Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Придавая 1' соответствующие конкретные значе- Пограничный слой в непрозрачных средах ния, нз настоящего аначиза легко получить различные рассмо трен нные в литературе частные случаи. Например, для обтекания клина, полагая 1 = т + 1, получим преобразование, использованное в работе [6], а полагая )' = 2, получим преобразование, использованное в [2]. В случае обтекания плоской пластины (т.е. прн т = 0), полагая 1 = 1, получим преобразование, которое применено в [38].
Используя (13.50) и (13.51) и зависимость (13.48) для скоости внешнего потока, уравнения движения и энергии (13.46) рост и (13.47) можно записать в виде ! з — — — ('1 1'1=0 (13 52) Рг дп (,йоро дп/ 2 дп д) дй Г 1 У 4, дю)1 1+т дп дх ( !+т/ Вох х дч Входящпе в эти уравнения безразмерные критерии перечисляются ниже: Во, =,, — число Больцмана (радиационно- (13.54а) подгю конвективный параметр); — безразмерная плотность потока (13,54д) результирующего излучения в направлении у; Здесь пю — показатель преломления, а индекс 0 относится к условиям при определяющей температуре То.
Для идеального газа отношение плотностей р/ро связано с температурой следующим образом: 541 540 Глава Гд Соотношение между» и т) получается из (13.576) и (13.59) и может быть записано в нескольких различных видах: СВЯЗЬ МЕЖДУ Ч Н т 2н ~ Т (т, х, р) р йр ()г -г (!3.6!а) (!3.6!6)' (13.56) 4н,'-,дТг ен,дТ Безразмерный комплекс 4 Кеч /Во„, появляющийся в уравнении энергии (!3.53), можно выразить через параметры ь илн $: 4 Реъ Вох ттг Рг \, ттг Рг/ т = ~ )3(х, у') с(у', о (13.57а) ТЕПЛОВОИ ПОТОК К СТЕНКЕ В большинстве практических приложений необходимо знать плотность результирующего теплового потока к стенке. Для непроницаемой стенки плотность результирующего теплового потока г)„является суммой плотностей кондуктивного и радиационного потоков: г)ы=(г) +г)!в=о=[ — й —,, +г)'~, (!362) где й — коэффициент теплопроводности жидкости.
Результирующий тепловой поток направлен в положительном направлении осн у, если г) положительно, Уравнение (13.62) можно записать через безразмерные величины следующим образом: В(х, у) р(х, у) (!3.58) 60 (1-1- М Ггр Во дВ + Е'~ = (1З.6За) Ля=о (13. 636) Чы (сгв 4 од! 4 / ) ггоРо 4 Ре'~' Рг дт! + пг Хч тгр гч гтэ ! ()г1 р (х, у') Ро о (13.59) (13.6 3 в) Составляющие скорости находятся по формулам 'т и = и (х) (с()г'с(т)), (13.55а) о — — — 'Т,~(чо(1 + т) — и (х) (1 + ™ 11 т) — ). (13.556) В приведенной выше математической постановке задачи в уравнение энергии (!3.53) входит безразмерная плотность радиационного теплового потока Интенсивность излучения 7(», х, 1т) находится из решения урав- нения переноса излучения, которое обычно записывается через оптическую толщину»: где )!(х, у) — объемный коэффициент ослабления, А уравнение энергии (! 3.53) записывается через переменную т): ( „, ) (, г '.
(1З.гге) о Поэтому необходимо найти связь между т) н». Для получения этой связи примем, что массовый коэффициент ослабления 6 постоянен. Тогда, используя связь между массовым и объемным коэффициентами ослабления, будем иметь '! Подстановка )!(х, у) из (13.58) в (!3.57а) дает Пограначный слой в непроврачных средах ( чх т'я»1= Рых (1+ и) н (х) ) =( 1 ) Ке,пбохт)= = ( 1 Эйг Рг) т). Здесь введены новые параметры ~ и $: ь = Во» Ке„', йподго()ох 2 '- т гч Рг рос,а (х) (13,60а) (!3.606) (!3.60в) (13,60г) 542 Глава 1З 542 где 1 т) мрг дч 1+ т Мрг дс или Р й Т вЂ” = — = — -е, Ро Ьс (13.64а) (13.676) согласно (13.616), (13.67в) ро Т вЂ” = — =е. р Т, (13.646) согласно (!3.60в), 4йев ела н $=— Фрг ' (13.67г) Вох й Рг $ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ И ТЕПЛОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ При формулировке рассмотренных выше задач о течении в пограничном слое необходимо различать пограничные слои двух видов: гидродинамический и тепловой.
