Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 41
Текст из файла (страница 41)
20'. Задачу об ускорениях мы начинаем с вычислений проекций векторов р= йзр/й/з н й йза/й/з о помощью формул Р ~ з ф~!з с05 а 510 ф1 ф1! соз а с05 фзз фр фз!! с05 ф~ ф)1~ 5!и фзз (8,94) ()з = ф,1, 51п а 5!п ф, + ф;-'1, 5!и а соз фз н й„— фт СО5 а (и», 5!П фт + из, СО5 фг) — фт СО5 а (Их, СО5 фг — Ир, З!П ф,), йу = ф,(и„,соя ф, — иу,з!пф,) — ф',(ир,з!и ф, -(- иу,сов<!5), (8.95) й, =фзз!па(ирзсозфз — ищз!пфз) — фзз(ирззщфз+их,созф,), й Ее=О Р Е,=Р„ Ез'аз = Рз» (8.96) где 15 Р = — (р р,+е,'р) — ез.р, Р,=-е,.е, -езн !з Левая часть уравненнй (8.96) в развернутой форме имеет внд зз О, Рхйзх + Ррйзр + Рзйзз = Рм а»йзх + Езрйзр + ез Узз = Рз Теперь, когда определен вектор рз, мы из равенства (8.97) у, = (р — р,1,): 1„ (8.98) производного от (8.87), находим вектор е,.
Определим проекции вектора та. Для втой пели используем прнводнмую ниже систему линейных уравнений, производную от (8.89), Имеем пазух + прззр + пзщз = йм ее»ах+ гзрзур+ зз,фз = фм юхмх + шуму + щзйзз = йм где д! = — 2п аз — й тв, дз = -2у, и — рз зв, 45 = -тй аз = -и) . Ниже мы прнводнм еще равенства для определения вторых пронзводных по временн от 1„/„йз — ортов системы координат на звене 2! (15)" = е', (,/з) = (ту — (15) с05аз): 510 аз, Рз = (!5)' 1С,/з 1- 2 (15)' )С (,/з)' + !з ж Цз)'» (8Л96) которые мы получили дифференцированием равенств (8.33) н (8.84), Иа втня выражений видно, что искомые величины явлнются функциями угла ф, поворота звена 1, а такхсе его угловой скорости ф, ы! н углового ускоренна ф, ез, Определим векторы ез, рз н ей. Дифференцируя по времени (8.85), получим систему линейных уравнений для определения проекшзй вектора рз: 4 зт. ВектОРныЙ метод кинемлтическОГО АКАлИЗА 198 н для определения вторых производных от !з, ! н йз — ортов системы координат на звене 3: (!з) =ез (.7з)" = 8 Х эз уз= О.
(8.10!) Для вычисления проекций искомых векторов равенства (8.100) н (8.101) должны быть предварительно переписаны в проекциях на оси к, у и г. Задачу о линейных ускорениях мы решаем двукратным дифференцированием по времени радиуса-вектора интересующей нас точки. Для точки 7( нз звене 2 первая производная этой вектор-функции приведена в (8.92). Вторай производная принимает такой внд: ак =гк =эз!з+(!з) хк +((з) Уки'+й,гк!. (8.102) Это и подобные ему выражения для практических расчетов нужно пере. писать в проекциях на оси х, у н г.
В чзстностя, проекция х ускорения г на ось г запишется так: д е,!з + (! )" х~КЮ + (/ „)" у!АЮ + й где!. (8.!03) Задача об угловых ускорениях звеньев 2 и 3 решается применением общих формул (8.139) и (8.14!) из 4 37, 3!'; все нужные для этого велячины нами определены. 8 Рес. Зжт. Кнаенатаческая схема пространственного кривошипно-еоазуаного механезма 2)ь. Переходим к рассмотрению кинематики пространственного кривошипно. ползунного механизма. Схема исследуемого механизма приведена на рнс. 8.27, Входное звено ! механизма соединено со стойкой О вращательной парой А.
Ось АМ этой пары скрещнваегся под некоторым углом а с осью А!(1 поступательной пары Р, соединяющей выходное звено 8 со стойкой. Движение от авена 1 на звено 8 передается с помощью шатуна 2, присоединенного к звеньям ! н 8 шаро. вой с пальцем нарой В и шаровой парой С. В механизме ось Аг!1 поступательного перемещения авена 3 не лежит в пло. скости вращения оси АВ кривошнпа !. Это отличает пространственный кривошипно-ползуниый механизм от одноименного плоского. Рассматриваемый механизм принадлежит к пространственным механизмам общего вила. Учтя, что в механизме имеются пары только пятого, четвертого н трегьего нлассов, по формуле Сомова — Малышева находим: йг= 6п — брз — 4рз — Зрз 6 3 — б 2 — 4 ! — 3! = 1, т.
е. механизм обладает одной степенью свободы. Со стойкой связана система координат Агуг (рнс. 8.28), в ней мы будем пасти кннематнческяй анализ механизма. Ось у этой системы параллельна липни МЖ кратчайшего расстояния между осями АМ и 170 кинематических пар А нгз, аосьгсовмещена с осьюшарнира А.
В плоскости Аху вращается ось АВ авена 7, его положение определяет угол тм С помощью единичного вектора ез оси звена 3 мы задаем положительное направление оси А(!) пары О. Этот вектор образует с осью г отмеченный нами угол а и соответственно его проекции на осн г, у и г: еза= з(па, езр = О, гю сша, (8, 104) 186 гл. а. пуостэлнствпннып и плоскип мпхлнизмгп В шаровой с пальцем паре В нммотся две осн вращения; этот вопрос мы рвссматрнвалн в и. !б настоящего параграфа.
