Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Отсюда комбинадия нз постоянных масштабных величин, получающаяся перед дифференциальным оператором в относительных величинах, представляет собой масштаб эффекта. Эта комбинация выражает закон формирования физических величин в эффекте. Правило вычисления эффекта и закон формирования величин в нем совпадают, т.е. имеют одинаковые математические выражепкя, когда эффект постоянен. Например, правило вычисления ускорения имеет вид йи г!(гИ!'г!т) сР! 3 йТО /дТ~ аЬТаоТО = — — ~ — ~ !о ~д",г'ст Разделив уравнение на комплекс масштабных фмзическмх вели- чин, выражающий масштаб второго эффекта !ХО = !гТО!'!о, запм- шем уравнение в безразмерном видег 1 ГдТ~ аягз = —— дТ ~дН,!„' (Ч.17) где ягз — безразмерный комплекс мз масштабных величии, представляющий собой отношение масштабов эффектов Лг = аоТО н !ХО = ЛТО(!о'. яш = ХХг/!ХО = ао!ОР.
Обычно в условиях однозначности не содержится коэффициент теплоотдачи ао, поэтому нужно преобразовать относительную величину а н ягз. Масштабное значение коэффициента тецлоотдачи ао в величине а следует заменить комплексом величин кз условий однозначности. Из выражения для критерия кгз Если ускорение постоянно о ю сопзз, то правило его вычисления можно представить в виде а = кг!т = !/тз. Это выра жение представляет собок комбинаппю фмзическнх величии в ускорении, т.е. выражает закон формированкя физических велнчкн в нем. Приняв масштабы для коэффициентов теплоотдачк ао, длины !о, скорости кго, времени то, температуры То и давления ро и воспользовавшись выражениями (Ч.14) — (Ч.1В), представим уравнение теплообмена в виде ГО4 1оо (Ч 18) Нц = а10/Л Ро = 1/т1З = его/100 Ре = хзз = во10/а (Ч.24) Нц =-= (Ч 20) «от «ОО видно, что таким комплексом является отношение Л/1о.
Следовательно, произведение а зш = (а/ао) (ао10/Л) = а10/Л в уравнении (Ч.17) представляет собой относительную величину неизвестного коэффициента теплоотдачи. Этот комплекс является неопределяющим критерием, называется числом Нуссельта и характеризует соотношение между коивективным переносом теплоты от жидкости к поверхности тела (дсг) и переносом теплоты теплопроводностыо через слой жидкости толщиной 1о(о «).
Нействительно, кз уравнения (Ч.18) следует, что Ни = — — = —. О !О Ж (Ч.19) /лт л В задачах конвективного теплообмена число Нуссельта обычно является искомой величиной. Но своей структуре число Нуссельта напоминает определяющий критерий — число Бно (В1 = а1о/Л„), однако в отличие от него содержит коэффициент теплопроводности жидкости и имеет иной физический смысл. Таким образом, безразмерное уравнение теплообмена может быть окончательно записано так: С учетом выражений (Ч.14)-(Ч.16) уравнение энергии можно преобразовать к виду дт 20 г дт ат дт 1 в ото — — + в.— +в,— +в,— — = а.-, ~ Вз ау аз ) 10 /а т д т В'тЧ ст, — + — + — -~-.
(Ч.21) ~дяз ау' дхз) 1о Разделив члены уравнения на комплекс величин, выражающий масштаб эффекта, представленного третьим членом уравнения ПЗ = аТО/1О, запишем его в безразмерном виде: дТ / дТ дТ дТ~ т10+ ~вз =+ вз + вз ) тзз ш азт дзт азт = — й. + =+ — й-, (Ч.22) дз ду дУ * где т1з =, Пъ/Пз = 1оз/(а~ъ) н ззз = Пз/Пз = во10/е — критерии подобия. Чксла подобия принято обозначать первыми двумя буквами фамилий ученых, оказавших существенное влияние на развитие дзлной области знаний, и соответствующим образом именовать.
На практике критерии, вытекающие кз этого уравнения, обычно используются в форме чисел Фурье и Пекле. Число Фурье выражает соотношение между темпом изменения условий в окружающей среде н темпом перестройки темпер4ьтурного иола. внутри тела, Число Пекле выражает соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекпией и интенсивностью переноса теплоты теплоироводностью. Уравнение движения для оси ОХ с учетом выражений (Ч.14) — (Ч.18) л дв рво / две две дв 1 рай др ро /дзвз д~вз азиз~ пво РΠ— — — +Р— ~ + + дз 1О ~, дЫ дуз ду ) 1О Разделка на комплекс величин при втором члене уравнения, выражающий масштаб инерпионной силы Пз = рюо/1о, получим 2 дю, дю дю, дю, — ггпз + ю з = + ю З вЂ” + ю г = др = т32 д- я42+ У юс»521 дя (Ч.25) (Ч.2б) Но = 1/гггз = мого/1о где кгз = П1/Пз = 1о/гомо тзз = Пз/Пз = р1о/юо, коз = = П4/Пз = ро/(рюо), ггзз = Пз/Пз = и/(юо(о) — критерии подобия.
На практике используются следующие критерии, вытекающие из уравнения движения. Число гомохронности представляет собой неизвестное по условию относительное давление. Этот комплекс является неопределяющим критерием. В большинстве инженерных задач требуется знать не абсолютное значение давления, а разность давлений в двух точках системы. Комплекс, выражающий безразмерную разность давлений, называется неопределяюшям числом Эйлерог о» = /1р/(ргоо). Число Эйлера устанавливает соотношение между силой давления к инерционной силой в рассматриваемом явлении.
