Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Перепишем выражение для толщяны потери импульса 6": рссвэ б" = рв, (в, — в ) ду. О По аналогии с толщиной вытеснения можно определить толщину потери импульса 6" как отрежж, через который при те14епин идеальной жндкостк проходило бы секундное количество 1зс движения, равное потере количества движения в сечении погрв; пичного слоя вследствие тормозяшего действия снл трения. При обтекании осесимметричных тел вращения из-за малой толпшны пограничного слоя относительно радиуса кривизны Яв дифференпиальное уравнение движения остается тем же, что и в случае плоского течения. Меняется лишь форма уравнения сплошностн. — (Р .В.)+ — (Р «В.)=0, дх ду где Вв — радиус поперечного сечения тела.
Это приводит к некоторому изменению интегрального уравнения импульсов, которое в случае осесимметричного течения принимает вид 66" 6»» йисе /1 ~р„ — + — — ~ (2+ Я) + ~ — — + — — ~ 6»» = Нх ес» дх 1р их Л Ь / 2 + Рс»»о Р»»в Здесь >>>> 6 = 1 — — 1 ~ — сов>В пу3 О >>>> 6»» = — * 1 — — * 1~ — совР Ыу; О ,д — угол между касательной н меридиану и осью; х, у — оси координат, направленные соответственно вдоль меридионального сечения и по нормали к профилю.
Интегральное уравнение энергии выводится аналогичным образом. 11ля этого дифференпнальное уравнение энергии, записанное в форме (Ч1.10), преобразуем с помошью уравнения неразрывности (Ч1.2) к следующему виду: с«~ — рювТ' — — рю«Т'~ = — Л вЂ” ~Т'+(Рг-1) — *~. (Ч143) «множим обе части уравнения неразрывности на энталъш моження на внешней градине пограничного своя Ь~, = с«Т+»о~>/2 = с«Т;,)> иоторую можно считать в большинстве случаев постоянной величиной: д, д «д (ре>вТ»») + ср — (рн>«Т»») = О. (Ч1.44) Вычтем почленно из уравнения энергии (Ч1.43) соотношение (Ч1.44) и проинтегрируем полученное выражение поперек погрв пичного слоя: с«/ д РОУ*(Т -Т>»>)Иу+с«/ — рм«(Т» Т')>1у о /ду « >>>> Гд( дГ, в«21 1 1 ду ( ду ~ / ~л ~Т + (Рг — 1) в~ ~ Ыу.
(Ч1,43) 2с« о Используя граничные условия прн у = О, п>«ж в>с, Т' ж Тс ст> р = рст и при у = оо н>«ж О, г«в = е»с> Т' = Т»с>преобразуем интегралы полученного выше уравнения: ду, «(Т'-Т')~У=, «(Т'-Я О вЂ” Л вЂ” ' Т+(Рг 1)"* О дТ» ~»» д 2 ~»» =Л вЂ” ~ +Л вЂ” (Р, ду 1о ду 2с ! В последнем интегРале Л вЂ” (Рг — 1) — ~ = О тан как на с д я> -О с« * = О, а на внешнем границе пограничного слоя ю = »о ггв + Р,11 1 (Ь Введем число Стаытопа Яс = д „)ся р ш~сДТ, БФ = уст/ДЛрссш,о, (Ч1.48) 3$0 Вводя понятие толщины потери энергии (эытальпии) р ъ(Т' — Т*) Ь Роошоо (Тсг — Т~ю) Роошао Т т — Т~ перепишем интеграл в следуюшем виде: | рш (Т~, — Т') йу = бт р, ш (Т, — Т, '). е Кех и при выводе иптегральпого уравнения импульсов, считаем, что операции диффереппировапия и интегрирования можно поменять местами.
