Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Действительная скорость точки С теперь будет записана так; ЗЗС = ГС! (ф1~ ф4) О!! + ГСЬ (ф! ф4) О!4. (17.2) Углы поворота звеньев 2 и 3 и их угловые скорости будут также функциями двух переменных, ф„и ф,. Так, ф, = ф, (ф„ф,), а скорость вз будет дфз дф! дфз дфз вз= + дф~ д! дф! д! ОбозначаЯ дфз/дф! = им, дфз/дфз = им, дф!1с(! = в„ б(фз/ ( — вз получим вз — — им (1Р„!Р,) в, + им (!Р1, 1Рз) в,.
(17.3) Аналоги угловых скоростей и„и и„определяются так же, как И ГС! И ГС4. $76. Уравнения движения механизма 1'. Для описания движения механизма воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода — 1 д ) — д ™зн дз ( д ) д Мзз~ (17.4) д ! дТ дТ д дТ дТ вз фз где Т вЂ” кинетическая энергия механизма, М„, — приведенный (обобщенный) момент сил к координате ф„̄— приведенный (обобщенный) момент сил к координате фб. Приведенные моменты сил определяются, как обычно, из равенства мощностей. Пусть к звеньям 1, 3, 4 приложены моменты М„М„М„ а к звену 2 — сила Гз в точке йз (рис.
17.!). Тогда мощность всех сил, приложенных к механизму, будет Р = Мзвз + з з т!з + Мзб!з + МАО!4. 35з Г». 47. мехАнизмы с нескОлькими степенями своьоды Скорость 22», точки из приложения силы Рз выражается следующим образом: 22» Г» ! (фь фз) В! + Г» 4 (4Р! 4р4) В4 а угловая скорость вз звена 3 соответственно озз = 44м (фп фз) вз + 44зз (ф4, фз) 404. Подставляя эти выражения в формулу для мощности„получим Р= М„в,+ М„в„ (!7.5) где М„! = М4+Рз Г»,!+Моиз!, М»4 = М4+Гг «»,4+Мои»4.
2'. Для составления выражения кинетической энергии механизма запишем вначале кинетическую энергию у-го звена через обобщенные координаты и обобщенные скорости; 1 . 1 Т, = —, т4оз + — 2 7з,в! где т! и в> — масса и угловая скорость звена у, оз — скорость центРа тЯжести 5! звена 1, Уз — момент инеРции звена У отно- 1 сительно его центра тягкести. В дальнейшем для простоты опустим индекс 5 у скорости и момента инерции: ! 2 1 т, = 2 т/024+ 2,7!в). Как было показано ранее, скорости п1 и вг имеют выражения 24! = Г4! (ф4з 4Р4) 40! + Г4! (ф! ф4) В4~ а, = ил (4р„ф,) оз! + и!4 (4ри 4рз) вз; возводя в квадрат, получим о' = ',а', + 2 '4«;.4СОЗу в!аз+ ',в„ 2 2 2 2 2 40; = и,:440! + 2и1444!4в4в4+ и!4в4, где у! — угол между векторами «1! и Г)4 Теперь кинематическую энергию у-го звена можно записать в развернутом виде; 2 2 7) = —, т, (г'",а', + 2г'чг'.
созу в,а + г' 40') + 1 2 2 2 2 + 2 11(и!!в!+2ипима!а4+инв,) = 1,з — (т г", + l и !) в,'+ (т«4«4созу, +./ и4и!4)вв4+ + — (тг' + l,.и24) аз, 1,з 9 тв. геавивния движяиия мвхаиизма 359 Суммируя по всем звеньям механизма, представим полную кинетическую энергию механизма в виде 1 ! Т = — У~!(О! + 7и(01<04 + 2 144<~о 2 где ,1м = ~; (т1е'„е14соз у, + 11иг1ин) 1 7 „= ~ (т г' + 31иэи). ! Так как величины г1„г14, ии, ин зависят лишь от обобщенных координат щ, и ум то и инерционные коэфчэициенты Ум, Ум, 1„являются функциями 1р, и ~р,. Этим инерционным коэффициентам можно дать интересное толкование.
