Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Иваучеаке поверхпосгк Солацв................... Тепловой поток к головкой части спускаемых космаческах аппаратов (скорость 11 км/с, мессе 10 т).... Реьктавкые двагвтела кв адераом горьочем........... Термовдераые ревктаваые двпгвтвка............... Лелеркое авлучекае Существенно усложняются и условия на поверхности теплообмена, о чем можно судить нз рис,1У.1, на котором показана схема охла ждення сопловой лопатки авиадионного двигателя. Надежность работы перспективных тепловых двигателей в основном определяется надежностью системы охлаждения их проточной части.
В втой связи предъявляются новышенные требования к точности расчетов теплообмена, Современнал теория конвектнвного теплообмена базируется на следующих основных предпосылках: ЯудУ+ пдГ= йудУ, (1Ч.9) йдГ = д!гйду. (1Ч.10) (1Ч.7) дн = дЬ вЂ” Н(ре), (1Ч.8) 1ат 160 1) движущая среда, нспользуемвл для переноса теплоты, рассматривается как сплошная среда; 2)система дифференциальных уравнений, описывающая процессы конвективного теплообмепа, выводится на основе балансовых уравнений сохранения энергии, вещества п количества движения; 3)для замыкания исходной системы дифференциальных уравнений используются гипотезы, устанавливающие связь между тепловым потоком и градиентом температур, а также между трением и градиентом скоростей; 4) физические параметры жидкости (вязкость па, плотность р„„теплоемкость с~а н теплопроводность Аа) считаются известнымн функпиями параметров состояния.
1Ч.2. Диффереициальиые уравиеиия теории коивективиого тецлообмеиа Закон сохранения для движущейся среды Первое начало термодинамика для элементарного объема движущейся среды можно записать в виде г,„г, Яудг+Ьудт= р дн+д~ — ), (1Ч.6) ~,2) где Ч'у — количество теплоты, поступающей в еднпппу объема в единипу времени, Вт/мэ; Ху — работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды в единицу времени, Вт/мз; г — время, с; р — плотность среды, кг/мз; и — удельная внутренняя энергия, Лж/кг;в — скорость движения среды,м/с.
Из термодинамики известно, что где Ь вЂ” энтвльпия, Дж/кг; р — давление> Па; е — удельный объем, мз/кг. Следовательно, щг нг дн+д — =дЬ+д — .др рд,. 2 2 Лля определения Яу выделим в рассматриваемой среде конечный объем У, ограниченный поверхностью Г. Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единппе времени, можно записать в виде где йу — интенсивность внутренних источников теплоты (таких, как объемные химические реакции, радиоактивный распад, работа трения и т.п.), Вт/мз.
Используя формулу Гаусса-Остроградского и предположение о сплошностп среды, имеем Так как все параметры среды являются непрерывнымп функцнямп координат и времени, с учетом уравнения (1Ч.10) и произвольности в выборе объема У, из выражения (1Ч.9) полу- чаем ду =а1чд-д, =0. (!Ч.11) Принимал для вектора теплового потока гипотезу фурье, имеем ь)у = дЫ (Л йгад $) + йу. (1Ч.12) С учетом уравнений (1Ч.6) и (1Ч.12) получаем дифференциальное уравнение энергии в форме йч(Лйгад1)+ду+.!у+ — +рр — = ~ — + ~. (1Ч.13) др де !дЬ д(юг/2)1 д д '(д д Прн умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил н кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтзльпией, уравнение существенно упрощается и принимает внд ЮЬ Р вЂ” = Йч(Айгад$)+ йг, .Ог (1Ч.14) — = — + (иУ, йга6 Ь).
ЮЬ дй Вт дт амр = -ат 61чйа». ь' (1У.15) (1У.21) ср — = А~7 с+ 9~ Ю1 ХИ" (1Ч.16) (1Ч.22) или с учетом формулы (1Ч.15) — +Йчй НЪ'жО, (1У.23) сР— = А~7 $+6». 8$ дт (1У.18) — +61ч к1 = О. др дт (1Ч,24) 81у + ('61„6габг) = огузо. (1У.19) (1Ч.25) Следовательно, — + 61ч (р и~) = О др дт (1У.26) (1Ч,20) 1вв 163 где ПЦВт — субстанпиональная производная, Если козффипиент теплопроводностн и удельную теплоемкость принять постоянными, то /81 дс дс 811 ср( — +юх — +юя — +юх — ) = ду дх) / дэ$ дэг дэг '1 =Л~ — + — + — ~+д,.