Подставляя значения интегралов в исходпое ВТ~ ~00 уравнение (Ч1.45) и замечая, что Л вЂ” ~ = 4ст, получаем оу о И бт рцсшссДТ Ф й ср ,де ДТ = Т, — Т* . Продиффереппируем левую часть полученного уравнения, имея в виду, что все величииы, стоящие под знаком дпффереппиала, являются фупкпиями от г: м бт рикше,ДТ = Иг <ц~~ 1 АБДТ 1 Йоос 1 ер с =РоошооДТ~ 1 + т (ДТ <1г ш ~1г рс Нг / которое позволяет преобразовать интегральное уравнение энер- гии пограничного слоя к окопчательпому выду: обт т + Иг 1ИДТ 1й 1ИР 1 р + бт' ~ 1,ДТ Ь,1, р «,~ (Ч1 ) Подставляя число Маха ббсо в правую часть выражения (Ч1А6), получаем 81- т +бм1 + т + 1,1 ~оа) .
(Ч1.47) ш.. й Рсошоо Иногда желательно, например в случае реагируюпшх газов, иметь интегральное уравнение энергии, зелисапное через полную энтальпию торможения Ье. Используя апелогичпые преобразования и интегрируя дифференциальное уравнение энергии (Ч1.30), записанное через полную эптальшпо, по и, получаем (~ ,~~ й — (бу'РсошцоДЬ) = Яст+ РстшстДЬ, где ДЬ = Ь г — Лс, . Здесь интегральная толщина потери эп- тельпык Введем число Й, определяемое соотношением и произведем дифференцирование по х. После преобразований получим Бс= ~ +б~ь'~= — + Нх ЬЬ (Ь вЂ” — (! — М~ )( — '. (!!!.49) Нб~ „/ 1 йо, 1 й5Т 51 = — ~+бт' ~ + + пх ~ воо пх ЬТ пх 1 кроо 1 !(Во + + роо Нх Во ех (Ч1.50) РооЮоо Здесь Р~х 1 ~ 1~ —" соя~3 Иу 0 Интегрируя уравнение диффузии 1-го компонента (Ч1.17) по се- чению пограничного слоя и учитывая уравнение неразрывности, получаем интегральное уравнение диффузии — + — = — (р ю о!С;) — ~" = Вс о, (Ч1.51) Их Р~>щ„Д,С; ех ' Рооп! В случае обтекания осесимметричных тел в интегральное уравнение энергии дополнительно войдет, как и в уравнение импульсов, радиус В,: Интегральные соотношения можно также получить, рассматривал баланс количества движения, энергии и вещества для элементарного объема, выделенного двумя сечениями в пограничном слое, что свидетельствует о справедливости полученных соотношений как для ламинарного, так н для турбулентного течения жидкости в пограничном слое.
В интегральные соотношения для импульсов энергии и вещества входят величины б*, б", бт*, Я', б~,*, представляющие собой некоторые физические масштабы пограничного слоя. Удобство использования указанных величин в качестве масштабов заключается в том, что в отличие от толщины пограничного слоя интегральные толщины не связаны с представлениями пограничного слоя конечной толщины. При этом структура уравнений энергии (И.47), (И.49), вещества (Ч1.51) и импульсов (Ч1.41) показывает, что наиболее существенное значение имеют величины б", б,;;, б~", Я,*. В этой связи удобно записать характерные числа Ве динамического, теплового н диффузионного пограничных слоев в следующем виде [20): оо оо Вет = Роо%хА" ~Р~; В '* Веп=р. ю бо'(Р .
Введем в интегральные соотношения (Ч1.42), (ИА6) и (Ч1.51), составленные для случал обтекания поверхности плоским несжимаемым потоком, вместо толщин потери импульса, энергии и вещества соответствующие числа Ве. После несложных преобразований получим где б~о = l — * (1 — '~ ' ~ еу — толщина потери ве/ Рооюоо ~ С; — С; / 0 щества; ЬС; = С... — С,„— разность массовых долей диффундируемого элемента на стенке н в потоке; 8$ р = диффузионное число Стаптона.
Рх!юоо(С!от Сзоо) пХ ~В ИКе 4Х +; (И 52) ~~ аьт ЬТ И. — В'~ ~5'+ — ~; (Ч1.5З) (Ч1.55) (Ч1.56) (Ч1.57) где Х = х/Ь вЂ” относительное расстояние; Кеу, — число Рейнольдсэ, определенное по характерному размеру Ь обтекаемой поверхности; Су = 2тот/(роошоо) — коэффициент трения. Интегральные уравнения импульсов, энергии к вещества для сжимаемого потока химически реагирующего газа сохраняют вид уравнений (Ч1.52) — (Ч1.54), если положить ФФ ФФ Ке — Р ш у,/Ре „, Ке = роошоо5 /Реоо1 ФФ Ф|Ф ФФ Кеь ФФР о ойь /Ре Кев =Р ш А)/Ро"" узы =5„-Ъ,„. Здесь Реоо — значение динамической вязкости, подсчитанное по параметрам торможения невозмущенного потоиа (см. Рис. Ч1.1).
