Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 37
Текст из файла (страница 37)
П где и — единичный вектор (орт) общей нормали в точке контакта'. Теорема доказывается «от противного». Если условие теоремы не выполнено, т. е. общая нормаль лл к выбранным поверхностям яе перпендикулярна относительной скорости п„н, то имеется составляющая этой скорости, направленная по общей нормали, и, следовательно, происходит либо отрыв одной поверхности от другой,либо вдавливание, что невозможно. В общем случае контакт поверхностей может происхолить в нескольких точках нли по линии (линейный контакт).
Условие основной теоремы зацепления должно быть выполнено во всех точках контакта. Зацепление, в котором оба звена совершают движение, параллельное одной и той же неподвижной плосиости, йаэывается п л о ск и м Для плоского зацепления вместо сопряженных поверхностей можно рассматривать сопряженные п р о ф ил и, т. е. кривые, получаемые в сечении сопряженных поверхностей плоскостью, параллельной плоскости движения. Относительная скорость точки контакта профилей перпендикулярна радиусу-вектору, соединяющему эту точку с мгновенным центром вращения в относительном движении звеньев, который принято называть п о л ю со м з а ц е и л енияя, Кроме того, по условию (23.!), эта скорость должна быть перпендикулярна обшей нормали к сопряженным профилям.
Отсюда следует, что для плоского зацепления основная теорема принимает вид: для того чтобы профили были сопряженнымн, общая нормаль к ним в точке контакта должна проходить через заданный полюс зацепления. Цилиндрическая зубчатая передача. Трехзвенный з>бчатый механизм по ГОСТ 16530 — 83 называется зубчатой передачей. Зубчатая передача с параллельнымн осями вращения звеньев называется цилиндрической, так как ьшновенная ось вращения в относительном движении звеньен образует на каждом нз звеньев ' Вместо вектора о„ можно поставить вектор злементернога перемещения точнн контакта в отноентельном движении.
твя кяя ляпин действия нх совпядя. ют. Отсюда следует, что условие основной теоремы не ззвнент от модуля сна. ргктя оь, . ййв Отсюда !о, Р м,(О,Р=мз(О.Р нлн — '=(па,(, го.~ (23.3) где им — передаточное отношение, которое счнтается положительным, еслн направления угловых скоростей одинаковы (рнс. 88, а), Рвс. 88 н отрнцательным, еслн этн направления — протнвоположны (рнс. 88, б). Геометрнческне места точек на звеньях 1 н 2, которые при нх движеннн последовательно совпадают с полюсом зацеплення, образуют центронды Ц~ н Цз в относительном движеннн звеньев.
Если передаточное отношение — постоянное, то полюс зацеплення Р закипает неазменное положение по отношению к стойке, н центронды й н Цз представляют собой окружности с радиусами О~Р н О,Р соответственно. По свойству центроид зтн окружностн, называемые начальнымн, перекатываются без скольжения. Еслн же передаточное отношение является переменной величнной, то полюс зацепления перемещается по лнннн 0~0з и центронды Ц, н Цз уже ие будут окружиостямн. В этом случае зубчатые колеса называются некруглымн, Прн постоянном передаточном отношении наиболее часто профили зубьев очерчиваются по эвольвентам окружностей н тогда 181 цнлиндрнческне поперхностн.
Профили зубьев втой передачи должны удовлетворять основной теореме плоского зацепления. Пусть, напрнмер, звенья 1 и 2 плоского зацеплення врашаются вокруг параллельных осей с угловыми скоростямн еч н мз (рнс. 88). Положение полюса зацепления Р, через который должна проходнть обпгая нормаль к сопряженным профилям, можно найти нз условия, что скоростн точек на звеньях 1 н 2, совпадающих в данный момент с полюсом зацеплення, должны быть равны по модулю н направле. нию ош= вы.
(23.2) передача называется эвольвентиой, Эвольаентное зацепление было предложено Л. Эйлером '. Эвольвеита окружности. Геометрическое место центров кривизны какой.либо кривой называется эволютой, а сама кривая по отношению к эволюте — разверткой нлн эвольвентой. Следовательно, эвольвента окружности есть кривая, центры кривизны которой лежат на окружности. Эвольвента (дли краткости в дальнейшем опускаем слово «окружносюш) может быть получена как траектория точки прямой, перекатывающейся без ! л скольжения по окружности. В теории зацепления окружность, эвольвентой которой является профиль зуба, называется о с и о в н о й окруж«ь ностью. На рис. 89 показано построение эвольвеиты основной окружности Ь прн перекатывании по ней прямой Рнс. аэ пд, называемой произво- дящей прямой, Пусть производящая прямая показана в положении, когда она касается основной окружности в точке А н надо построить эвольвеиту,описываемую точкой М.
Делим отрезок АМ на равные части (например, на четыре части) и откладываем на основной окружности дуги, равные соответствующим частям отрезка АМ: 46=43, И=За, и т. д, (при малых центральных углах дуги можно заменять хордамц). Через полученные точки деления окружности проводим к ней касательные н откладываем на ннх отрезки, последовательно уменьшая длину кажлого отрезка на одну часть.
Например, нз точки 3 откладываем отрезок, содержащий три части, нз точки ив две части и т. д, Соединяя концы отложенных отрезков, получаем эвольвенту. Если нужно продолжить эвольвеиту, то на производящей прямой откладывают отрезки 45=-56 и т. д., а на окружности — дуги 45, 56, равные по длине отрезкам 45, 56. Для построения точек эвольвенты из точки 5 проводят касательную к основной окружности и ца ией откладывают отрезок, содержэший пять частей, и т. д. Заметим также, что эвольвепту можно представить как траекторию точки М конца нити, которая в натянутом положении наматывается на барабан, диаметр которого равен диаметру основной окружности. ' Леонард Эйлер (1707 †17) — знаменитый математик и механии, член Петеобурггкогт академия наук с 1727 г, лзл ремеиие аадаги о врофнлнровавви зубьев в илоском вадсехеиии и рига аахач динамики механизмов и треви» гибких теа.
182 Уравнение звольвенты в параметрической форме получается иэ условия перекатывания производящей прямой по основной окруж. ности; АМс=АМ. Обозначим через а острын угол между венте н радиусом-век. тором эвольвеиты ОМ. В теории авольвентного зацепления ои называется углом проф и л я, Угол, образо- и ванный начальным радиусом-иектором эвольвеиты ОМз и ее текущим ралиусом ОМ, называется эвольентным углом и обозначается через и. Кроме того, обозначим через гь радиус основной окружности. Тогда условие (23.4) принимает вид (23.4) касательной () к эволь- Ряс.
90 гь(п+6)=гь(й а. Отсюда 6=!пч а. Радиус-вектор эвольвенты К находится из сх ОАМ: )с =гь)соз а. (23.6) Уравнения (23.5) и (23.6) определяют уравнение эвольвенты в полярных координатах К н й, выраженное через параметр а. Звольвентное зацепление. Пусть профиль зуба звена 1 (рнс.
90) очерчен по эвольвенте основной окружности с радиусом гм, а профиль зуба звена 2 — по эвочьвенте основной окр>жности с радиусом гы. Поместим центры этих окружностей в центры вращения О, и Оз н приведем звольвенты в соприкасание в точке К. Нормаль к эвольвенте Э, в точке К должна быть касательной к основной окружности звена 1, а нормаль к эвольвеите Эз — касательной к основной окружности звена 2. В точке касания нормаль должна быть обшей к обоим профилям, и, следовательно, точка К лежит 183 0=)й а — и. (23.5) Тригонометрическая функция (па — а называется ниволютой н обозначается )пч п, т. е.
уравнеиве (23.5) может быть записано в виде (23.9) и„= ч- гвбгез. Из (23.9) видно, что прн эвольвентном зацеплении изменение межосевого расстояния не влияет на передаточное отношение вследствие неизменности радиусов основных окружностей. При изменении межосевого расстояния изменяются лишь радиусы начяльиых окружностей и угол зацепления. Основные размеры зубьев. Эвольвеитиые профили зубьев, как было показано, удовлетворяют основному условию синтеза зубча. того зацепления — получению заданного передаточного отношении.
Выполнение дополнительных условий синтеза зависит в первую очередь от размеров зубьев. Эти размеры удобно задавать в долях какой-либо одной линейной величины, связанной с зубом. Чтобы пояснить выбор этой величины, выразим длину некоторой окруж. ности, имеющей диаметр с(, через число зубьев колеса з: яг( Рг, где Р— окружной шаг, т. е. расстояние, измеренное по дуге окружности диаметра с( между двумя соответствующими тачками соседних зубьев. Отсюда В= — л или' с(=лчл, р и (23.
10) ' Все лннейные н угловые рнзмеры, связанные с нвчвльныы» онружностяыя, ямеюг ннжняй явлено м. на общей касательной к основным окружностям. При вращении звеньев 1 н 2 точка касания эвольвент перевчещается по отрезку АВ этой касательной, так как вне отрезка АВ эвольвенты не могут касаться, т. е. иметь обгпую нормаль. Папрнмер, для точки А' нормаль к эвольвенте Э, направлена по линии л'и', а к эвольвенте Эз — по линии пп. Геометрическое место точек контакта сопряженных профилей (в рассматриваемом примере — отрезок АВ) мазывается линней з а це иле н и я. Точка пересечении общей нормали к эвольвентам с межосевой линией (Р— полюс зацепления) занимает неизменное положение, н, следовательно, согласие основной теореме зацепления передаточное отношение ивз имеет постоянную величину им=+ г,/г з, (23.71 где г„~=!щр н г г=(овр — радиусы начальных окружностей '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
