Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 86
Текст из файла (страница 86)
140) ) + „, (13.141) где введена новая независимая переменная 9* бб7 ббб Глава 1а Пограничный слой в непрозрачных средах и использовано соотношение 4х — = ь" — „. д, д дх дь" ' (13.1426) Заметим, что параметр Ьч в задаче о свободной конвекции ана- логичен параметру ~, определенному формулой (13.61а), в за- даче о вынужденной конвекции. Граничные условия (13.127) и (13.128) к уравнению движе- ния преобразуются к виду = — =0 прн т1=0, дг (13.143а) — =0 дг дч при т1 — н оо, а граничные условия (13.129) и (13130) к уравнению энергии к виду (13. 1436) 6=1 6=6„ при т1= 0, при т1 — н оо, (13.
143в) (13.143г)- (13.145) в то время как в уравнение энергии входит независимая пере- менная т), которая равна (13.146) Связь между т и т1 можно получить из (13.145) н (13.146): т = ~'т~. (13. 147) Теперь мы имеем полное математическое описание рассматриваемой задачи о совместном действии свободной конвекции и излучения. Нахождение поля температур в жидкости требует совместного решения уравнений движения, энергии и уравнения переноса излучения Рассмотрим теперь различные методы ре- Преобразованные уравнения движения и энергии (13.140) и (13.141) содержат частные производные по независимой переменной ~', поэтому необходимы дополнительные граничные условия. В качестве таковых выбраны следующие: 6=0, и 1=), прн Г=О, (13.144) где 7о и Оо — решения уравнений движения и энергии для случая отсутствия излучения.
Член, характеризующий поток результирующего излучения и входящий в уравнение энергии, находится из уравнения переноса излучения, записанного через оптическую толщину т, которая равна Т=РУ, щения этих уравнений, используя для решения радиационной части задачи: 1) приближение оптически толстого слоя, 2) точ- ный метод, основанный на разложении по собственным функ- циям Кейса. Безразмерная плотность потока результирующего излучения Я" в приближении оптически толстого слоя равна (см формулу (13 82)1 ()г 4 Оз дб (13.148) Переходя от переменной т к т1 с помощью (13,147), получим 4 здб Я' = — — Оз —. Зь' дт1 ' (13.149) Если подставить это выражение в уравнение энергии, то можно показать, что имеет место полная автомодельность, и уравнения движения и энергии преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные по т1.
В результаге получаем или где 0 = — 0(т1) и ~ = ~(т1). (13.152) 1 = — = 0 и 0 = 1 при т1 = О, (13 153а) й( йч — =0 й) и 0 = 6 прн т1 . (13.1536) йч Совместное решение уравнений (13.150) н (13.151) с граничными условиями (13.153) позволяет получить распределение температуры в пограничном слое. Для решения этих уравнений можно использовать численные методы, например метод Рунге— Кутта. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТОГО СЛОЯ Граничные условия (13.143) преобразуются к виду (13.150) (13.151 а) (13.1516) 669 668 Глава !д Паграниннмй слой в неаравранноох средах ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Для решения радиационной части задачи н нахождения точного выражения для радиационного члена дЯ"/дЧ (илн дЯ")дт), входящего в уравнение энергии, можно использовать метод разложения по собственным функциям.
Будем рассматривать жидкость как поглощающую, излучающую, нзотропно рассеивающую, серую, локально плоскопараллельную, полубесконечную (О < т < по) среду с температурой Т(т,' ь'). Поверхность стенки является диффузно излучающей, зеркально отражающей, непрозрачной и серой. Температура поверхности всюду одинакова и равна Т .
В этом случае уравнение переноса излучения в безразмерном виде записывается следующим образом: ! + ! (, 9', Н) = (1 — т) 0' (т, ~") + —,, ~ ! (т, ~*, „) д,„ д! (т, г", Р) — ! при 0~(т < пп, — ! (()»(1 (и 154) а граничные условия— 7(0, ь', )»)=-е„+(1 — а )7(0, ь*, — )»), )» > О, (13.155а) 1>>п ! (т, 9*, 1») — н 74, (т, ~, 1»), (13. 1556) где 7р(т, ~', )») — частное решение уравнения переноса излучения, а — степень черноты стенки, 9(т, ь') — безразмерная температура, которая определяется выражением (13.138а).
Безразмерная плотность потока результирующего излучения (,4" связана с безразмерной интенсивностью излучения соо>ношением ! (Г'(т, 9") =- 9 ~ 7(т, ~*, )»))»4»)». (13,156) — ! Следовательно, если известна интенсивность излучения 7(т, ~", ), )») то можно вычислить радиационный член, входящий в уравнение энергии (13.141) . Общее решение уравнения переноса излучения (13.154) можно записать в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения 7р(т, ь', )») ! ! (т, ь', )») ~ А (тоо ь ) ор (тв )») е-™' ° -[- ! + ~ А(т, ь")св(т, )»)е-хт»(т+7р(т, ь', )»).
