Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Дифференциальные уравнения отражз; ют лишь самые общие черты явления, в них отсутствуют индивидуальные признаки конкретного единичного случая. Выделение конкретного случая из общего класса явленмй хонвективного теплообмена осуществляется дополнением системы уравнений условиямн однозначности. Таким образом, система лифференпиальных уравнений конвектквного теплообмена и условия однозначности составляют математическое описание конкретного случал теплообмена. В результате решения системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена совместно с условнямн однозначностк получаем зависимости распределения скоростей, температур и конпентрацнй от координат и времени.

Используя формулу (%.3), находим зависимость коэффициента теплоотдачи а от времени т, координат х, у, я, точки поверхности н величин р, сю д, А н т.п., входящих в условия однозначности, т.е. а = у(т, х, у, з, р, сю д, и>, Т, 1,...). Именно эта зависимость н представляет наибольший прахтический интерес пря инженерных расчегах процессов теплообмена.

Ввиду чрезвычайной сложности системы дифференциальных уравнений конвектквного теплообмена и условий однозначности, содержащих большое количество переменных, аналитическое решение ее не может быть получено в общем случае. Эти уравнения могут быть решены в отдельных частных случаях при существенных упрощающих предположениях.

Если аналитически решить задачу невозможно, то зависимость для коэффициента теплоотдачн можно найти либо численным методом с большим объемом вычислений на электронных вычислительных машмнах, либо с помощью экспериментального исследования. Отличаясь по способу получения искомых велмчнн, оба этих метода, по существу, равноценны по возможностям прм определении зависимости между величинами. Кажизе отдельное численное решение, так же как и каждый отдельный эксперимент, дают одно конкретное численное значение искомой величины — коэффициента теплоотдачи прн задакных вполне определенных значениях исходных аргументов.

Чтобы найти зависимость коэффициента теплоотдачм хотя бы от одного нз аргументов, необходимо провести множество экспериментов клк выполнкть множество чнслекных решений при различных значениях данного аргумента, оставляя другие неизменимым. Для найденного ряда чисел можно затем подобрать подходящую эмцирнческую формулу, связывающую коэффициент теплоотдачи с аргументами. В отличие от формул, получаемых в результате аналитического решения дифференциальных уравнений, описывающих процесс, эмпирические формулы, кал правило, не отражают в полной мере физическую сущность процессов. Они справедлмвы только в том диэлазоне изменения аргументов, какой был исследован в зксперкменте или численных решениях.

При этом изменение значения хотя бы одного нз аргументов, оставшихся постоянными в денной серии экспериментов, может привести к изменению характера полученной эмпирической зависимости. При большом числе аргументов оказывается очень трудкым, а кпогда м невозможным подобрать эмпирическую зависимость, правильно отражающую влияние всех аргументов.

Такмм образом, численные к экспериментальные методы позволяют получить лишь разрозненные зависимости, обобщение которых чрезвычайно затруднено большим числом аргументов, от которых зависят искомзл величина. Этн трушюстк позволяет преодолеть теория подобия. Теория подобия устанавливает условия подобия физичесхих явлений к на этой основе дает возможность существенно сократить число переменных. Она также дает правила рационального зев 199 'Ч.й. Понятие о подобии физических явлений Понятие подобия физических явлений в известной мере можно считать расширением понятия геометрического подобия. К геометрически подобным от) носятся фигуры одинаковой формы, соответствукнцие о) Ь' углы которых равны, а соот- Ь' ветствуюшне стороны пропорциональны (рис.

Ч.1). Подобие треугольников, приведенных на рисунке, может быть выражено двумя способами. Например, установлением равенства отношений сходственных от- Рис. Ч.1. Геометрически подобные треугольвпги объединения физических величин в безразмерные комплексы, число которых существенно меньше числа величин, из которых онн состоят.

Эти комплексы отражают совместное влияние совохупности физических величин на явление и могут рассматриваться каи новые обобщенные переменные, тах хах заданное значение иомплехса может быть получено в результате бесчисленного множества различных комбинаций величин, входящих в него, Сокращение числа переменных н использование нх в комплексном виде значительно упрощает проведение экспериментов и численных решений. Наконец, теория подобия дает правила моделирования процессов, протекающих в натурных установках. В развитие теории подобия большой вклад внесли советские ученые М.

В. Кпрпичев, М. А. Михеев, Л. И. Седов, А. А. Гухмап, 1". Н. Кружилин, С. С. Кутателадзе н др. Объединяются физические величины в безразмерные комплексы теорией подобия на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих явление н содержащих сбшие связи между величинами. Однахо безразмерные комплексы могут быть получены н с помощью метода анализа размерностей физических величин, существенных для рассматряваемого явления. резяов подобных фигур. Такое отношение называется попспзап- тоб подобия с: а'/а =6/6 =И/И =Ь/Ь =с, где а',6, Ы, Ь', — линейные размеры одного треугольника; о", 6", о'", Ьо — соответствуннцие линейные размеры другого (подобного) треугольника. С помощью константы подобия можно сравнивать между собой только две пож)бные фигуры, таи иаи для разных пар подобных фигур константы подобия будут разные.