Преобразование подобия для гидродинамического пограничного слоя определяется только законом изменения скорости внешнего потока и (х). Выбор закона распределения скорости внешнего потока вида (13.48) для рассмотренного частного случая позволили получить уравнение движения (13.52) относительно функции !'(Ч), зависящей только от одной независимой переменной Ч. Однако тепловой пограничный слой при наличии излучения в общем случае не является автомодельным, а именно: в уравнении энергии (13.53) безразмерная телтпература О(Ч, х) зависит от двух независимых перелгенных Ч и х Ниже в этой главе мы увидим, что только для оптически толстого слоя существует полностью автомодельное преобразование для теплового пограничного слоя и температура становится функцией только от т!.
ПРЕОБРАЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ Й И А ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ Преобразованные уравнения движения н энергии (!3.52) и (!3.53) содержат коэффициенты теплопроводности и вязкости, которые зависят от температуры. Зависимость этих свойств от температуры должна быть известной для рассматриваемой ад чн. Если считать, что р и и зависят от температуры линейно 41: а Е з- то уравнения движения и энергии существенно упрощаются, так как для идеального газа Комбинируя (13.64а) и (13 646), получаем )лр = )лоро и йр = йор ° (13.64в) С учетом (13 64в) уравнение движения (13 52) приводится к виду — „, + 2 1 — „, + -,+т [ Р— (-У-) ] = О. (13.65) Погрананнотй слой в неарозранных средах уравнение энергии (13 53) также упрощается и может быть записано в одной из следующих форм: атв 1 ае 1 д) дЕ Г ) Л Ь 4 , а!2г — — + — ! — = — х — + ( ) — ггеч — + рг дч' 2 дч 1+ т йч дх (, 1+ т) Во„х дч или + 1 ' — 1 — +и+ д'Е ! ОЕ ! (1 — т) рг ат!' 2 дт! 2 (1 + тн) дч ал + ) Р-(Ц.Е (г)Ж Е (Е)(Я', (13.666) — — +-'~ — = д Е аЕ 1(! — т) й! дЕ ! а!7' — 1 — + — $ — + рг дп' 2 дч 1+т дп дв 1Ч-т дт Ет Р" (') Е (~) — ! — Е„($)(-„— (;) .
(13.66в) При выводе этих уравнений использовались следу!ощне соотношения; х — = — е —, де 1 — т де дх 2 дь' (13.67а) согласно (13.61а), де ае х — = (1 — лт) ь —, дх дв ' согласно (!3.61в). Последний член в правой частя любого нз приведенных выше уравнений энергии характеризует вязкуто диссипацию, а пред- шествующий ему член представляег собой работу сжатия, Глава !8 б4б б44 (! 3.72а) (13.72б) (13.72в) (13.69а) (13. 69б) (13.69в) где (13.73а) (13.73б) (13.73в) Суу г и (х) = Схт. и =С=сопя), (! 3.70) (! 3.71 а) где — дОг .
Ч' двгг и=в 41 УУ Рг дп Аг Рг дт гУз1В з, гвв Выражения (13.63) для плотности результирующего теплового потока к стенке также упрощаются: Переменные т) и ч]г при этом остаются неизменными [см (13.50) и (!3.51)]: (1 + т) а (х) Х Ъ (' р (х, у') =( . )) о ф (х, У) = У(П) ( ', "т ' ] Если в качестве определяющей температуры То выбрать температуру торможения внешнего потока и рассматривать идеальный газ, то отношение плотностей р„(х)ур(х, у) и число Эккерта Е (х), фигурирующие в приведенных выше уравнениях, могут быть выражены через число Маха М (х) для внешнего потока с помощью соотношений, приведенных в монографпи (41] оЬ Рассмотрим теперь уравнения для течения на плоской пластине и в окрестности критической точки, которые получаются как частные случаи приведенных выше уравнений а) Течение иа плоской пластине.