И в данном случае мы прнмем, что звену 1 принадлежит элемент пары с плоскостью прорези. Единичный вектор и этой плосностн является нзвестным в осях системы коордннат Акту,гм прнвязанной н звену !. Ось гт втой системы направлена по осн АВ звейа, а ось гт совмещена с осью г. Встречается модификация механизма, в которой обе пары В н С вЂ” шаровые. Шатун таного механнзма имеет свободу вращения около своей осн ВС. Но ето, как было уже указано выше, не влияет на кинематику звена У. 22'. В задаче о положениях механизма мы вначале определнм положенне точки С н осн звена 2, а затем положеняе осн пальца пары В.
После этого несвожно решится вопрос об абсолютных координатах любой точки механнзма. Замкнутость векторного контура Д!СВАМл! — основное условие, с которым связано определеняе положення точка С н осн ВС авена 2. т, Это условие удобно эапнсать так: л!С -(- СВ = р, (8.105) л где р = Д!М + МА + АВ. По- 8 г г лученное векторное равенство е Ю можно заменять двумя следую- Р вв щнмн: евш + ев!х = р, е! = 1, (8.106) ряс. а.зз.
к оврехевеввю вввемвтвчесввх оврв. еслн через цт обозначить проекметров крввомввво-воввтввого мвхввввма цню вектора ФС на положнтель. ное направление осн пары Р, а через 1в я е, обозначать длину в едяннчный вектор осн звена 2. Равенством Е1 1 мы Указываем, что введенный немн вентоРее ЯвлЯетсЯ единичным. Вектор р является функцией угла фм его проекцнн можно вычнслнть по формулам рм !х соз рх, рр — ум+ 1, з!и ~рх, р, = — !лм, (8.107) где ! = А — данна звена 1, а у — орднната точки й! (на рнс.
8.28 у „( 0). Уравнение (8.106) мы используем для определения алгебраической вели- чнны гп н проекций вектора е,, т. е. четырех скалярных величин. Это воэможно, нбо этн уравнения эквивалентны снстеме четырех скалярных уравнений. )(ей- ствнтельно, если первое уравнение переписать в проекциях на осн к, у, г н развернуть второе, то мы получим а!па гп+ !вевв — р„, (8.108) сова.зс+ !зззв Р„ 0 ге+ 1,е,г рг, 4,+ зг+ тг-1.
Это снстема трех лннейных н одного квадратного уравнення относктельно пскомых величин, она имеет два'решення. Налнчне двух решений для искомых величин объясняется тем, что прн одном н том же положення крнвошнпа ! ведомая часть 2 — У может быть собрана двояко (рнс.
8.27). В этнх двух сборках центр шаровой пары С располагается по разные стороны от точкн !у. Нам нужен крнтернй, с помощью которого мы сможем выбрать нужное нам решенне системы (8.!08). В качестве этого критерия удобно выбрать велнчпну Ь, = з!8п (е, ев) (8.109) прнпнмающую одно на аначеннй +! нлн -1; это знак проекцнн вектора е, на направленнеее. В сборке ВСР орт е, ося авена 2 образует с ез тупой угол, я так как в этом случае е, ее<0, то б -1. В сборке ВС'Р' угол между е н ев острый к соответственно 8 +1. эзт. ввкторнын мвтод кинимлтичвского лнллиэл 102 Ниже мы приводим решение системы (8.108). Вначале определяется величина аг с помощью равенства (8.110) где Ь = - ег р = — (р„з!и а+ р, соз а), с = р — !т — — р„+ рг + р, — !г.
т 2 т г г г Далее вычисляем проекции едннячного вектора ег, руководствуясь вытекающей нз (8.106) завнсимостью (р — еу,) (8.11!) 22"-. Переходим к определению единичного вектора вг оск пальца пары В. Предварительно нужно вычислить проекции орта и плоскостн прорези ша. розой с пальцем пары В на осн системы координат Ое Агуг. Помня, что зтот вектор известен в осях системы О, = Акгу,гг, для получения нужных нам вели чнн используем матричную формулу тнпа (см. приложение 1) и'з' Мщи"', где иг ихг и<е'= и иго и, г и иг суть матрниы-столбцы нэ проекций вектора и на ося снсгем О, н Ом а соз м, — э)п ~рг 01 Мш з1п в, соз в, 01 0 0 1 есть матрвпа поворота вокруг осн г, ее столбцами являются проекцяи ортов !о ,/, н Ф, на оси к„у, г.
Развернув (8.112), мы прнходнм к следующнм формулам: и„= и„, соэ ф, — иэ, з1п фм (8.113) иг = и„, э1п ~, -~- игг сезар» "г = иге Искомый вектор гв ортогонален к орту и, образует известный нам угол аз с ортом ее оса звена 2, а по велнчнне Равен единаце. Этн тРн Условна выРажаются следующими скалярными уравнениями: и те ° О, е, ш=созаг, таз=1. (8.114) Это снстема двух лннейаых я одного квадратного уравнення относительно проек. цнб векторагм. Такая система рассмотрена н в общем виде решена в прнложеннн 2. Поэтому для определенна искомых проекцнй следует использовать общне формулы (6) приложения 2, предварительно сопоставив обозначения параметров Уравнений (8.114) н (5).
В формулы (5) прнложения 2 входят коэффициент 8, нмеющнй одно нз значения +1 нлн — 1. В данном случае с помощью 8 мы выбнраем то решение~ которое отвечает прннятой в механизме сборке шаровой с пальцем пары В. На звене 2 введена система коордннат Вк,у,г,. