Краснов А.А. - Кинематический анализ плоских механизмов с низшими кинематическими парами (1074004), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Необходимо помнить, что первое положение совпадает с началом координат. Через полученные точки проведем линии, параллельные оси ординат, как в положительном, так и в отрицательном направлении. Далее, измеряем на плане положений механизма расстояние от точки С~ до точки Ся, используя масштаб, переводим измеренную величину С,Сз, из масштаба А в масштаб Я. Удобно пользоваться формулой: (3 1) В рассматриваемом примере принятые масштабы равны. 30 31 Полученные значения откладываем на графике и соединяем полученные точки плавной кривой, а также отрезками прямых линий - хордами.
Для того, чтобы получить график скорости ползуна необходимо продифференцировать полученную кривую. Здесь необходимо иметь в виду, что получеиная кривая будет характеризовать не скорость, а аналог скорости. Напомним, что аналогом скорости называется производная координаты выходного звена по координате входного звена. В данном К случае и = .
р.2) '1~э Фт Рис. 3.3 Здесь принято обозначение - и,г - аналог скорости в масштабе ар,. Необходимо понимать, что физически аналог скорости в данном случае соответствует скорости ползуна при угловой скорости движения кривошипа равной единице.
В данном примере, для экономии места, оси системы координат и„згОг», совпадают с осями системы координат язО»». Порядок дифференцирования продемонстрируем иа рисунке 3.3. Поделим каждый отрезок на оси абсцисс пополам, и через полученные точки проведем дополнительные линии параллельные оси ординат. Через точку К на продолжении оси абсцисс проведем линию, параллельную хорде на участке кривой — 1,2, до пересечения ее с осью ординат. Точку пересечения обозиачим— 1,2. Через эту точку проведем линию, параллельную оси абсцисс до вспомогательной линии, проведенной через середину отрезка 1,2. Полученная точка и будет характеризовать аналог средней скорости звена на участке 1,2. Другие точки получаются аналогично.
Поскольку для некоторых студентов не является очевидным приведенные выше построения, приведем краткое доказательство наших рассуждений. =гК(а). а гср С другой стороны 1рис.3.3) А0,1 — 2 Ео,з — 2 ГК(а)= ' ~ =и„,„~), 2, -Ок-и.и . ок ок То есть, отрезок Ао1з действительно характеризует аналог скорости. Осталось только получить формулу для вычисления масштаба.
Для этого распишем последнюю формулу подробней. При этом, для экономии места и времени будем опускать при обозначении скоростей и ускорений индексы «ср» — средние. ' =ок - ' =ок "' =ок и м од-г— и. ~ю„~ю ~ю ). и~, =ок и„' ~ " =ок и. " ~ р,. = ОК'цг, Обозначая ОК=Н„перепишем итоговую формулу в виде и, "° =Н . ~ 'и~, (3.3) Выбор значения величины Н~ произволен. От нее зависит высота графика скорости. Обычно ее выбирают из интервала 20- зп мм. Следует учесть, что в формуле 13.3) величина Н, имеет Размерность в миллиметрах.
Итак, аналог скорости определяется формулой 13.2). С од„оп стороны, эта формула является предельным случаем формулы: 32 23 (3.5) (3.4) Р1 Р~, = Т Р~ = 34 Точно также производится и второе дифференцирование, целью которого является получение графика зависимости аналога ускорения от угла поворота кривошипа. При этом расчет масштаба последнего графика производится по формуле, аналогичной формуле (3.3), и которая выводится точно также: Заметим, что наибольшую сложность при графическом дифференцировании представляет поиск крайних точек графиков скорости и ускорения.
Для того, чтобы не ошибиться необходимо помнить следующее. Так как механизм совершает периодическое или циклическое движение и движение всех точек звеньев механизма описывается гладкими функциями, то в крайних точках графика перемещения ползуна касательной к кривой будет непосредственно сама ось абсцисс и, следовательно, скорость ползуна в этих точках будет равна нулю.
Впрочем, это, с очевидностью, следует из характера движения механизма. Для того, чтобы правильно построить график, нужно построить справа и слева от графика по одной дополнительной точке, которые характеризуют положение ползуна до начала и после конца рассматриваемого цикла. Продифференцировав кривую и на этих участках, получим дополнительные точки на графике аналога скорости. Необходимо помнить только, что кривая скорос'ги должна проходить через ноль. При построении крайних точках графика ускорения можно применить тот же прием, помня также о том, что поскольку движение периодическое, то ускорения ползуна в этих точках одинаково с той и с другой стороны графика, во-первых, а во-вторых, в этих точках кривая должна иметь одинаковую касательную, На рис.3.2 полностью приведен кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма методом диаграмм.
Покажем, что графики аналогов скорое пи и н~скорения мог..т служить и графиками скорости и ускорения, если вдоль оси абсцисс откладывать дополнительно время. Тогда, вдоль оси ординат прн дифференцировании будут откладываться уже не аналоги скорости и ускорения, а скорости и ускорения в своих масштабах. Эгн масштабы определяются подобным же образом где Š— отрезок, изображающий на оси абсцисс, период полного оборота кривошипа. Т вЂ” период полного поворота кривошипа. Поскольку движение входного звена равномерно, то угол поворота кривошипа связан со временем простым соотношением Эйлера - гл,=ы, г.
И если масштаб оси яь определялся соотношением: то масштаб оси времени г будет определяться соотношением: Здесь Е длина отрезка оси абсцисс, который изображает с одной стороны угол равный р, радиан, а с другой стороны период времени Т, за который кривошип поворачивается иа этот угол. Тогда, учитывая первой соотношение, получаем: Учитывая выражение для масштаба скорости, получаем: (4.1.) и =аз ВА, (4.2.) 37 Зб Мы доказали, что графики скорости и аналога скорости совпадают (каждый при этом будет изображен в своих осях и в своих масштабах). То же самое можно показать и для ускорения. Масштаб ускорения будет определяться очевидной формулой: Повторим еще раз процедуры кинематического анализа методом диаграмм.
1. Строится план положений в масштабе пь 2. На плане положений в каждом положении механизма непо- средственно на чертеже измеряется координата входного звена и соответствующая ему координата выходного звена. 3. В системе декартовых координат, вдоль оси абсцисс отклады- ваем в соответствующем масштабе координату входного, а вдоль оси ординат в соответствующем масштабе координату выходного звена. 4. Соединяем полученные точки плавной кривой. Получаем зави- симость координаты входною звена от координаты входного звена — передаточную функцию. 5. Производим графическое дифференцирование передаточной функции.
Получаем зависимость аналога скорости от координаты входного звена — передаточную функцию для скорости. 6. Производим графическое дифференцирование передаточной функции для скорости — дифференцирование аналога скорости. Получаем зависимость аналога ускорения от координаты входно- го звена — передаточную функцию для ускорения.
7. Производим расчет масштабов аналогов скорости и ускорения, времени, скорости и ускорения. 4. Основные теоремы кинематики плоскопараллельного движении твердого тела и планы скоростей и ускорений его точек Кинематический анапиз методом планов скоростей и ускорений плоских механизмов основывается иа теоремах о скоростях и ускорениях твердого тела, совершающего плоскопараллельное (плоское) движение; доказательства которых приводятся в курсе теоретической механики. Напомним суть этих теорем. Пусть имеется твердое тело, которое движется плоскопараллельно. Тогда. можно рассматривать движение не вссго тела, а его сечения, па- ря раллельного плоскости, относительно которой оно движется. И пусть известно, что скорость какой-то точки А этого тела равна Р„ относительно неподвижной системы координат (эта точка в этом случае парис.
4.!. зывается полюсом), и пусть известно, что тело движется с угловой скоростью о относительно той же самой неподвижной системы координат (рис. 4.1). Тогда скорость любой точки В - Ия - в абсолютном движении (относительно неподвижной системы координат) будет определяться формулой: где )' „- скорость точки В во врашательном движении относи- Тельно полюса А. Модуль этой скорости определяется формулой Эйлера: а направление — перпендикуляром к АВ, проведенным из точки В 5 Э о а х о х х о х ЕЮ с в х о ю х с щ о х К х х о о д .'$ о и (4.3) х о. ~ ~й~ я 2Д 1 АВ. При анализе механизмов, чаше всего, угловая скорость звена механизма неизвестна.
ТРаектоРиЯ' Однако в этом случае обязательно известна точки В траектория движения какой-либо точки звена. Это позволяет по- строить план скоростей механизма. Покажем это на примере. Пусть имеется тело, двнжушееся плоскопараллельно, и пусть известна скорость движения точки А — )~„- и траектория движения точки В этого тела в абсолютном движении (Рис.4,2). Для построения плана скоростей точки В изобразим тело в масштабе и выберем также масштаб для изображения векторов скорости и изобразим вектор скорости Р'„. Далее перенесем вектор скорости точки А в точку В, параллельно самому себе.
Используем далее уравнение (4Л): Анализ этого уравнения показывает, что скорость т. А известна и по модулю и по направлению, скорость т. Ив — в абсолютном движении и скорость т. В во вращательном движении относительно т. А - Р'„- известны только по направлению:— вектор скорости т. В в абсолютном движении направлен по касательной к траектории; вектор скорости т.
В, во вращательном движении относительно т. А, направлен перпендикулярно АВ. Следовательно, одно векторное уравнение содержит два неизвестных, которое может быть решено любым, в том числе и графическим, методом. Для решения уравнения (4.3) графическим методом перенесем вектор скорости т. А в т. В параллельно самому себе - вектор Ва'. Через конец вектора скорости т. А, точку а', проведем о х ж М о о х о с о н х о н б о линию, перпендикулярную прямой АВ, через точку В проведем линию„касательную к траектории движения точки В. Эти две прямые линии имеют всего одну точку пересечения, которая и есть искомое решение — точка Ь. Направим теперь вдоль этих линий, согласно уравнению (4.3), векторы скоростей 1' „н 1'в . Подробный ход построений показан на рис.
4.3. Для того, чтобы получить числовые значения скоростей, измерим на чертеже длины векторов и умножим их на масштаб скоростей: 1'ВА —— ,иь а'Ь, 1'в —— ,иг -ВЬ . (4.4) Угловая скорость движения тела рассчитывается по формуле Эйлера (4.2) 1 ВА Ш= (4.5) ВА а направление вращения определяется направлением вектора скорости )' „ Построенный план скоростей можно назвать привязанным планом скоростей, поскольку он изображен непосредственно на движушемся теле. Привязанный план ', а' скоростей позволяет А изобразить поле ско- 1 ВА ростей точек твердого В тела, лежащих на прямой АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
