Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 75
Текст из файла (страница 75)
6 76). Следует заметить, что уравнения движения для этого конкретного случая соосного механизма могут быть несколько упрощены, если за одну из обобщенных координат принять угол между звеньями АВ н АО. Глава 18 ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ С НЕРЕМЕННОИ МАССОЙ ЗВЕНЬЕВ !) $ 78. Общая постановка задачи Под механизмами с переменной лбассой зееньев будем пони!!ать механизмы, имеющие хотя бы одно звено, у которого меняетсЯ масса или момент инерции, или положение центра масс звена в процессе движения.
Такие механизмы в современной промышленности довольно широко распространены. Массы, как правило, в этих механизмах меняются прн взаимодействии рабочего органа с обрабатываемой средой. Примерами механизмов, где имеется взаимодействие звеньев с сыпучими телами, являются вагоноопрокндыватели, скиповые подъемники, погрузочные машины в горной промышленности, землеройные машины, автоматические весы периодического действия, весовые доваторы непрерывного действия н другие. Весьма Распространенными являются механизмы с переменными массамн, где рабочий орган взаимодействует с различными гибкими матеРиалами.
Сюда относятся различные моталки н разматыватели прокатных, плющильных и волочильных станов, канатовьющие машины, текстильные и полиграфические машины н т. и. Встречаются и такие механизмы, у которых изменение масс происходит за счет присоединения илп удаления твердых тел; в этом случае масса меняется скачкообразно. Сюда относятся транспортирующие устройства для штучных изделий, скребковьре конвейеры, некоторые автооператоры и роботы и др. Иногда р ° ю б р 4 пнем 4Р* в А.п,б, ЗЭ4 г . нь механизмы с пеевмзнноп млссоя звзньяв низмы, в которых рабочий орган взаимодействует с жидкими телами, например чугуновозы, конвертерные установки, гидравлические аксиальнопоршневые машины, машины центробежного литья н другие. В механизмах с переменной массой могут изменяться инерционные параметры (масса, момент инерции, координата центра массы) в функции времени, положения механизма, а иногда н скорости движения.
Указанные инерционные параметры довольно часто, точно илн приближенно, могут рассматриваться как детерминированные функции. Здесь мы будем рассматривать только такие случаи. Естественно, что при изучении механизмов с переменной массой мы будем опираться на сведения из механики переменных масс. й 79. Динамика точки с переменной массой Р. Под точкой с переменной массой понимают тело, масса которого в процессе движения изменяется за счет присоединения или удаления частиц, а размеры тела таковы, что ими можно пренебречь в данной задаче. Нас это понятие будет интересовать, поскольку оно будет использовано в понятии звена (твердого тела) с переменной массой. Принцип близкодействия, используемый в механике тел переменной массы, состоит в том, что процесс присоединения или удаления частиц, изменяющих массу, происходит мгновенно; при этом частица либо мгновенно приобретает связь (масса увеличивается), либо ее теряет (масса уменьшается).
Например, для случая присоединения массы, исходя нз этого принципа, уравнение движения точки с переменной массой записывают в виде уравнения И. В. Мещерского: т й — — Р+ — „, (а — е) =Р+Ф, ле йл йл где Ф = — „(и — е) — импульсивная (реактивная) сила, е— скорость точки, а — скорость присоединения частиц.
Рассмотрим частные случаи уравнения движения: ле а)а=е, тогда Ф=О и т — =Р. Ж ла ле йл 6) и = О, тогда Ф = — — „е н т — + — е = Р Л1 й й нлн — = Р1 л (ае) Ж 1 ла 1 ле 1 йл в) и = — е тогда Ф = — — е и т — + — е — = Р э й 2 й 2 т а если масса т зависит от перемещения з, т. е. т = т (з), то йе 1, йл т — + — е' — =Р, й 2 й й тр. динлмикл точки с пврвмвннои млссои Ззз Это уравнение по форме совпадает с уравнением движения машинного агрегата (16.6) (см. Э 72), но физический смысл их совершенно различен, так как здесь происходит действительное, физическое изменение массы, в то время как в уравнении движения машинного агрегата это переменная приведенная масса, а масса звеньев не меняется, 2'.
Иногда приходится учитывать внутреннее движение частиц в теле, принимаемом за точку. В этом случае принцип близко- действия не является справедливым, и уравнение движения для точки с переменной массой записывается так (рис. 18.!): т — „, =Р+Я, где йт = йтв + Мт + Ф вЂ” полная реактивная сила, В которой йч = — ~~та" — реактивная ко- Рвс. 1вл. тело, Риолисова сила, а а" = 2ою' — УскоРение Ко-,",Р„"„",",","„",'р,в„'„' риолиса частиц; гв — угловая скорость тела, при- ной массой, е гне- том ввутреввето нимаемого за точку; М' = — ~„'тай — реактивная лвнменнв тветнн сила относительного движения частиц в теле.
Суммирование здесь ведется по всем частицам, имеющим относительное движение в теле, принимаемом за точку. 3'. Для существенного упрощения записи уравнений в ряде случаев используется принцип затвердевания системы. Вводится специальная производная от величин, зависящих от переменных Ве масс; ее обозначают специальным знаком со зведочкой -й —. 2Г' Особенность этой производной состоит в том, что переменную массу можно выносить за знак этой производной или вводить под этот знак как постоянную величину.
Например, мы имеем в (йтв) вв йи — =т — +6— ш ш ш но если использовать эту специальную производную, то в' (ыр) сЬ вЂ” =т —. и ш ' Тогда уравнение движения вместо т —,=Г+Я вв можно записать так: Вводится также понятие затвердевшей точки и формулируется теорема об изменении количества движения: если предположить, что точка переменной массы затвердела и с данного момента нет ЗЗА Гл. 1й.
МЕХАНИЗМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ ЗВЕНЬЕВ изменения массы и нет относительного движения частиц, то геометрическая производная по времени от количества движения этой затвердевшей точки равна сумме главного вектора внешних активных сил и вектора реактивной силы лч. Принцип затвердевания позволяет записывать эту теорему в той же форме, что и для постоянной массы. 4'.
Для динамики механизмов важное значение имеет выражение кинетической энергии. Для точки с переменной массой она записывается так: мпа лтв.в Т= —, 2 2 Если использовать принцип затвердевания, то теорему об изменении кинетической энергии формулируют следующим образом: дифференциал от кинетической энергии эатвердгвшей точки переменной массы равен сумме элементарных работ всех активных и реатпивных сий, приложенных к точке, т.
е. ааТ = Р аг+ Я йг = йАР+ йА„, где дг — элементарное перемещение, йАР— элементарная работа внешних активных сил, йАе — элементарная работа реактивных сил. $ 80. Тело с переменной массой н его кинетическая энергия Р. Под телом с переменной массой понимают- систему точек переменной массы, расстояния между которыми в процессе движения тела остаются неизменными. В таком теле может меняться масса, моменты инерции, координаты э центра масс, а кинематика такого те"л Р ла не отличается от кинематики твер- (Ю дога тела с постоянной массой.
На рис. 18.2 показано тело с пе- ра ременной массой, состоящее из точек и т переменной массы. Относительная 0 л траектория центра масс Б тела внут- Рмс. 1а.а. Тело с перемеииой массой,' а котором цеитр масс переме. Рн тела показана штриховой линией. Мается отиосителым граикц тела УраВНЕниЕ двыженИя цеНтра масс тс- ла с переменной массой формулируется следующим образом в виде теоремы: центр масс тела с переменной массой движется как точка затвердевшей массы, в которой сосредоточена масса тела в данный момент и к которой приложены главный вектор активных внешних сил и главные векторы реактивных сил, Записывается уравнение движения так: В т в"'" =Р+ Ма+Я'+Фа г ва тало с пвэвмвнноп млссои 367 где ез„э — переносная скорость центра масс; Р— главный вектор активных внешних сил, приложенных к телу; я" = Е Юг— главный вектор коряолисовых сил инерции, приложенных и телу) лч' = ~ Я, — главный вектор сил инерции относительного двич ження, приложенных к телу; Ф вЂ” главный вектор импульсивных сил, приложенных к телу.
2'. Под кинетической энергией тела с переменной массой, вычисленной относительно неподвижного начала координат О (рис. 18.2), понимают выражение: ч где и, — скорость точки т тела переменной массы, суммирование здесь идет по всем точкам т тела переменной массы; Тв = = ~т,о„-з/2 — кинетическая энергия тела относительно центра ч масс 5,'где п,е — относительная скорость точки т относительно Я; суммирование ведется по всем точкам т. Из механики тел переменной массы известно, что кинетическая энергия Т, может быть представлена в таком виде: Т Т, топ пер '%0.н 0 з Г 2 Здесь возможен ч~~~~ый с~у~ай: озо,„= О, тогда пз„э =пз и То — — Тз+ тоз/2; последнее выражение совпадает с выраже- нием теоремы Кенига для тела с постоянной массой.
Обратим внимание, что в выражении кинетической энергии (18.1) содержится член со знаком минус, который уменьшает энергию Тв. Не следует этому удивляться, тан кан кинетическая энергия Тг тела вычислена относительно перемещающегося вну- три тела центра масс. Физический смысл формулы (18.1) станет еще более ясным позже. Выражение для изменения кинетической энергии можно запи- сать, используя принцип затвердевания: й*т = йЛ„+дав = й" ~' — '"', л'г 2 где 04е = Я,Р„йг — элементарная работа внешних активных м сил, дАл = ~ Я Дг — элементарная работа всех сил инерции ч относительного движения, кориолисовых и импульсивных сил, приложенных к точне т. Словесно можно записать, что дифферен- Чиал кинетической энергии затвердевшего тела переменной массы равен сумме элементарных работ внешних активных и реактив- ных сил, приложенных к телу.
зва г . 1в. механизмы с пвввмвннои массон зввньвв й 81. Уравнение движения машинного агрегата с переменной массой звеньев 1'. Общности ради допустим, что все звенья в механизме имеют переменную массу; выразим кинетическую энергию 1ьго звена в форме, удобной для динамики механизмов (рис. 18.3). Имеем вначале Иг!Раун,п !ПУПЗУОтп Ту — Та.+ 2 2 ! где па.„п — относительная скорость центра масс звена, кото- !отп рая определяется исходя из характера изменения массы звена; пп.п,р — переносная скорость центра масс звена, она может быть ;пер определена, например, методом планов скоростей, так как это скорость той точки звена, которая в данный момент совпадает с цент- ч го!тот!э й = ' ~у, °;,. ром масс звена; Тп.= 7 !' а ~ 2 ! кинетическая энергия /-го звена относительно центра масс этого звена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