Инерционный коэффициент 1„вычисляется как обыкновенный приведенный к звену 1 момент инерции механизма с одной степенью свободы, если закрепить звено 4. Меняя положение закрепленного звена 4, можно каждый раз получать новое значение /м; таким образом можно получить однопараметрическое семейство кривых 1м (у„) при параметре Ф4, т. е. получить функцию 1м (<Р„~Р,) как повеРхность в кооРДинатах 1„, 1Р,, Р, Аналогичные рассуждения можно провести и для инерционного коэффициента 1„, который также является функцией двух переменных 144 (~р„~р,).
Что касается инерционного коэффициента 1ы, то эта величина отличается от обычного приведенного момента инерции. Величину уы нельзя подсчитывать как приведенный момент инерции условного механизма с одной степенью свободы, что можно было сделать для 1„и 1„. При вычислении .1ы следует считать, что оба звена, 1 и 4, движутся одновременно. В выражение для 1„ не войдут массы звеньев, положение которых зависит лишь от одной обобщенной координаты, ~р, или <р,. В отличие от 1„ и 1„, нельзя сказать, что 1ы — всегда существенно положительная величина, что хорошо видно из ее выражения.
Таким образом, при приведении масс в механизмах с двумя степенями свободы все звенья можно разбить на три группы. К первой группе относятся звенья, положения которых определяются лишь одной обобщенной координатой ~р,. Массы таких звеньев не могут входить в выражения 1„и /ы. Ко второй группе относятся звенья, положения которых определяются лишь одной обобщенной координатой 1о,. Массы таких звеньев не могут входить в выражения для у„и 1„. Наконец, к третьей группе относятся звенья, положение каждого из которых определяется сразу зеб Го.
!7. МЕХАНИЗМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ двумя обобщенными координатами, ср1 и сра. Массы таких звеньев могут входить в любое из выражений ри,,714, 144, причем выражение для /14 целиком состоит из слагаемых, в которые входят массы только этого типа звеньев. Если окажется, что в механизме с двумя степенями свободы пет ни одного звена, положение которого определяется двумя обобщенными координатами, то величина 414 будет равна нулю, и такой механизм распадется на два, каждый из которых имеет одну степень свободы, и между этими механизмами имеется какая- либо силовая связь. К таким механизмам относятся механизмы, у которых кинематические цепи разделены упругими муфтами, упругими валамп, ременными передачами, фрикционными соединениями и др.
д'. Имея выра!кение кинетической энергии (17.6), выпишем необходимые производные в соответствии с уравнениями Лат» ранжа второго рода (17.4): дТ ! д/и 2 ддса 1 а д!44 дср, 2 дара — Оа! + !О!о!а + — — О!4> ар, 2 дсра дТ д и~1 + 14ыи до!! а т дТ Х асо! дди Йоа дс и — ! — /=си + ас ~ до!а / д4 О!1 + '714 + !в =,/И вЂ” + — О!с+ — Оа!4О4+ сса + дсо! дди 2 дди асоа д4 дср, дара д! + — !О!о!а + — О!а.
да!4 да 14 2 дср, дара Аналогично для координаты «р, имеем дТ 1 дди 2 дди ! д744 2 — СО! + — О!!О!! + — — О!44 дсра 2 аз!а дср, 2 дсра дТ вЂ” = 71!О! + 7 со д«!а и С дТ 1 асос Иса Ао дд.4 / ! с + с ( с ! С! и 1 д„) = ы д4 д! 1 44 ац ' ап йо дди 2 дри ' до!а =,/!4 — + — Оо! + — О!!024 + /44 — + а4 аца дяса дс дд„ с а!а 2 + О21соа + со 4' аз!а аз!а 4 У7.
МУФТЫ С УПРУГОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СВЯЗЬЮ зш После подстановки этих выражений в (17А) и приведения подобных членов получаем окончательно уравнения движении механизма с двумя степенями свободы лГФл Йол ! д/лл у дlлл ,! — + 314 — + — — Ы! + — ГЗ1444+ и 4!1 41 2 дФл длрл l д/лл ! д!44 ~ У лл дэл 2 ~~ / л1414 лГФл ! дл 44 у ддл 44 + 714 + Щ + Гэ!Ы4+ 44 41 д1 2 д~гл длгл ! д!„! д!„~ + ! — — — 1ГЗ1 = л п4. дялл 2 ~р, / Получилась сложная система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой возможно численным методом с помощью ЭВМ. Следует заметить, что коэффициенты этих уравнений являются сложными функциями двух переменных, 1р1 и 1р4, которые должны быть предварительно вычислены, и что это представляет довольно трудоемкую работу.
