Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Эти условия означают, что составляющие скорости равны нулю на стенке и и = и за пределами пограничного слоя. К уравнению энергии (13,92) взяты следующие граничные условия: а) к стенке подводится постоянный тепловой поток с плотностью г1„; б) за пределами теплового пограничного слоя температура равна температуре внешнего потока 7; в) при ~ = 0 решение уравнения энергии совпадает с решением Оь(т!) задачи для не- излучающего газа.
Запишем эти условия в аиалигическом виде ,„,'.; . =[ — ~/ —,;, ф+(]'~,, 0=1 при т! — ьоо, Е=Е,(ц) при 5=0, (1Э.95) (!Э.96 а) (1 Э. 966) причем условие (1Э.95) следует из (13,72в), если принять в пем параметр ! равным 1. Уравнения (!Э.92) и (13.95) содержат члвиы, обусловленные иалучеиием и Я' дт ч=в которые должны быть получены из решения уравнения переноса излучения. Ниже мы рассмотрим радиационную часть задачи: а) в точной постановке и 6) в приближении оптически тонкого слоя; затем сравним распределения температуры в пограничном слое, полученные этими методами, а также в приближении оптически толстого слоя а) Точиая постаиовка.
лКидкостть обтекающая плоскую пластину, рассматривается как полубесконечный (О ( т < оо) локально плоскопараллельиый слой поглощающей и излучающей серой среды с температурой 7 (т, $). Граница т = 0 (т. е. т! = 0) представляет собой диффузио излучающую, диффузно отражающую, непрозрачную серую поверхность с температурои 7 (~).
Радиационная часть задачи описывается уравнением переноса излучения, которое для рассматриваемого случая имеет внд 1ь]Т(т, в)1 при О~т < оо, — 1-:;!4 ~1. (13.97а) На поверхности пластины а при т- со интенсивность излучения остается конечной, Здесь е — степень черноты стенки, Т(т, $) — температура газа, Т„Я) — температура стенки, а (1 — е ) — отражательная способность стенки, поскольку считается, что выполняется закон Кирхгофа. Отметим, что интенсивность 1(т, з, !4) зависит от 5, поскольку от ~ зависит температура 7 (т, ~); следовательно, $ входит в эти уравнения просто как параметр.
После того как уравнение (13.97) решено и найдена интенсивность излучения /(т, ~,!4), плотность потока результирующего излучения г1'(т, ~) находится из выражения г1'(т, ~) = 2гт ~ 1(т, Ц, !4) !4 с(1т; -1 (13.98) теперь легко получить выражение для радиационного члена в уравнении энергии. В гл. 8 уже было получено формальное решение уравнения переноса излучения и приведены выражения для члена, характеризующего радиационный тепловой поток. Поэтому мы не будем снова повторять эти выкладки, а воспользуемся выражениями (8.95) и (884), чтобы получить формальные выражения для дг!"(дт и г1", полагая ть — ь со, 1, (ть) = 0 и опуская зависимость от частоты. Получаем дч'(т, 5) = 4л1ь ]Т (т, ~)] — 2яЕ, ( с) 1 (0)— + — 2 л ~ 1ь ]Т (т', ~)] Е~ ( ] т — т' ] ) с(т', (13.
99) о г1' (О, ~) = л1~ (0) — 2гт ~ 1ь ]Т (т', К)] Е, (т') с(т'. (13.100) о В эти формулы входит интенсивность излучения на границе 1э(О), Выражение для 1+(0) получается из (8.110а), полагая, что то — оо, 1-(тс) = О, р = 1 — е„, и опуская зависимость от частоты: 1" (0) = — е„(ь]Т Я)]+ 2(1 — е ) ~ 1ь(7 (т', $)]Ее(т) г(т'.
(13.101) о 1(0, $)=е 1ь]ТыЯ)]+2(1 — е„) ~ 1(0, $, — 14')с(!4', !4') О, (13.976) о Глава Гд Подстановка выражения (13.101) в (13.99) и (13.100) дает д '(т о) (т' о) = 4пгоТ' (т, ~) — 2е Е (т) пго74 (в)— — 4(1 — еы) Е,(т) ~ и'дТ'(т', в)Ео(т')йт'— о — 2 ~ п'о7'(т', К)Е)((т — т'()йт', (13.102) о (1г(0, й) = е пооТ4 Д) — 2е ~ ПооТ4(т', В)Е (т')йт', (13.103) о Принимая показатель преломления постоянным, можно записать эти уравнения в безразмерном виде '~'= — 'Г',~" ~~1=0'(т, Ц вЂ” — 'е.Е,(т)0'.а— дт дт ( 4пгдТ ~ 2 — (1 — е ) Е (т) ~ 04 (т', к) Ео (т') й т'— о — — ~ 04(т', ~)Е,((т — т'()йт', (13,104) о о (,,-~('о = — "(е'.(г)-ч ( е(г, г)г(")г"1 ((г(оч) 4подТ' 4 или о (,.= — ';(гог(г)- )- (Го (г о- гг(") о (13.1056) Эти выражения для радиационного теплового погока записаны через оптическую толщину т, а уравнение энергии (13.92) и граничные условия (13.95) через т(. Связь между т и т( можно получить из (13.60г), полагая в этом соотношении 1 = 1 и т = О( т= т( уг~йг Рг.
(13.106) После подстановки (13,104) и (13.105) в уравнение энергии (13 92) и граничное условие (13.95) математическую формули- Пограничный слой в непроврачных средах ровку рассматриваемой задачи можно считать полной. Теперь можно приступить к обсуждению метода решения полученной системы уравнений. Уравнение движения (13,91) является независимым, следовательно, оно может быть решено совместно с граничными условиями (13.94) численно, например методом Р~нге-Кутта, после чего будут определены функции 1(т(), йггйч и й)гйцг, входящие в уравнение энергии.
Уравнение энергии (13.92) представляет собой нелинейное иитегродиффереициальиое уравнение в частных производных, потому что член, учитывающий г)ереиос энергии излучением, содержит температуру в че)вертой степени под знаком интеграла; поэтому его решение получается ие так просто, как решение уравнения движения. В работе (38] использован метод конечных разностей и получено численное решение этого уравнения; при этом в качестве независимой переменной выступала т(, а продольная координата К, рассматривалась как параметр. Шаг по т( выбирался равным 0,4, Вычисления велись до значения т( = 20, что достаточно, чтобы профиль температуры вышел иа асимптоту. Размер шага в направлении к выбирался постоянным в логарифмической шкале. Численные расчеты были проведены как для постоянной плотности подводимого к стенке теплового потока, так и для адиабатической стенки (т.
е. случая, когда подвод тепла от газа к стенке компенсируется отводом тепла вследствие излучения стенки; следовательно, результирующий тепловой поток иа стенке равен нулю). 6) Приближение оптически тонкого слоя. Если ~ << !и (4)по. рядка единицы или меньше, тепловой пограничный слой является оптически тонким и задача упрощается, так как гемпературное поле 0(т(, в) можно разделить иа две области: 1) о)ггически тонкий тепловой пограничный слой, внутри которого применимо приближение оптически тонкого слоя и градиенты температуры велики и 2) внешний радиационный слой, оптическая толщина которого велика, а градиенты температуры малы. Этот подход аналогичен разделениго гидродинамического пограничного слоя иа очень тонкий пограничный слой, в котором градиенты скорости велики, и внешнее потенциальное течение, в котором градиенты скорости пренебрежимо малы.
Приведем теперь основные уравнения, которые применимы в этих двух областях, а затем обсудим вопрос о стыковке решений иа границе теплового пограничного слоя и опишем метод решения этих уравнений, Радиан,ионныи слой, В этой области уравнение энергии (13.92) можно упростить, пренебрегая градиентами температуры в направлении т( и учитывая, что — =1 и —,=О. й) й(1 йг(,~~2 559 Пограничный слой в ненроэрачных средах Глава 18 558 Получаем (13.107) где О„означает температуру в радиациоином слое. Подстановка дЯ"/дт из выражения (13.104) в уравнение (13.107) дает уравнение энергии для радиационного слоя в виде "",, " = — Е, '(., ц+ —,' е.Е,(.) Е'. К)+ + [1 — е„) Е, (т) ~ О,' (т', Ц Е, (т') йт' + о + — ~ О (т', ~) Е ( ~ — т'1) йт' (13,108) о Граничное условие остается без изменений: Е,(т, 5) =1 при 5= — О.
Решение уравнения (13.110) имеет вид 9) 1+ 1 Е ( )(64 1)9 (1З П 11) (13.112) с граиичным условием Е,(, Ц=1 при 5=0. (13.109) Решение уравнения (13.108) с граничным условием (13,109) дает распределение температуры О,(т, 9) во внешнем радиационном слое. Полученное решение, однако, неприменимо в непосредственной близости к стенке, потому что оно не удовлетворяет условию непрерывности температуры при т = О. Значение О,(т, с) при т — 0 используется в качестве температуры на внешней границе теплового пограничного слоя.
Этот подход аналогичен использованию решения задачи о потенциальном обтекании для отыскания скорости на границе гидродинамнческого пограничного слоя. Нас интересует решение уравнения (13.108) для малых значений 9, так как пограничный слой можно считать оптически тонким только при 9 « 1.
Если ограничиться малыми значениями 9, то уравнение (13.108) можно упростить, полагая в правой части этого уравнения О,(т, 9) = 1 и О (9) = Оо, где Оо температура стенки, полученная из решения уравнения энергии для ~= О. Тогда уравнение (13.108) принимает вид = — е Е (т) (О~„— 1) для ~ << 1. (13.110) Оптически тонкий тепловой пограничный слой. Для оптически тонкого теплового пограничного слоя уравнение энсргин (13.92) упрощается в результате подстановки выражения для д!ч"/йт, полученного в приближении оптически тонкого слоя. Если пограничный слой рассматривать как локально плоскопараллельный слой газа оптической толщины то, то в приближении оптически тонкого слоя выражение для дЯ"/дт получается либо непосредственно из формул (9.7) и(9.3а) "1, либо путем упрощения выражения (13.104) для этого предельиого случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