В случае течения на плоской пластине т = О, тогда уравнение движения (13.65) и уравнение энергии (!3.66) упрощаются и прднимают вид соответ- ственно . йУ ов г —. 4, двгг , + — у — =у' — х — + чуу — Еем —— Рг дпг 2 дч йп дх Во„х дп — Е„(х) ( — У, ], Пограничный слой в непрозрачных средах или 1 дге У де .
41 де . д0' /йгУХо р де+2]д =Уд ьдг+Уь д — Е ( — г]. (13.71в) Отметим, что в случае течения на плоской пластине уравнения движеяия и энергии являюгся независимыми, а в уравнении энергии отсутствует член, соочветствующий работе сжатия. Формулы (1368) для плотности результирующего теплового потока к стенке упрощаются и принимают вид Переменные т) и ч]г принимают вид =( —,:-.,)'1 ';."' о СР (х, У) = У (т1) АУУтыхи„, б) Течеиие в окрестности критической точки.
Для течения в окрестности критической точки уравнения (13.65) — (13.69) упрощаются, если положить в этих уравнениях т = 1. УРАВНЕНИЯ В АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОИ )КИДКОСТИ Плотность несжимаемой жидкости постоянна. Если, кроме того, принять, что коэффициенты вязкости и теплопроводнузсти не зависят от температуры, то уравнения движения и энергии (13.65) и (!3.66) упрощаются и принимают вид й г + 2 У й г + 1 [1 — ( — у ~ = О, (!3,74) д Е У дЕ У й( дЕ 2 + у — х — + Рг дч' 2 дп 1+т йп дх г г 2 или де у дЕ у(1 — ) ду дЕ СйгуХ Рг дг + 2 У д 2(1+т) дч Ь д~ + Н вЂ” Е ( й г У, (13 75б) Глава 13 646 Пограничный слой в неаровранньгх средах 647 где и= ' )ч' 1+т / >У Рг дп 1+т >У Рг дс — = ( )"' или 1 д>0 1 дв >11 — т) й(, дв > дЦ' !' с>Ч ~2 Рг дп' + 2 ~ дп 1!+т) ап дй 1+т дх |,йпг) (13.75в) Отмвтим, что уравнения движения и энергии явля>огся независимымн и работа сжа сия в уравнении энергии отсутствует.
На практике прн течении несжимаемой жидкости скорости потока достаточно малы, так ччо можно принять Е « 1, поэгому в уравнении энергии можно пренебречь и членом, описывающим вязкую диссипаци>о энергии Формулы (1368) для плотности результирующего теплового потока к стенке остаются без изменений, однако выражения (1Э.69) для ч! и >р(х, у) упрощаются; 11 + т) и,„(х) 1ч 1'' ф(' ) =~(Ч) Г'1'+."1й (1Э.76а) (1Э.766) (И,76в) где и (х)=Сх .
13.4. ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТЪ|Й НЕСЖИМАЕМЪ|Й ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЪ|Й СЛОЙ НА КЛИНЕ Ряд авторов (2 — 6] испольэовали приближение оптически толстого слоя для исследования влияния излучения нч теплообмен в пограничном слое. Хотя применимость приближения оп>нчески толстого слоя для случая течения в пограничном слое весьма ограниченна, его преимуществом является простота анализа, поскольку в этом случае уравнение энергии можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение с помощью общепринятого преобразования подобия. В этом разделе будет дана математическая формулировка задачи о взаимодействии конвекцнн н излучения для стационарного ламннарного пограничного слоя на клине, при этом для радиационной части задачи буде> использовано приблйженне оптически толстого слоя, а также будут обсуждены метод решения и полученные результаты Для простоты рассмочрим течение серой несжимаемой жидкости с постоянными свойствами около черной нснроницаемой стенки, которая поддерживаечся при постоянной температуре 7„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
