Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Имеем 1 2 (16.30) )е откуда 11 — !))' — РОО -1- ' о )16.31) )дд) иш Из формулы (16.26) или (16.27) можно определить время 1 движения механизма в функции угла ч) поворота звена приведения, т. е. 1 = 1(ф). Таким образом, мы имеем две функции: о) = о) (ф) и ! = 1()р). Исключая из них угол ф, можно получить функцию о) = о)(1) — зависимость угловой скорости о) от времени 1. Угловое ускорение е звена приведения определяется из соотношения о)о о)о) ))')р до) е= — или е= — — =о) —.
)и =ир и) ир' $73. интеГРиРОВАние уРАВнений дВижениЯ 347 и, далее, (16.32) где о, В7 и о, — скорости точки приведения. 3'. Уравнения (16.15) и (16.16) могут быть решены в квадратурах В частном случае. когда приведенные моменты инерции 1, = сопз1. В этом случае уравнение (16.16) получает вид Мд(с7) Мс,'В) = 7с (16.33) Так как моменты М„= Мд (с7) и М, = Мс(с7) заданы и известен постоянный момент инерции 7„то уравнение (16,33) приводится к виду 77 с7 ~,11 ,7 ~ сс7 .
(16.34) %о Из уравнения (16.34) Определяется время 1 движения агрегата в функции угловой скорости с7, т. е. 1 = 1(В7). Производя интегрирование левой части, получаем с7 Уравнение (16.16) при Уд = сопз( приводится к виду Мд(1) Мс(Г) = 7п аг ° (16.36) Так как моменты М„= Мд ф и М, = М,(1) заданы и известен постоянный момент инерции Х„то из уравнения (16.36) получаем с77 ~ 7(с7 = — ~ [М„(1) — М, (1)] с(1.
(16.37) С7с 7. Из уравнения (16.37) определяется угловая скорость в движения звена приведения в функции времени Й 7, В77 — — В7с+ — ~ [Мд(1) — Мс (1)]7(1 (16 38) и Получение решений уравнений (16.17) — (16.19) в конечном виде возможно в частных случаях, когда функции, стоящие в левой части этих уравнений, достаточно простые. 4'. Как было указано выше, уравнения (16.14) — (16.19) в общем случае могут быть проинтегрированы приближенными мето- зпа Гп.
!б, исследоВАние дВижениЯ мАшиннОГО АГРВГАТА дами. В качестве такого метода может быть применен, в частности, метод, разработанный Г. Г. Барановым, заключающийся в том, что угол поворота ф звена приведения разбивается на достаточно малые интервалы ЛГр, принимаемые за шаг интегрирования. В каждом интервале Лф заданные функции приведенных моментов двнкущих сил М, и сил сопротивления М, считаются постоянными, а приведенный момент инерции /„ принимается изменя>ощимся линейно.
Обозначим левые части уравнений (16.14) — (!6.19) обобщенно в виде М (ф, е>, 1), так как моменты Мп и М, могут быть функциями угла поворота ф, угловой скорости и> и времени д Тогда эти уравнения можно написать в общем виде так: (! 6.39) Так как Йп Й> пф Йп <)! ЙЕ и! Ыф ~ то уравнение (16.39) можно представить в следу>ощем виде: М(Р,, 1) =Упа — „+ —,' — „', и>! Е>п (16.40) или ) !(ф = 2,/п!йп+ е>И,.
(16.41) Заменим в уравнении (16.4!) !(ф шагом интегрирования Лф. Тогда величина !(В> приращения скорости может быть заменена разностью (В>>„! — ГВ!), а величина >1п', приращения приведенного момента инерции — разностью и'„<>+>! — и'„Г, где ! и ! + !— два положения звена приведения, соответствующие началу и концу интервала Лф = <р>+, — фи С учетом сказанного уравнение (16,41) принимает вид 2М! (!ГО вн Г;) Лф = 2/и! (Ш>+! — ы!) + Оп((п (ып — Уп!) (16 42) О>! Решая уравнение (16.42) относительно угловой скорости «>>„, получаем М(ф>, в>, >!) Лф ~ 3'и! — уп'>+'! о! (!6,43) Зная значения для М (ф>, е>>, 1!), )'и>, ~п <ен! и В>! Из формуль! (16.43) при выбранном шаге интегрирования Ьф можно определить угловую скорость «>>„.
