Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. последовательно перемножая ') названные матриша, мы находим пять матриц Мщ, Меа, ..., Мое. Именно эти матрицы вместе с ранее НайДЕННОй Мод ПОДЛЕжаЛИ ОПРЕДЕЛЕНИ1О. р'. Переходим к вопрошу определения абсолютных координат точки иа звене открытой цепи. Пусть, например, на звене 6 задана точка Р (рис. 8.17) с относительными коордннатамн хрю~, у1з1, гр11, они являются проекциями вектора ЕР = с на осн системы Ехеуаха $ 37. ВБКТОРНЫИ МБТОД КИНБМАТИЧБСКОГО АНАЛИЗА 181 Для определения абсолютных координат точки Р ее радиус-вектор гр = ВР представляем в виде суммы гр = 14)ив+!41ел+ с = а + Ь + с.
(8.3О) В этом равенстве сумма первых двух векторов 141ап = а и 141сп = й определяез радиус-вектор ВЕ точки Е. Векторы а, 8 и с известны нам соответственно в координатных системах Оае 04 н О,. Выписываем матрицы. столбцы 1 е 1ЕО палл О был ~ О О (8.31) составленные иэ проекций одноименных векторов на оси к,, у,, г, (й — номер системы координат Оз), опи содержат известные нам неличный. Проекции векторов-слагаемых равенств (8.31) с помощью матричной фор.
мулы (8.17) мы переводим в неподвижнуло систему координат 04 = В куг, связанную со стойкой. Получим гр Мээаон+ ММЬ'4'+ Мзэс'зл, (8.32) где хр гр= ур гр щ~~эл щяэл щцэл Мы = щэ41эл плЯзл лл)йэ> щ4ээЛ щгэээЛ щеээээ> (8.33) есть матрица. столбец из збсолютных координат точки Р. При гр верхний нндеко лбэ мы опустили, как и прн осях к, у, г и нх ортах. Аналогично изложенному выше можно определись абсолютные координаты любой другой точки механиэлла, 10'. Задачу о положениям мы окончим вопросом о проекциях едиинчныи векторов осей шарниров А, В, ..., Р; нх мы обозначим через е„е„..., ал.
Эгн векторы совпадают с одним нз ортов координатных осей на звейьях 4, у, ..., б, н, как мы увидим позже, нх проекции на оси неподвижной системы координат 04 содержатся в матрицах М,л, Мы, ..., М,м, ранее вычисленных. Возьмем одну из трех матриц Мэв (й = 1, 2, ..., 6). В матрице М,А элемен. тами первого, еторого н третьего стол б ц он являются направляющие косынусы осей г„, у, гь всистеме04 или, что тоже, проекцны ортовгэ,/А, й на оси г,унг. Для получения проекций интересующих нас ортов мы можем ограничиться РассмотРением только тРех матРнц Мм, М,з н Мэл из шести Ранее пеРечислен. ных. Это объясняется взаимной перпендикулярностыо трех пар шарннров А и В, С и Р, Е и Р. Проекцйи ортов е, ж 1, н аэ ж йл и йэ осей шарниров А н В содержатся в переом н третьем столбцах матрицы Мы.
Проекции ортов аз м й„и е, м 14 м 14 осей вращательных пар Си Р в матрице Мю занимают соответственно третий и первый столбцы. Проекции ортов е„ж Ф, н е„м 1, м 14 осей пар Е н Р содержатся соотвсть ствеыно в третьем и первом столбцах матрицы Мы', 132 га. а. пРОстРАнстВенные н плоские механнвмы Ниже в качестве примера мы приводим матрицы-столбцыг е, с,р — — шЯ", ез = езр ш()ь', (8.34) еа,а с еафа,а „ еа,а >в - еафа,а м (8.35) (8.36) коллинезрныг оси вращательной пары, соединяющей звенья Й и Й вЂ” 1; еа является единичным вектором оси втой пары.