(13.157) о (13.158) где функция В (т, ь*) задается внутри теплового пограничного слоя (т,е. при 0 < т < то или 0 < Ч < Чо), а за его пределами обращается в нуль (т. е. прн т ) то). Функцию 5(т, 9") внутри пограничного слоя представим в виде конечного ряда вида м и В (т, 9*) = ~~ В (9") соз — при 0~<т (т„(13.159) 'со и 0 м В К ) соз — Ч при 0 (~ т1 (~ т)о (13.160) Чо и-о и предположим, что коэффициенты В (ь') можно определить, если известна функция В(т, ь"). Тогда свободный член (1 — в>)04(т, 94) можно представить следующим образом; р м П вЂ” !О [, с!=!~ — )[О»4-ГВ„!с! ° —,"'~.
!~О ИП и-о Частное решение 7р(т, ~*, )») уравнения переноса излучения (13.!55) со свободным членом в виде (13.161) легко получить, воспользовавшись табл. 10.6. Оно имеет вид м ! (т ь" )») = 0' +(1 — и>) ~~ В (ь') Уч и о й Чо(тп П1*чо(аон) соо (тнЧ(Чо) + Р Мп (тнп7чо)1 (13 16~) 11 — (о>~*по( н) Агс»и( ~(Е*чо)! !(~'Чо(тп)'+ Р'1' то решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так ак в решение однородного уравнения не вошел член, который асходится на бесконечности. Здесь св(рв, р) — дискретная собтвенная функция н сс(р, И) — непрерывная собс>венная функция, пределенные в гл. 10 [см.
(10.8) и (10.!6)], а два дискретных собственных значения уо являются корнямн днсперснонного со- ! отношения (10.9). Два кеэффициента разложения А(то, ~*) и А(т, ь') находятся из условия, чгобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим исполь- ! зованием свойства ортогопальностн собственных функций н различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и 11 илн в работе [43].
Однако решение (13.157) содержит частное решение, которое не может быть найдено до тех пор, пока не известен член 9'(т, ~о), входящий в уравнение переноса излучения. Предполо>ким теперь, что известно некоторое начальное приближение для распределения температуры 0(т ьо) и что функцию 04(т ь*) можно представить в виде Е4(т, Е")=94 +В(т, ~"), 570 571 Глава гд Пограничный слой в неираврачньи средал Если для принятого распределения температуры частное решение известно, то можно найти соответствующие коэффициенты разложения А(то, ~*) и А(т, ~*), и тогда безразмерная интенсивность излучения 1*(т, Ь', 16) находится по формуле (13.157), а для безразмерной плотности погока результирующего излучения (е" (т, ь*) с помощью (13.156) можно получить выражение ! О'), !) — — !) — )[,А! и !') -' -)- ( А), !) -'"А -)- о ! -6, '.
(),),, Г,,'),'69]. !)З.)6З) — ! Переходя от независимой переменной т к т(, преобразуем выражение (13.163) к виду ! а')0,!')= — !) — )[,А! „!') -6ч -)-( А),!') 6' 'А -)- о ! -6, '. (7,)0, С. ')9'69] !)З)66) -! Дифференцируя (13 164) по т(, получаем дО'(ч ь) 1 дч 2 — — ь" (1 — оз) А(то, ~") е-С'"' + ! ! -~-(А), !) ' "А ., „) (6,7,)АС9)666]. !)3 )66) о — ! где !р(т(, ~', И) определяется с помощью (13.162), Формула (13.165) представляет собой искомое выражение для радиационного члена, входящего в уравнение энергии (13.141). В окончательном виде уравнения движения и энергии (13.140) и (13.141) запишутся следующим образом; д1 д31 дь' дпз ) ' (13.166) 2 (1 оз) )у Рг [А(то ь")е-С"в' + ] А(т, ~")е-6 "!96(т— о ! 1 !')7 — ) ( д„)0' 6, 9)9 69] !)3.)67) — ! уравнения (13 166) и (13167) с граничными условиями (13.143) и (13.144) можно решить численно итерационным методом и тем самым найти распределение температуры в жидкости.
В технических приложениях представляет интерес плотность полного теплового потока на стенке а„. Если известно распределение температуры, то безразмерная плотность полного теплового потока на стенке описывается выражением зч дв + ] 13 68) где для безразмерной плотности потока результирующего излучения (е'[„о можно записать [см. (13,164)) ! а )„= =-!) — )[ А! „!)-)-( А), 6)6 о ! () )0 6 6)6 66] !)3)69) -! В т о ни теплообмена обычно используется локальное число е р Пуссельта н (13.170) где й — локальиын коэффициент теплоотдачи. После подстаповки д нз (13.168) в (13.170) локальное число Нуссельта для совместного теплообмена свободной коивекцией и излучением запишется как ~(4) 1 — в ~ дв+ А ~1 (13,17 1) Для очень малых значений ~*/А) радиационным членом (13.171) можно пренебречь, тогда получим выражение, совпадающее с выражением для локального числа Нуссельта при свободной конвекции в неизлучающей жидкости, полученным в рабо е [ МЕТОД РЕШЕНИЯ И ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ! ! В работе [26[ было осуществлено преобразование дифференциальных уравнений в частных производных (13.166) и (13.167) в обыкновенные дифференциальные уравнения с производными по т( с помощью метода конечных разностей относительно переменной ь*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
