Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В результате получаем дггг (т, $) 4 1 =[Е (т, Р— 11+ —,. [1 — Е.(5)1. (1З.ПЗ) Подстановка (13.113) в уравнение (13.92) дает уравнение энергии для оптически тоикого пограничного слоя: 1 де 1 де ,!г/ г Р, д„+ ~/ д„+ Е- ( й„) = =Ь[д —, +[О' — 1)+-,.
[1 — е'.)~. ((з.(14) Граничные условия к уравнению (13.114) имеют следующий вид; а),йта стенке прн Ч = 0 плотность результирующего теплового потока тт„постоянна; б) температура на границе пограничного слоя (Ч вЂ” со) равна температуре радиационного слоя при т = 0; в) для 9 = 0 температура равна температуре Оо(Ч), получаемой из решения уравнения энергии без учета излучения. Аналитически эти граничные условия записываются в виде 4огдГ~ тг 5 Рг дя ,т / (ч' ) + !ч'(Ч, 1) пРи т! = О, 1) О, (13.115) О(т1, я)= 1+ — е (Оо — 1) я при Ч 1 е (ч, ~) = е,(ч) при $= 0.
(13.116) (13.117) Граничное условие (13 116) получено из (13.112) при подстановке в него т = О. Член Я" (Ч, 1) !о=о, характеризующий радиационный тепловой поток и фигурирующий в выражении (13.115), можно получить из (13.1055), упростив это выражение и воспользовавшись приблнжеиным соотношением, справедливым при 9 « 1. В результате получаем ий 1ч (Ч Ы ч-о 4 ([Оег(я) — 1з — 2 х/Ргй/я ~ [О (Ч, я) 11йЧ— о — 4е (Оо„— 1) ~ ~ Ег(т)йт~. (13.118) о Глава !8 360 г,о —,' Ос+110;+Е 1н =О, (13.121) (13.122) т Рг 2 2 — 'ОГ+ — 'РО; — — ') О, =О, 1,5 1,О Система 113.114) — 113.118) полностью описывает задачу для оптически тонкого пограничного слоя.
Решение уравнения энергии 113.114) с граничными условиями (13.115) — 113.117) позволяет найти распределение температуры в пограничном слое. Член Яг141, й), который характеризует радиационный тепловой поток и входит в граничное условие, определяется выражением (13 118). Решение уравнения 113.114) для малых й находилось методом разложения в ряд. Безразмерная температура 01Ч, 'й) разлагалась в ряд по степеням йчг; 01Ч, Е)=0,11)+Р0,1,)+~0,®+~нО,(Ч)+, (13НГО) а 041ть й) аппроксимировалась выражением О'1„, Р=Оа19)+4031,)0, 1„)~" + +[4031„)0,01)+00,'<„)О',<„)1~.
<13.120) В этих разложениях функции Оо141), 01141), 021т1), ... подлежат определению. Заметим, что разложение 113.119) удовлетворяет граничному условию 113.117) После подстановки 113.119) и (13.120) в уравнение энергии (13.114) и приведения подобных членов получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Ос141), Ог 141), 02141), .... Выпишем первые три уравнения этой системы: †,' Он + †,,' )О,' — )'О, = (О, '— 1) + †'; () — 0,'.), 113.123) где штрих обозначает дифференцирование по 41.
Граничные условия для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаются в результате подстановки разложения 113 119) в граничные условия 113.115) и 113.116) и приведения подобных по й членов. Заметим, что уравнение 113.121) относительно функции Оо141) соответствует случаю отсутствия излучения. Решение этой системы дифференциальных уравнений легко получить численным методом типа метода Рунге — Кутта.
Погранпчный слой в нгпрозракных срвдак ОБСУЖ7ТЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Сформулированная выше задача о совместном действии конвекцни и излучения была решена численно в работе [38) для течения поглощающего и излучающего газа как в точной постановке, так и с использованием приближений оптически тонкого и толстого слоев. Позднее была решена аналогичная задача для поглощающего, излучающего и изотропно рассеивающего газа в точной постановке с использованием метода разложения по собственным функциям Кейса 142).
На фиг. 13.7 приведены профили температуры в пограничном слое для случая адиабатической стенки при нескольких значениях параметра й и при Рг = 1, Е = 2,0, е = 1, йг = 0,5. Профиль темперазуры для й = 0 соответствует случаю неизлучающего газа. Заметим, что при отсутствии излучения температура в пограничном слое максимальна. Излучение приводит к уменьшению максимума температуры в пограничном слое, обусловленного вязкой диссипацией энергии. По мере возрастания параметра й максимум температуры уменьшается и профиль становится более пологим. При значениях этого параметра порядка 10-4 или меньше пограничный слой в рассматриваемой задаче можно считать оптически зонким.
В этом диапазоне значений й решение, полученное в приближении оптически тонкого слоя, достаточно хорошо согласуется с точным, Однако необходимо проявлять осторожность при использовании приближения опгически тонкого слоя в за- О 1 2 3 4 5 В 7 а Фпг.
13.7. Влияние нзлучення на профиль температуры в пограничном слое прн обтекании аднабагнчсской пластнпы поглощающей н излучающей жидкостью 138). — гсчяос рсшспясà — — — пряблажсняс спгкчсскк тонкого слоя; — — ° — прнбннженяс спгкчсскя голсгсго слоя. Глава 18 882 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (13.125) Фиг. 18.8. Влияние рассеяния на профиль температуры а пограничном слое на адиабатической пластине [42]. дачах конвективно-радиационного теплообмена в случае сжимаемого пограничного слоя. В работе [12] было исследовано течение излучающего сжимаемого газа на плоской пластине и показано, что приближение оптически топкого слоя может давать совершенно неправильные результаты.