(1У.1т) ~дяэ д„д э,1 Лля неподвижной среды (ю = 0) получаем уже известное уравнение Фурье-Кирхгофа: При отсутствии внутренних источников теплоты из уравнения (1Ч.16) имеем В уравнение энергии (1Ч.12) в качестве неизвестной величины входит скорость движения жидкости. Таким образом, для определения распределения температуры в потоке жидкости необходимо предварительно решкть гидродинамнческую задачу,т.е.
определить распределение скоростей в потоке жидкости. Закон сохранения ееиаестеа для потока жидкости Закон сохранения массы жидкости М в произвольном объеме У, ограниченном поверхностью Г, можно записать в виде Введем вектор плотности потока массы 1й, тогда В объеме Ъ' вследствие изменения плотности р накапливается масса НМ = Ир Л~ = г1т / — НК I др / дт Подставим ЫМр и ИМ иэ уравнений (1Ч.21) и (1У.22) в уравнение (1У.20): Объем Р' выбран произвольно, а все параметры жидкости в соответствии с принятым предположением о сплошности среды являются непрерывнымн функциями координат и времени.
Поэтому из уравнения (1Ч.23) следует Вектор плотности потока массы связан с вектором скорости и плотностью очевидным соотношением или в прямоугольных координатах др — + — (рвх) + — (рюя) + — (рш,) = О. (1Ч.27) дт дя ду дх др + — (р|ц.)+ — (ри)я) = О, дт дх др (1Ч.28) для осесимметричиого течения Учитывал, что Йчи) =О; (1Ч.ЗО) (1Ч-35) гЬ. д. д., — + — к+ — '=О.
дх ду д. (1Ч.З1) получаем Учитывая, что (1Ч.32) (ГЧ.39) В частности, для плоского течения др — + — — ~~(рги)е) + — — (рги)г) = О, дт гдх ~ г дг (1Ч.29) где т — расстояиие по нормали к оси симметрии, Уравнение (1Ч.26) называется уравнением «еразрьгекоскзи. Для иесжямвемой жидкости р = сопз$, и уравнение неразрывности имеет вид В уравнение неразрывности входят три компоиеиты скорости: и)с, и)я, и)„ поэтому одного этого уравнения недостаточно для определеиия поля скоростей и) в потоке жидкости.
Закон сохранения количес)пеа движения вязкой жидкости Дифференциальные уравиеиия движеиия вязкой жидкости выводят иа основании закона сохранения количества движения в применении к жидкости, протекающей через произвольный объем Ъ', Скорость измеиеиия главного вектора количества движения жидкости, находящейся в объеме $', равна главному вектору массовых и поверхностных сил, действующих иа поверхность (силы давлеиия и треиия). Главный вектор количества движеиия жидкости, находящейся в объеме Ч, Согласно закону сохранения количества движения Г1 Уà — = — ) ри)) =|рп)) +| ) ик ))).зз) У Р г ! рщ й7 / р Ю аг +/ ФЮ (ра/), (1Ч.34) преобразовывая поверхиостный иитеграл в уравиеиии (1Ч.ЗЗ) в б миый по Ч ме Гаусса-Остроградскою; / ХМ р д„-рФ-6. р) ~У=О.
(ГЧ.З6) Используя допущения о произвольности объема Р' и сплошиости среды, имеем ЮМ р — = рЯ+61т р. (ГЧ.37) ЮФ дЮ вЂ” = — + (Ф, бган иГ)) (ГЧ.ЗЗ) получаем уравиеиие движения жидкости, выраженное в иапря- жеииях р: ди) р — +р(и~,йгадЮ) = рЯ+йт у7. йи~ Рху=тхх=р з1Р Коэффициент пропорциональности и носят название динамической вязкости и измеряется в паскалях в секунду (Па с). Кинематнческой вязкостью и называется отношение ~и/р, измеряется она в квадратных метрах в секунду (му/с). Дннамическвл н кпнематнческвл вязкости являются физическими параметрами жидкости и зависят от температуры и давления. (1У.41) Это уравнение векторное и в проекциях записывается в виде трех уравнений: Г д д д д ~ Р( +н>х +хо +У>з ~>ох= ~,дт дх " др дх,/ дрхх друз дрзх, =РМ + — + — + —; д* ду дх ' /д д д д1 , ~ — +-.