Проводя шаг за шагом вычисления угловой скорости «>>, получаем функцию и> = В> (ф) Для определения времени ! дан>кения агрегата можно воспользоваться условием (1= — '„'. (16.44) 5 КЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 349 Заменим в этом уравнении Ж через разность 1«+« — г«, «(ф— через шаг Лф интервала и угловую скорость «з — через ее среднее значение —.
В таком случае можно написать «О«+ «О«+« 2 2аф «+1 3 м 1е « (16.46) откуда определяем время 1«+т« 2««ф «+« $ г м (16.46) Изложенный метод приближенного интегрирования может быть применен как в случае аналитического, так и в случае графического задания всех функций, входящих в уравнения (16.14)— (16.19).
й 74. Исследование движения с помощью уравнения кинетической энергии Ам ° М„«йр, и где «р — угол поворота звена приведения. Величина этой работы выражается произведением площади, ограниченной кривой Мя = = М„(ф), осью ф и начальной и конечной ординатами, на соответствующие масштабы. Работа приведенного момента М, равна Ам = ~Мс«(ф 0 1'.
В большинстве технических задач приведенный момент движущих сил и приведенный момент сил сопротивления задаются в виде графиков, в виде графика также задается и приведенный момент инерции. Поэтому решение уравнений движения механизма ведется графочисленными методами. При графочисленном решении уравнений движения удобно применить уравнение кинетической энергии. Для этого можно использовать диаграмму Т = Т (У,), устанавлива«ощую связь между кинетической энергией Т и приведенным моментом инерции У„.
Рассмотрим тот случай, когда приведенные моменты являются функциями угла поворота ф звена приведения. Пусть момент М„задан графиком Мд — — Мд («р) (рис. 16.1, а, сплошная линия), момент М, задан графиком М, = М,(ф) (рис. 16.1, а, штриховая линия), а момент инерции «„ задан графиком ), = l„(ф) (рис.
16.2). Работа приведенного момента М, на выбранном интервале равна Здв Гл. 16. ИССЛЕДОВАНИВ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА и выражается произведением площади, ограниченной кривой М, = М, (ф), осью ф, начальной и конечной ординатами, на соответствующие масштабы. 4 ч 4Г )" 'Ч а 1 Рнс. 16.1. К графочясленному рашелям уравнения двнження в форме уравнения кинь тнческой энергии: о) графнкв моментов движущих снл н свл сооротявлення; б) графяк кянетяческой энергии механяама На рис. 16.1, а угол Ф, соответствующий полному времени движениЯ механизма, Равен сУмме Углов: Ф = фр + фу.д+ 1Р„ где угол ф, соответствует времени разбега, ф, — угол времени установившегося движения и гр, — угол времени выбега.
Угол ф, соответствует времени одного оборота звена приве- 2' дения. Приращение кинетической энер$1г гии механизма за какой-либо промежуток времени, согласно уравнению 1 2 г 6 б б (15.35), выражается разностью площадей кривых Мд = Мд (гр) и М, = М,()р), пол)ноженной на соответствующие масумм,ядрам штабы Рм и Р . НапРимеР, на Участке Рнс.
)в.т. ГраФик орвведеяного момейта ннерднн 1 — 2 (рис. 16.1, а) работа приведенного момента Мд выражается площадью [11'2'2) мм', умноженной на масштабы рм и р моментов и угла поворота, а работа приведенного момента М, — площадью 111"2"2), умноженной на те же масштабы. Приращение кинетиче- $74. УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОИ ЭНЕРГИИ зз! ской энергии ДТИ представляется тогда площадью [1"1'2'2")> умноженной на те же масштабы. Таким образом, ДТГВ = Т, — Т = Р Рм (пл. [1!'2'2) — пл. [11"2"2)[ = = р рм пл.