Константа додобня показывает, во схольхо раз размеры одной фигуры отличаются от размеров другой, попобкой ей фигуры, и поэтому называются часто мпоисипзелем подобного преоброзооапил. Пои)бке треутольккхов можно выразить также равенством относительных, безразмерных сходственных отрезиов фигур. Безразмерные отрезки выряжаются откошенпем длины отрезка к длине определенного отрезка фигуры, принятого в качестве масштаба измерения всех других длин. Если в подобных треугольниках в качестве масштаба принять высоту Ь, то подобие треугольников выразится равенствами Ь'УЬ' = Ь"УЬо = Ь = М б~)Ь = ИЯ/Ьо = Ы =!Деш. Относительные безразмерные элементы фигур могут быть названы иноариаппзами или припзарилмп подобна.

Используя понятие относительной, безразмерной длины (иритерпй подобия), можно сравнивать любое количество подобных между собой фигур. Прн этом все подобные фигуры, построенные в единицах масштабного размера, т.е. в относительных величинах, совершенно одинаковы. Уравнения в относктельных, безразмерных величинах, опнсываюшке шпюбные фигуры, оказываются тоже одинаиовымк. Это можно показать следуиицнм образом. Уравнепкя двух эллипсов (' к ") можно записать в виде 170 где а и Ь вЂ” соответственно большая н малая полуоси зллмпса. Принимая большую полуось эллипса в качестве масштаба измерения всех других длин и относя все линейные члены уравнения к этой величине, можно записать уравнения эллипсов в относительных величинах: - о2 -02 ыо2 -"+ -"/Ь" — 1.

Х +У / сительные, безразмерные переменные; Ь = Ь~/а, Ь м Ьо/ао— 1Г аа1И относительные, безразмерные малые полуосм эллмпсов. .Пдя подобных эллипсов относительные, безразмерные сходственные длины одинаковы. Следовательно, подобные эллипсы имеют токсдественные уравнения в относительных величинах. Прн этом критерии подобия, содэржащкеся в уравнениях, для них численно равны, т.е. -и Ь =Ь =Ь =Ыеш. Лругмми словами, подобные эллипсы описываются однмм и тем же уравнением в относительных величмнах: -2 2 я 2+ 22/Ь = 1.

Таким образом, если геометрические фигуры могут быть представлены уравнениямм, то условием их подобия является одинаковость, тождественность их уравнений в относительных, безразмерных величинах, Много полезных практических задач может быть решеко, если известны условия подобия, Свойства подобных треугольников, например, позволяют определить высоту дерева или шмрмну реки без непосредственного измерения их.

Понятие подобия может быть распространено и на физические явления. Можно говорить, например, о подобии движения потоков жидкостк — кинематическом подрбни, о подобии смл — динамическом подобии, о подобии температур н тепловых потоков — тепловом подобии и т.д.

Подобными могут быть только явления одинаковой физической природы, имеющие место в геометрически подобных системах. Признаком иоообия является одмнаковость относительных, безразмерных значеикй физических величин во всех сходственных точках. Саоосзвееииьами называются точки, безразмерные координаты которых равны, т.е. точки, удовлетворяющие условию геометрического подобия. Так как значения фкзкческмх велкчнн меняются от тачки к точке, то можно сказать также, что пркзнаком подобкя является одинаковость, тождественность полей безразмерных физических величин, построенных в безразмерных координатах. Относительное безразмерное значение любой физической величины получается делением действительного значения этой величины в дакной точке на некоторое характерное значение той же величины, принятое в качестве масштаба измерения этой величины.

Поясним подобие физических явленмй на сле- Ф' дующем прммере. Папу- а стим, имеются две геометрически подобные системы (рис. У.й), в кото- а' рых имеют место подобные пропессы течения а э жидкости. Тогда, прмияв в качестве сходственных р 1 2 точки 1 н 3, удовлетворя- ироцессоа ири течеи1аи жалко- ЮЩМЕ УСЛОВИ1О ети ио трубам а'/Ы' = а и/Иа = а = 1йеш, Ь'/М' = Ьа/Ио = Ь = Ы можно утверждать, что имеют место следующие равенства прк наличии: а) кинематнческого подобия." Р Ф и и ю 2/е1 м ю 2/ш1 = ю ж Ыеш1 б) динамического подобию рз/р1 — — рз/р1 — — р = Ыеш или Ьр /р1 = бре/р1 = М = Ы в) теплового подобия: 1' !Ф' = ФЯ/Хв ж Ф = Ыеш или Ы'/21~ = ЬФи/11~ — -Б ж Ыеш.

Характеристики

Список файлов книги