После вычисления проекций этих векторов можно перейти к определению абсолютных угловых скоростей н ускорений. Абсолютное движение авена й складывается из двух движений — переносного аиссам со звеном а — 1 и относительного по отношению к этому звену. Векторы ва, и ва, а, есть угловые скорости этих двух движений. Известно, что угловая скорость авена, совершавшего сложное движение> складывается из угловых скоростей его в переносном н относительном движениях. Следовательно, угловая скорость звена й равна еа = ва. с + ва. а-г (8,37) Эта формула позволяет последовательно определить угловые скорости всех звеньев 1, 2, ..., б.
Иь>еем в, в, +чйгэ = е,фш, (8.38) е, = в, + в„ = есфгз + езфтс видно, что угловая скорость еа авена й, равная ег,г, есфс,! „ (8.39) Из последних равенств ,Е, Е, слагается из относительных угловых скоростей звена й я всех ему предшествую. щнх в цепя. Формулы для вычисления проекций угловых скоростей нмвот схожий с (8.37) в (8.39) внд. Схожа н матричная запись этих формул, например гоа = ва т+ о>а. а м (8.40) если через вю ва, и ва,а х обозначить матрицы-столбцы нз проекций одно- именных векторов на координатные оси к, у н с. составленные ва проекций векторов еэ н ез иа координатные ося х, у, з.
В ния представлены элементы третьего и первого столбцов матрицы М Из предыдущего видно, что определение проекций ортов е,, е,, ..., е, сво. дится к тому, что этим проекциям мы приписываем (спрнсванваемэ — в терми. яах программирования на ЭВМ) вязчення определенных элементов матриц Мец Меи «,А!в. !!'. Переходим к рассмотрению вопроса об определении угловых скоростей и ускорений звеньев механизма (рис. 8.!7). При определении этих векторных величин считается известным движение каждого звена а по отношению к предыдущему й — 1. В рассматриваемой нами цепи (рис.
8.17) эти движения определяют производные относительных угловых скоростей и ускорений фа,а, и фа,а х (й = 1, 2, ..., 6) (это пронзводные по времени от обобщенных координат >7 = >рг„а, цепи, н поэтому их можно назызять еще обобщенными скоростями н ускорениями, или ия аналогами). В относительном движении звена а по отношени>о к звену й — 1 угловая скорость и угловое ускорение звена есть векторы 4 зт.
ыекторныи метод кинем»тического»н»лиз» 183 Угловые ускорения звеньев цепи можно определить; применяя последоваччльно к ее звеньям 1, 2, ..., б формулу е» =е» »+е»,», + в» гхвж» „ (8.4!) которая является векторной записью теоремы об угловых ускорениях в сложиом движении звена. В этой формуле, полученной в результате дифференцирования по времени выражения (8.37), первый член вг, г = бы» г/б/ есть угловое ускорение нераненого движения (авена й — 1). Совокупность двух других членов выражает произ. водную бв»,» ~/б/; вектор е», » г углового ускорення звена й в относительном движении характеризует намейенне вектора в»,» г по отношению к находящемуся в движении звену й — 1 (зто относительная проиэводнаа вектора в»,» г), а член в»,Хв»,», учитывает влияние поворота анен໠— 1.
12'. Переходим к определению линейных скоростей и ускорений звеньев, После того как ыайдены угловые скоросты и ускорения звеньев исследуемого мекаввзма, эта задача не представляет особых трудностей. Как известью, двыженне звена механизма можно разложить на переносное поступательное с полюсом в произвольной точке О и вращательное (сферическое) ошшо втой точки.
Поэтому, есин через ое и аг обозначить скорость и ускорение полюса О, то скорость н ускорение какой-либо точки'М тела мы можем представить в виде сумм ом = по+ ымо, (8А2) ам ао+ амо (8. 43) в которых через ымо н амообозначеиы скорость н ускорение точки М в движв ниы по отношению к полюсу О. Эти векторные величины вычисляются по формулам ымо ° вхр, (8.44) амо = вх (вхр) + вхр, (8.45) где в и в — угловая скорость н ускорение тела, а р ОМ есть радиус-вектор, определяющий относительное положение точек О и М. С помощью приведенных выше формул можно определить скорость н уско- рение любой точки рассматриваемого нами механизма.