В частности, из уравнения энергии (Ч1.49) получаем интегральное соотношение энергии для химически реагирующего газа, в точности совпадающее по форме с уравнением (Ч1.53): ~аеь Кеь ЙУФ У Р~к~'1 — + = — = Кей~БГ+ — ). ИХ ДЬ ИХ ~~ Роош о ) Полученные интегральные уравнения могут быть решены, если известны так называемые законы сопротивления, теплообмена н массобмена, которые в общем случае можно представить в таком виде: Су ш /у (Ке, /, Моо, Тог/Тоо,...)' ФФ 1 й~Т Бг=/я(Кет ~,~. ~~ М Т./Т ") ФФ 1 Ф1~С; Б1в = /о (Кеп = — М " ). ' лС,.
ИХ Вид этих функпнй прежде всего зависит от режима течения жидкости в пограничном слое. Как будет показано в Ч1.2, для ламинарпого течения законы трения, теплообмена и массобмепа можно получи'гь для определенных граничных условий аналитическим путем. Лля турбулентного режима течения законы тРения, теплообмена и массобмена получают на основ у эмпирических теорий турбулентности с привлечением эксперкментальных данных. В дальнейшем будет показано, что законы трения, тенлообмена и массобмена консервативны к изменению граничных условий.
Полученные для стандартных условий, т,е. для случая безградиентного обтекания пластины несжимаемым потоком с постоянной температурой н концентрацией вещества на стенке, они могут быть использованы к в более сложных условиях. Все разнообразие граничных условий достаточно полко учитывается при интегрировании уравнений импульсов, энергии к диффузии. Введем в правые части интегральных уравнений (Ч1.52)— (Ч1.54) значения коэффициента трения Су, теплового Бге, и диффузионного БФ оо чисел Стантоца, получейных для стандартных у овнй при одних и тех же числах Ке, построенных по соотсл ФФ ветствующим толщипам: ИЫ вЂ” + /Ке (1+ уу) К уо ( ~+ 5), + — = В 5БзеИЬ+ ~ ).
~Х + ~~,,И =КУБ'Оо(фо+5о). 1 Здесь Ф = (Су/Суо) — относительный закон трения при Ве ш! ет ш Ыет; 5 = — параметр проницаемости степки, отпеРоо шоа Суо сенный к Суо, 'Фэ = (БФ/БФе) ФФ вЂ” относительный закон теплопот обмена при КеТ = Ыет; 5т = Ф'Ф . Ротшст — тепловой параметр РоошоЯО пропяцаемости, отнесенный к Бзо Фо = (й,р/Бтю ) Ке о — отно 0 сительный закон диффузии при Ке з = Ыет; 5о —— РоошооБ~0о диффузионный параметр проницаемости, отнесенный к Бз ро. Ч1.2.
Вынужденная конвенция прн ламинарном режиме течении Л.й.1, Теплообмен и массобмен при обтекании пластины потоком несжимаемой хсиокости Расположим начало ног,- ординат в перелней точке г я пластины (рис, Ч1.2), ось Ох направим вдоль пластины. го Так как пластина очень тонкая и расположена вдоль поРис. Ч1.2. Схема обтекания платока, то можно принять, что ар/ах = О. В этом случае дифференциальные уравнения пограничного слоя (Ч1.2), (Ч1.5), (Ч1 7) и (Ч1.17) (без учета диссзшации энергии и термодиффузни) имеют вид азй =рду ' дю, деЪ ю — +Ф * д, ° ду а доз + — =о; а ду ат и в,— +аи — = да ду дС дС юх — + юз — = дх ду (У1.58) л азт рсз дуз ас В— з Ф Рассмотрим полубесконечную пластину, продольно обтекаемую стационарным потоком несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