— +-„— +-,— ~-„= У 40 =РМ + — + — к+— дРху дРу др,у дх ду дх ' гд д д д~ Р ~ — +юз — +зеу — +зхз — (зхз = ~д дх ду дх( = РМ. + — + — "-+— др * др з друз дх ду дх ' которые содержат 12 неизвестных: трн компоненты вектора скорости (е>х, зоу, ю,) и девять компонент тензора напряжения (Рхз. Рху> Рхз> Рух> Руу> Руз> Рзх> Рзу> Рзз ) При движении вязкой жидкости в потоке действуют нормальное напряжение и напряжение сдвига. Нормальное напряжение обусловливается силами давления, а напряжение сцвига вызывается трением между слоями жидкости, движущимися с различной скоростью. В соответствии,с гипотезой Ньютона касательное напряжение (напряжение сдвига) в плоском потоке вязкой жидкости связано с производной от скорости по нормали к направлению потока простым соотношением Динамическая вязкость в основном зависит от температурм.
Для капельных жидкостей динамическая вязкость убывает с повышением температуры, а для газов- возрастает. Динамическая вязкость газа в зависимости от температуры достаточно удовлетворительно описывается формулой Сазерлен- да С Ъ . Т+ 114' в частности, для воздуха (1У.42) ТЪ Т+ 114 и = 14,65 (1Ч.43) Для практических расчетов можно использовать степенную зх висимость М,ио = (ПТе) (1Ч.44) /дю; дзо 1 и — + — при,у ф з; ~дх дз; ~ (1Ч.45) Р>1 = дн» вЂ” Р+ 2и — ' при у' = 1. дх; Здесь р — давление жидкости в любой точке потока; координаты х, Р, х обозначены через х; (1 = 1, 2, 3) соответственно. Жидкость, подчиняющаяся закону Ньютона, называется ньютоновской жионостью. Уравнение движения ньютоновской жидкости в векторной форме имеет внд 1уй7 + 2 Р)~ = у Р+ 2ЙЬ(Ф) — бган (Р+ -Рйч е7). (1Ч.46) где и зависит от природы газа и его температуры.
В диапазоне температур 300 — 2000 К можно принять н = 0,75. Обобщенный закон Ньютона представляет линейную зависимость напряжений от скорости деформапии и может быть записан в следующем виде: 1вв 1вт 1 Гдвв дв,'1 — ~ — + — ~; (1Ч.47) 2~ д» ду~' двв ду' 1 двх дву 1 двй два~„ В проекпиях на прямоугольную систему координат векторное уравнение (1Ч.46) запишется в виде трех уравнений, которые называются уравнениями Навье-Стокса: + р + — (р61™)+д*р' дх ~ ~ дх дх Я 3 дх + ~ ~ в+ »~1 — (р61„у)+ ,~1, / д.
)~ дх ~ дх ~ 3 д. Зля нзотермического течения несжимаемой жидкости (р = сопвФ) и (р = сопвС) р — = й~р — йгабр+ р~7 Ю РФ 3 Рт (1Ч.49) Здесь Рв17Рт — вектор с проекциями Рв»7Рт, Рвв(Рт, Рв»7Рт; Я вЂ” тензоР скоРостей дефоРмаций, компонентами ко- торого являются В проекдиях на прямоугольные осн координат будем яметь 1 Р 1 Р 1 Р Проекция уравнения движения на ось Ох в цилиндрических координатах запишется в виде < д д д д~ — +в — +в — + — — в дт д ' д ду) 1 др /дзвв 1 два'1 = у„— — — + и ~ — в + — — ~. (1Ч.51) рдх ~,дтз т дт/' Система уравнений (1Ч.50) и (1Ч,26) является замкнутой, так как состоят из четырех уравнений и содержит четыре неязвестных: р, вх, вю вх. В том случае, когда плотность жидкости переменна и зависит от температуры, к уравненням неразрывности и движения добавляются уравнение энергии и уравнение состояния, которые составляют замкнутую систему из шести уравнений с шестью неизвестными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