й 77. Муфты с упругой динамической связью !'. На примере муфты с упругими динамическими связями можно показать, как в отдельных случаях анализ движения для механизмов с двумя степенями свободы может быть выполнен проще путем замещающих масс. На рис. 17.2 показана кинематическая схема соединительной муфты с упругими динамическими связями.
Муфта имеет два диска: ведущий 7, связанный со звеном АВ н двигателем, и ведомый 4, связанный с исполнительным механизмом. К н, звену 1 приложен движущий момент Мп, а к звену 4 — момент сопротивления Мп. При ста- 4 А ционарном движении этого механизма центро- 1 бежные силы звеньев 3 н 3 вынудят группу ВС!7 занять определенное положение, и весь механизм бУдет вРЕЩатьса с оДной скоРостью (Ь11 = и а = Вл).
Прн ЛЮбОМ НЕСтацИОНарНОМ дзнжЕНИИ ~джуфти с'упругпа дп- ЭТОГО МЕХаинзна скоростн Ы И 44 будуТ разЛИЧ паппппскйа ппыьв ны, и механизм следует рассматривать как систему, имеющую две степени свободы. Следует заметить, что угловые скорости и массы звеньев2 и 3 значительно меньше угловых скоростей и масс звеньев 1 и 4, поэтому здесь допустимо произвести статическое замещение масс звеньев 2 и 3, разместив их в точках В, С и О.
3'. Статическое замещение масс состоит в том, что массы звеньев мы будем заменять массами двух точек, размещенных ЗЕ2. Га. 17. МЕХА НИЗМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ !«а ГПО = 1 1 (!т3 )!(Сз )»В = 3 «1В Рис. !1.3. Схема статнчесаото ааментеннч масс а муфте с уо«угой Аниамнее.
оной саааант 3'. После размещения масс звеньев 2 и 3 по точкам В, С, Р динамическая модель муфты (рпс. 17.3) состоит из: 1) 2«! — приведенного момента инерции к звену 7; 2) 4„4 — приведенного момента инерции к звену 4; 3) гпс — массы точки С. Звенья 2 н 3 лишены масс и осуществляют лишь геометрическу1о связь между точками В, С, Р. Теперь 7о1 71+ П!В!АВ, !оа = 74+ !по!Аот П1С 1П2С+ «13Ст 2 2 где 7! — момент инерции звена 1 относительно точки А, /4— момент инерции звена 4 относительно точки А,пгс — масса точки С после размещения масс звеньев 2 и 3. 4'.
Вычислим кинетическую энергию механизма: Т=Т,+Тс+Т4, где 2 В последнее равенство подставим по из уравнения (17.2): «!с Тс = — (ГС\ (гр!т 4р2) 031 + Гса (ч31, чте) 034) МС " 2 2 = — (Гс!011 + 2Гс!Гсг(О!а!4 СОВ у + Гса«34) т где у — угол между векторами Гс! н Гсм соответственно для звена 2 — в точках В н С, для звена 3— в точках С и Р (см. 3 53). Статическое замещение должно удовлетворять двум условиям: 1) сумма замещающих масс должна равняться массе звена; 2) центр тяжести замещающих точек должен быть в центре тяжести звена.
На этом основании имеем: Гла = ГПВ + Гпгс ГП3 = !по + Глас 17.8) ГП (ВО2) = ГП (С52), ГП (Роа) = ГП3 ° (СВ,), ( где пг — масса звена 2, т« — часть массы звена 2, сосредоточенная в точке В; «гас — часть массы звена 2, сосредоточенная в точке С; иа — масса звена 3; т„— часть массы звена 3, сосредоточенная в точке Р; тас— Р часть массы звена 3, сосредоточенная в точке С; 53 и 3, — центры тяжести звеньев 2 и 3 соотГе ветственно. Из равенств (17.8) находим: Ше т«=1+(В3,)!(Сзе)' т = п1г т« э 20. овщля постлновкл злдлчи Теперь кинетическую энергию механизма можно выразить в законченном виде: ! 2 ! 2 44440! + з4440р044+ ~ з44404р (17.9) где 'р!! = рп! + а4сгсрр б!4 = ЯсГсрГс4созу 444 = раб+ ГнсГсб Выражение для кинетической энергии получилось проще, что, конечно, упрощает составление дифференциальных уравнений движения, хотя метод их составления остается тем же (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