Ц~оследний критерий, вытекающий из уравнения движения, — число Рейнольдеа выражает меру отношения переносного (конвективиого) ускорения к ускорению в данной точке. Число Фруда (У.27) Гг = ггзг = р1о/юо определяет соотношение между силой тяжести н инерционной силой в рассматриваемом явлении. Последнее следует кз уравнения (У.27), если его записать в виде гг = ру!о/(рюо~). Оно имеет существенное значение в тех случаях, когда гравитапионные эффекты играют заметную роль. В отдельных случаях эффекты, обусловленные действием силы тяжести, настолько незначительны, что имн можно пренебречь. Обычно в условиях однозначности не содержится величины давления ро, Поэтому масштаб давления в относительном давленик р следует заменить комплексом величин из условий однозначности, Из выражения для критерия т42 = ро/(рюоз) видно, что комбинация величин рюоз имеет размерность давления и ею может быть заменен масштаб в безразмерном давлении.
Следовательно, произведение р 42 = (р/ро)ро/(р оз) = р/(р оз) (Ч.2о) 188 Ве = 1/ггзз = юо18/и, (У.ЗО) выражающее соотношение между инерционной силой и силой внутреннего трения. В этом нетрудно убедиться, если записать число Рейнольдса в виде 2 В = ~й-. рюо/1о (У.31) 188 Чем меньше значение числа Рейнольдса, тем большее влияние на все гндродинамкческие характеристики потока оказывают молекулярные силы вязкости и тем устойчивее вязкое, ламинарное течение жидкости.
Прн некотором критическом значении числа Рейнольдса ламинарное течение жидкости переходит в турбулентное. Как будет показано дальше, интенсивность конвективного теплообмена существенным образом зависит от рекгкма течения жидкости, поэтому число Рейнольдса является одним из основных определяющих критериев в теории теплообмена.
Уравнения движения для осей ОУ я О Я приводятся к безразмерному виду таким же образом и, как легко себе представить, дают ту же систему критериев. Применив выражения (Ч.14) — (Ч.16), запишем уравнение неразрывности так: = + =~+ =~ юо/1о = О. < дюз дю дгоз В*- д- И / Так как отношение во/1о пе равно нулю, то дю.
Вю Вю, — + — Я+==О. дя ду дз (Ч.32) дТ 1 Г дТ дТ дТ 1 — — + ~из =+ ву — + ю, =) Ре = ВзТ ВзТ дзТ = =+ — +--у; (У.зз) дя ду дз дй* - д®з - дюз +ь7у +юг дя ду дг д = Рг — = Еи + ~7 е е — ' дя М' дну дюз В46у — +юу~+1о д- д- ВУ = д, 1 = Рг — =Ец+ ~7 во —,' ву Ке' джаз дюз - дюз — +®у — +1у — ж ВК ВУ 'В.- = д, 1 = Рг — =Ец + ~7 аз — ' Вз л 1 Вге Ва у дгу, — + — + — =О д*- ду ж дез 1 — — +Юз дт Но 1 — +м. Йо (У.34) дез +йз дг Но (Ч.35) Отсюда видно, что безразмерное уравнение неразрывности дяя несжимаемой жидкости (р = сопзз) ие содержит критериев подобия. Используя обозначения критериев, запишем систему безразмерных дифференциальных уравнений конвектявиого теплообмена: и уравнение теплообмепв: (Ч.36) Рассмотрим еще несколько критериев, которые применяются при решении ззлач копвективного теплообмеиа.
При анализе свободного движения жидкости, как правияо, невозможно выбрать заранее какую-либо скорость в качестве масштаба, так кзк опа отсутствует в условиях однозначности. Таким обре зом, числа Рейпояьдса к Фруда пе могут быть опредедяюшимк в этих условиях. Однако комбинируя эти два критерия, макке получить новый критерий, который пе будет содержать скорость. Число Галилея Ве~г'г = у1 /у = Са (У.37) характеризует отношение массовых сил к силам вязкости. Если рассматривать случай свободного движения, обусяовлекпого неоднородностью поля плотности, то к системе критериев следует добавить критерий параметрического типа Ьр/р.
Совокупность числа Са и Ар/р дает новый критерий, называемый числом Архимеда 1з,~р Аг = — з- —, у р (У.ЗЗ) полагая его постоянным в данном интервале температур, в вшю Ьр/р ж,ЮЬТ. характеризуюший отношение 'подъемных снл к силам вязкости. Если разность плотностей жидкости определяется разностью температур ЬТ, то скмпяекс Ьр/р можно представить через коэффициент объемного расширения жидкости 1ОО (Ч.ЗО) Сг = дДТ! /и Т,„, г и м и к с 6 П Гбб Ие $, об' б Рг = Ре /Ие = «/а = (зсе/Л.
(Ч.40) Из формулы (Ч.41) следует, что 13-1006 192 Тогда число Архимеда принимает внд (ЗАНДТ/ 2 и называется числом Грасгофа.,Пля газов, подчиняющихся уравнению состояния идеального газа ро = 1зТ, коэффипнент термического расширения выражается в виде (7 = 1/Т, и чисзо Грасгофа принимает вид где Тга = (Тсг+ Т„)/2. Отношение числа Пекле к числу Рейнольдса носит название числа Прандтля: Как будет показано в гл. Ч1> число Прандтля связано с толшино(( динамического и теплового пограничного слоя соотношением б/бт = 1/Рг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