Из фиг. 13.7 видно, что точное решение приближается к решению, полученному в приближении опжшсски толстого слоя, для значений 8 порядка единицы или больше. С увеличением $ профиль температуры в пограничном слое становится более пологич, а градиент температуры по т[ па стенке становится положительным. Его величина определяется соотношением между конвективным тепловым потоком к стенке и радиационным тепловым потоком от стенки. Для иллгострации влияния рассеяния на фиг.
13.8 приведено точное решение той же задачи, но для поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей среды, а также соответствугощие результаты без учета рассеяния. Кривая в = 0 соответствуег случаю отсутствия излучения. Рассеяние ослабляет влияние излучения; следовательно, профили температуры с учетом рассеяния ближе к профилям, полученным для неизлучаюц4ей среды. Пограничный слой в ненраэрачных средах 13.6.
ЛАМИНАРНАЯ СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ Влияние излучения на теплообчен при ламинарной свободной копвекции на вертикальной пластине для поглоща1ощей и излучающей жидкости в приближении оптически толстого слоя было исследовано в работе [24] с помощью метода единичного возмущения. В [25] рассмотрена аналогичная задача для случаев как оптически тонкого, так и оптически толстого слоя. Для решения уравнения энергии использовался приближенный интегральный метод.
Авторы работы [26] рассмотрели задачу сложного тепло- обмена для поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей жидкости. Радиационная час~ь задачи решалась ими точно с помощью метода разложения по собственным функциям. В этом разделе будет дана формулировка задачи о свободной конвекции на вертикальной пластине при паличчи излучения, описаны методы решения и обсуждены некоторые результаты. Рассмотрим нагретую вертикальную пластину, имеющую всюду одинаковую температуру Т„и находящуюся в поглощающей, излучающей, изотропно рассеивающей, несжимаемой, серой, бесконечно протяженной среде, температура которой Т .
На фиг. 13.9 изображена схема течения и система координат для случая 7и ) Т (т. е. нагретой пластины). Уравнения неразрывности, движения и энергии для двумерной стационарной задачи о ламипарной свободной конвекции при наличии излучения имеют вид ди дп — „+ — =О, дк ду ди ди д'и и — + в — = и —, + гг)ь (Т вЂ” Т ), дх ду ду' дх ду рср ду" рсн ду Здесь Х вЂ” коэффициент термического расширения, д — ускоре- ние силы тяжести, г]" — плотность потока результирующего из- лучения в направлении у. Член йХ(Т вЂ” Т ) в уравнении движе- ния учитывает наличие подъемной силы. Отметим, что эти урав- нения совпадают с уравнениями, описывагощими ламинарную свободную конвекцию на вертикальной пластине, за исключе- нием добавочного члена в уравнении энергии, характеризующего радиационный тепловои поток, 565 554 Глава гд Ускорение силы ил~чесма е (13.138) у или-Чалит о а к уравнению эиергии— где введены следующие безо Т е= —, Т lгр пз- з 4п оТ азмериые величины: Т е„= — ", Т !Г Я'= 4п дТ~„ (13.138а) (13.1386) выполняется тождественно, реобразуются к виду / з + 9Л(7 — 7 ), (13.132) д'Т 1 дуг дуг рс ду ' — (13 133) дкР дткР дкР дгкР ду дх ду дх ду' дкР д Т дкР д Т вЂ” — — — — =а ду дх дх ду д е де .
Г д( де Рг дп' дт! 1 дп (13.142а) Фиг. !3.9, Система координат в задаче о совместном действии ламинарной свободной конвекцни и излучения на вертякальной нагретой пластине (Ты > Т ). Граничные условия к уравнениям неразрывности и движения имеют вид и=о=О при 9=0, (13.127) и=О при р — к со, (13.128) 7 =Т при 9=0, (13.129) 7 =Т при р-ы со, ( И.130) Плотность радиационного теплового потока г)г, входящая в уравнение энергии, находится из решения уравнения переноса излучения, как это будет описано ниже. Сосредоточим теперь наше внимание на преобразовании приведенных выше дифференциальных уравнений в частных производных с помощью стандартных методов, используемых при решении подобных задач без учета излучения. Функция тока т(г(х, р) определяется таким образом, что и = д ' и в = — д„' У .
(13.131) дкр (х, у) Тогда уравнение неразрывности а уравнения движения и энергии и где а — коэффициент температуропроводности жидкости, Пограничный слой в непрозрачных средах Введем новые независимую т) =— т)(х, р) а зависимую Цх, р) переменные: т)=( Уз) (Т вЂ” Т )' — ",, =( — ) У, (13.134а) 1(х, т)) — = — ( 4 ) тр (х, р), (И,1346) где Сзг — локальное число Грасгофа, определяемое обычным образом, т. е.
йЛ(Ты Т ) хз бг=— г ч С использованием этих новых переменных уравнения (13.132) и (13.133) преобразуются соответственно к виду 'з! дые сте 4 Г д( де д! де'т+ 1)х ! 4 )т д Рг дп' + ( дя (, дп дх дх дя / У Рг Л Ог ) дп (13.137) аТ >7 Выражения (И.131) для составляющих скорости примут вид = — "(~') а — '~, ( И.139а) в = — т ( — ) ~ — — — + 4 — + 3 — ) . (13.1396) ' сг крк/ ч д) д) 4 ) Л х дч дх х)' Уравнения (13.138) и (13.137) можно записать в ином виде; (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
