет собой совокупность следующих уравнений: а) уравнения энергии дТ дТ дТ дТ ! дЗТ д-Т дзТ'з — + .— +,— +,— = ~ — + — + — р (Ч.1О) д * дх ду ~ дх ~дхз ду дхз) ' б) уравнений двяжения две / две двх две'1 Р +Р1ва +ву +вз д ~ дх ду дх ) др /дзв дз вх дзиъ 1 = РУ вЂ” — +/4 — у-+ — +— дх ~ д ду д.~)' Р Х+Р в Х+в Х+в Х д К д д дв~ У д, дх)= дР /дзву дз дзв ~ =Ру +Р + ~+ Х ду ~ дх ду д.
)' двз / двз двз две~ Р +Р вз +ву +вз дт ~ дх ду дх ! др /дзв, дзв, дзв,~ = РУ вЂ” — + и — + — й-+ дх (, дхз ду д з )' (Ч.11) в) уравнения неразрывности —. + — Х + — = О. две дв дв, (Ч.12) дх ду дх (Ч.13) — ЬТ ж— Иногда зто равенство называют уравненмем тешкюбмена, так как оно включает искомую величину — козффипмент теплоотда- чм. К системе дкффереипнзльиых уравнений (Ч.10КЧ.12) аобе вляются условия однозначности. В частности, гранмчное условие можно задать в виде 1$3 В этих уравнениях можно выделить три вида параметров: независимые переменные т, х, у, г; зависимые переменные (неизвестные величины) а, Т, кгя, ягю кг„р и постоянные величины, вхопящие в условия однозначности, иго, То, !о, !г, а, А, р и т.д. Лля приведения уравнений к безразмерному виду необходимо выбрать масштабы для зависимых н независимых величин.
В качестве масштабных значений наиболее целесообразно принять величкны, входящие в условия однозначности, заданные при постановке задачи. Затем необходимо заменить абсолютные значения всех переменных относительными, безразмернымн величинами, используя определение безразмерной величины 1О = гР/уо, где гРΠ— масштабное значение физической величины гР, Отсюда абсолютная величина <р может быть выражена через безразмерную <р и масштабную гРО в виде (Ч.
14) Так как уравнения содержат первые н вторые производные переменных величин, то необходимо и для нмх получить соответствующие выражения. Это может быть сделано с использованием выражения (Ч.14) следующим образом: д'Р д(УО'Р ) 'Ро дУ . дк д(!Оя ) !О дк О (Ч.15) Каждый член с дифференциальным оператором в уравнениях выражает определенный физический эффект н является математпческкм выражением для количественного определения этого эффекта, т.е, является правилом вычисления эффекта в самом общем случае, когда он переменный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