Пусть, например, нужно определить скорость и ускорение точки Р на звене б (рис. 8.17). Выбрав в качестве полюса точку Е, будем иметь ор ые+ оре= ыл+ вгхЕР. (8.46) Если сюда вместо вектора ые на основании аналогичных равенств подставить ые ыо+ ыеп он+ вин+ ыео вгхВс+ вгхСе, чик как ыы = О, то, следовательно, ыр = поз+ о»ц+ яре = взхВС+ вгхСЕ+ вгхЕР. (8 47) В этой формуле векторы ВС = а, СЕ = Ф, ЕР = а нам известны своими проек. пнями на осн к, р, г. Эти проекции определялись с помощью матричной формулы (8.32) прн вычислении абсолютных координат точки Р. В проекциях на те же осн ыамн были определены эсе угловые скорости н ускореыня.
Поэтому ксполь. аование формулы (8.47) затруднений ие вызовет. Ускорение точки Р можно записать в виде равенства типа (8.43), т, е. ар= ае+ аре. (8 АЗ) Из аналогичных сон~ношений следует, что ае мпо+ аес аз + агы+ аеп 184 гл. з. ггноствлыстввыыын н, так как ав = О, то, следовательно, ар еев+ апе+ арв, (8А9) где аев ыв Х (ы, Х ВС) + ев Х ВС, аяп см ые Х (ые Х СЕ) + зе Х СЕ, арн ы, х (ы, х ЕР) + ае х ЕР. Аналогичным образом можно определить скорость н ускорение любой дру. той точки механизма. И'. Рассмотрим вопрос о том, как с помощью векторного метода, изложен- ного нами выше для общего случая пространственной кинематической цепи, могут быть решены некоторые частные виды пространственных мехзннзмов.
Начнем с рассмотрения кинематики ранее приводившегося сферического механизма. г На рис. 8.20 изображена схема сферического в' четырехзвенного механизма. Оси всех четырех вращательных пар А, В, С и Р механизма пересекаются в точке О. На сферах с центром в точОтт Как было изложено выше, ай 35, в практике .Ъь наиболее распространен частный вид сферического Рнс. зав, схеме сесне.
четырехзвенннка, в нем углы АОВ, ВОС и СОР четкого четмрехввенного мехнннемв равны Ю. Для целей кинематнческого анализа со стойкой 0 связана (рнс. 8.21, а) основная система ко- ординат Охуг, ее ось г совмещена с осью вращения выходного звена 2, а ось г лежит в плоскости осей шарниров А и Р. У вспомогательной системы коорди- нат Ог у гь ось г направлена по оси вращения входного звена 1, а ось уз совмещена с осью у. л=л , б Рмс.
ЗЛ!. К опрехеленнв кнкемвтнческнх параметров крестовннм мехевнвмв меркерс Гтке Через мв, ие н ав = Ф мы обозначим единичные векторы осей вращзтельных пар В, С и Р звеньев 2 и ух). Вектор ив нам известен, ибо положение ') Некоторые необходимые сведения по векторной алгебре даны а приложенив 2 (с. 633). ь зт. ВектОРныи метод кинемАтическОГО АнАлизА !85 звена с задано. Неизвестен только орт ив осы ОС, находящейся в плоскостн Оку. Проекция орта ип нз осн к, у ы г связаны с углом фз поворота авена 2 соотно.
шеннямн нп =созфс, ивг з1пср„низ=О. (8.50) Поэтому, сслн будут определены проекция орта ив, мы без труда найдем угол фз. Для последусошего нам потребусотся проекцнн орта ив на осн к, у н г. Оня таковы: нвх — — соз а соз срс, нвг з!и срс, ивс = — з(п а соз фс. (8.51) Получить этн выражения несложно, Раскладывая вектор ив по осям кь, уь у и ггь имеем ив=!ьсозфс+/з!пфс+йь О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