[1'2'2"1" [. В этом равенстве р есть масштаб углов поворота и рм — масштаб моментов. Приращение кинетической энергии на участке (2 — 3) пропорционально площади [2"2'3'3" [, приращение кинетической энергии на участке 3 — 4 пропорционально площади [3'3'4'4" [ и т. д. Изменение кинетической энергии всегда пропорционально площадям, заключенным между кривыми моментов движущих сил и сил сопротивления (на рнс. !6.[, а эти площади заштрихованы).
Этим площадям следует приписывать знак плюс или минус в зависимости от того, какая работа будет больше: момента движущих сил или момента сил сопротивления. Так, на участке 1 — 7 кривая момента движущих сил расположена выше кривой момента сил сопротивления, и, следовательно, приращение кинетической энергии положительно; наоборот, на участке 7 — 10 приращение кинетической энергии отрицательно и т. д.
За все время работы механизма, соответствующее углу поворота Ф, приращение кинетической энергии равно нулю, и сумма всех заштрихованных площадей со знаком плюс должна равняться сумме площадей со знаком минус, так как в момент пуска механизма и в момент его остановки скорость точки приведения равна нулю. Точно такое же равенство должно иметь место и за время установившегося движения на участке 13 — 25, потому что в этом случае угловая скорость звена приведения механизма через каждый цикл возвращается к прежнему значению. На рис.
[6.[, а условно показано три полных цикла установившегося движения. Практически число этих циклов может быть очень велико, в зависимости от времени непрерывной работы машины. 2'. Подсчитав величины указанных выше площадей, можно построить диаграмму Т = Т (щ) изменения кинетической энергии Т звена приведения в функции угла поворота <р ([6.[, б). Построение начнем с положения 1.
Подсчитаем площадь [1'2'2" 1') в квадратных миллиметрах. Пусть эта площадь равна Зы мм', когда приращение кинетической энергии на участке 1 — 2 равно ДТН вЂ”вЂ” Т, — Т, = рч[АИ пл. [1'2'2"1" [ = р рыбы, где рм есть масштаб [И„И Л!„а р — масштаб углов поворота авена приведения. Так как механизм начал двигатьея с положения, соответствующего точке 1, в которой первоначальный запас кинетической энергии Т, был равен нулю, то полный запас кинетической энергии механизма в положении 2 выразится величиной Тм Звв г . ис исслвдовхнив дни>кения млшииного хггагхтх Эту величину и откладываем в виде отрезка 2 — 2' в масштабе рг на ординате, проведенной в точке 2 (рис.
16.1, б). Имеем бт„= Т, = р,р„З„= рг (2 — 2). Далее подсчитываем следующую площчдку 5... = = [2"2'3'3" [ мм'. Имеем, по предыдущему: ЬТм = Т вЂ” Тв = р„,рм [пл [22'3'3! — пл. [22"3'3[) = =р„рм пл. [2233 [=р,ими,,= !лг [3 — 31, т. е: приращение кинетической энергии Т,, на участке 2 — 3 выражается площадью [2"2'3'3") мм', умноженной па произведение масштабов р и р„. Полученную величину откладываем (рис.
16.1, б) йа ординате в точке 3 в виде отрезка 3" — 3' в масштабе рг, прибавляя его к предыдущему отрезку (2 — 2') = (3 — 3"), и т. д. Ординаты диаграммы кинетической энергии увеличиваются до положения 7, где в точке 7' она имеет вершину, соответствующую одному из максимумов кинетической энергии. Далее на участке 7 — 10 кривая опускается, так как заштрихованная площадь (рис. 16.1, а), заключенная между этими точкамн оси абсцисс, имеет знак минус. Начиная с точки 1О кривая кинетической энергии Т = Т (у) поднимается до положения 13, где эта кривая опять имеет вершину в точке !3', и т. д, На участке 13 — 31, где диаграмма описывает установившееся движение, кривая повторяется через каждый цикл движения механизма, соответствующий углу у„причем ордината ее достигает то своего максимума, то своего минимума. В положении 3! ордината кривой Т = Т (~р) имеет последний максимум, после чего кривая опускается вследствие наличия на участке 3! — 37 только одних сил сопротивления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
