Краснов А.А. - Кинематический анализ плоских механизмов с низшими кинематическими парами (1074004), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для этого необходимо соединить прямой линией точки Ш а и Ь'плана скоростей. Соединим соответстточки Р ленные точки линии АВ и аЬ' векторамн, причем начала лежат Рис. 4.4 на линии АВ, а концы на линии аЬ'(рис. 4.4). А рга = .иг (4.6) 4) из полюса плана скоростей в выбранном масштабе строится вектор рга; 5) записываем уравнение (4.3) и, согласно ему, проводим через точку а плана скоростей линию перпендикулярную линии АВ на чертеже тела, а через полюс плана скоростей проводим линию, параллельную касательной к траектории движения точки В; 6) на пересечении этих линий получаем искомую точку Ь .
7) строим векторный многоугольник согласно уравнению (4.3). 8) измеряя длины векторов, производим расчет скоростей и Угловой скорости тела по формулам: )' ВА Р'ВА —— ,иг аЬ; Р' — — рг . ркЬ; в = (4.7) ВА (Соответственные точки - точки, которые делят две линии в одинаковом отношении.
Проше говоря, делим эти две линии пополам„соединяем полученные точки. Делим оставшиеся отрезки пополам, соединяем полученные точки и т.д.). Доказательство возможности такого построения можно найти практически в любом учебнике по теоретической механике. Привязанный план скоростей удобен, если необходимо наглядно представить поле скоростей точек звена. Однако для анализа механизма в нескольких положениях он становиться громоздким и неудобным. Поэтому на практике чаще всего используют вынесенный или несвязанный илн свободный план скоростей. Свободный план скоростей строится следующим образом: 1) вычерчивается тело в масштабе, на чертеже указывается известное направление скорости точки А; 2) на произвольном месте чертежа выбирается точка — полюс плана скоростей - рр, 3) выбирается масштаб плана скоростей - иг1 4) производим расчет длины вектора )'А в масштабе,иг по формуле: 40 41 (4.8) рв 1 А +1лУА (4.9) 1в =1в+1лв (4.10) 1А+1вч =~ в+1лв.
гч ч 43 42 )К О о о О. о о й й о й о О. о о О о о й А й ч м О о о пос оения плана скоростей показан~ Последовательность постРое на рис. 4.5. Пусть требуется дополни ительно найти скорости точек тверго тела М, С, В и Х Заметим, что точка Ж не лежит на прямои, п А В корости которых уже найдены. я ей че ез точки и, с проход ш чя этого составим два вектор- Найдем скорость точки Х чя это С ных уравнения, к оторые описывают скорость э той точки. однои стороны, , если принять за полюс точку А, то К видно из уравнения мы зн аем векто 1' и по модулю и ак А н, он знаем только по направлению, по направлению, вектор м4 н " ЖА.
0 векторе Рв неизвестно ничего. пе„пендикулярен прямои жит т и неизвестных, решение Следовательно, уравнение содержи р . С гой стороны, если принять за полюс точку его невозможно. другов сто (4.3) э ом случае В, ее скорость нам уже извест, ур на то авнение . в т перепишется следующим образом: Как и уравнение ., эт е 4.8) это уравнение содержит три неизния не имеет. Прнравняем правые части вестных и потому решения н этих двух уравнений: е авнение, которое содержит В результате получаем векторное ура ое же имеет решение, причем всего два неизвестных и которо у ение 4.10) г афически.
Для этого, единственное. Решаем уравнение ей п оводим линию перпендикуляр- через точку а плана скоростеи пр д ВЖ че ежа. На пересечении этих прямых получаем точку в. з чертежа. а им в э точку вектор, который полюса плана скоростей проводим в эту (4.11) рм =рв+рмв (4.13) (4. 14) ат Ьт (4.12) аЬ ат (4.
15) 45 44 характеризует скорость точки Ж рассматриваемого тела. Произ- водим расчет модуля скорости точки Ж Мы рассмотрели один нз методов построения плана скоростей точки Х Возможен еще один способ. Так как угловую скорость тела, определив скорость точки г' „, мы уже знаем (см. формулы 4.4 и 4.5), то суждение о том, что уравнение (4.8) не разрешимо, не верно. В самом деле, если угловую скорость твердого тела умножить на расстояние от точки А до точки Х, то найдем вращательную скорость точки Ж относительно точки А- 1'~~.
Поскольку направление вращения тела уже также определено, то для построения плана скоростей точки и достаточно вычислить длинУ вектоРа ~', в масштабе,ир:. ап = Р'пя ,иг и отложить полученный отрезок перпендикулярно АЖ в направлении вращения тела. В результате получаем точку п на плане скоростей.
Ту же процедуру можно совершить, используя н уравнение (4.9). Результат будет аналогичным. Необходимо сказать, что первый способ построения плана скоростей для точки Ж быстрее второго, как минимум, на 30-40%, так как, не связан с вычислением длин отрезков ап н Ьп. Рассмотрим теперь методику построения планов скоростей точек, лежащих на прямой линии, проходящей через точки А и В. Запишем векторное уравнение для точки М, аналогичное (4.3): Длина отрезка ат изображающего вектор ~'мя определится сле- дующим образом: гмя т АМ 1'м~ — — и. АМ ~ ап1 = и' Отрезок ат откладывается вдоль отрезка аЬ плана скоро- сте ей в сторону вращения тела, т.е. внутрь этого отрезка. Т.е. про„зводя этн вычисления можно сразу найти точку т, Если записать уравнение скорости точки М относительно полюса В то длина отрезка Ьп1 изображающего вектор Р'мв определится следующим образом: ~'~~ =ю ВМ'~Ьп1= ~'мв в ВМ иг Ь Отрезок Ьп1 откладывается вдоль отрезка аЬ плана скоростей в сторону вращения тела, т.е.
внутрь этого отрезка. Т.е., производя эти вычисления, также можно сразу найти точку т на плане скоростей. Заметны, однако, что если разделить ат на Ьт, то получим следующее соотношение: ,ик АМ ап1 АМ в ВМ ВМ аЬ вЂ” ап1 А — АМ .и~ аЬ вЂ” ат А — АМ ат АМ АВ ап1 АМ АМ 1= — 1~ = — ~ ат =аЬ. АМ аЬ АВ АВ АМ ап1 =аЬ. АВ Таким образом, зная величину аЬ положение точки п1 всегда можно найти с помощью вычислений по формуле (4.15).
Поскольку отрезок прямой аЬ уже известен, его измеряют при определении скорости г' „, а отрезки АМ н АВ известны нз задания, то скорость построения точки т таким способом несколько выше, по сравнению с предыдущим методом. Точно также находят на плане скоростей положения точек 4 и с, которые характеризуют скорости точек В и С твердого тела. Показанная методика построения планов скоростей для точек, лежащих на прямой АВ, предусматривает некоторые вычисления.
При большом количестве положений механизма, для которых строятся планы скоростей, эта процедура сбивает с ритма и приводит к лишним затратам времени. Значительно быстрее планы скоростей строятся в том случае, если в качестве второго полюса использовать точку, не лежащую на прямой АВ. Тогда построение сводится к проведению одной линии для каждой искомой точки. В самом деле, если в качестве вспомогательной точки- полюса выбрать точку Ж, то система векторных уравнений, описывающих скорость точки М, будет иметь вид: РМ РА+РМА ~ г М = г,м + ~ МЛ .
То есть, т. т на плане скоростей лежит на пересечении перпендикуляров проведенных к линиям, проходящих через точки: А раектория движения точки В Рис. 4.6 и М; М и Ж Очевидно, что точка т будет лежать на прямой, проходяшей через точки а и Ь. Аналогично происходит построение планов скоростей н для других точек, лежаших на прямой АВ. Построение плана скоростей таким методом показано на рис.
4.6. Этот метод значительно превосходит по скорости два предыдущих метода. Рассмотрим теперь построение плана ускорений для этого же тела (рнс. 4.7). План чскореннй строится на основе теоремы об ускорени- А ях точек твердого тела, движущегося плоскопараллельно, которая подробно рассматривается Рис. 4.7 в курсе теоретической механики н математическая запись которой, формально, очень похожа на запись теоремы о скоростях точек твердого тела. (4А6) ДВ =ДА+ДВА. То есть, ускорение любой точки твердого тела при плоско- параллельном движении складывается из ускорения полюса— точки, движение которой задано илн известно, и ускорения рассматриваемой точки во вращательном движении относительно полюса.
При этом необходимо помнить, что, в отличие от скорости, ускорение во вращательном движении относительно полюса состоит из двух компонент — нормального - а - (илн по друго- ВА му, центростремительного ускорения - а „) и тангенциального Ц (касательного) - ав - (нли по другому, вращательного ускорения - а Р ). Нормальное или центростремительное ускорение направлено к центру относительного вращения, т.е. к полюсу (в нашем случае по прямой АВ к точке А). Тангенцнальное или касательное ускорение направлено по касательной к траектории от- 47 -и г ~В ВА +~ВА +ВВА (4.17) -и -т -и -г ВВ +~В ВА А ~ВА +ВВА В" В' ВЬ, ВА ВЬ „ВА и ца 49 48 носительного движения рассматриваемой точки относительно полюса.
Направление вектора касательного ускорения определяется направлением углового ускорения. Кроме того, необходимо помнить, что ускорение точки В в абсолютном движении складывается также из нормального ав и тангенциального ускорения а'.. Поэтому формула (4.16) перепишется следующим образом: Модули нормального и касательного ускорений при вращательном движении определяются формулами; ВВА — — ю .АВ; аВА — — В АВ. (4.19) Таким образом, если известны угловая скорость тела, его угловое ускорение и ускорение полюса и расстояние до интересующей точки, то привязанный план ускорений строится следующим образом.
Изображается тело в масштабе 7Аы выбирают масштаб ускорения,и„, в выбранном масштабе из точки В строят вектор ускорения аА. Длину вектора рассчитывают по формуле: В, Ва'= . Далее, производят расчет нормального и тангенци.ца ального ускорения по приведенным выше формулам (4,18), рассчитывают длины векторов, которые будут изображать эти векторы на рисунке, по формулам: Откладывают эти векторы из точки В. Затем складывают все три вектора„согласно формуле (4.17). Результирующий вектор ВЬ й й. о о о й й М М о 2 о сь о о й и о О о Е ектория нження т.В Рис. 4.10 траектории точки -л -т П -г Цв 4 Ць' ВА 4 ЦвА +ЛвА (4.20) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
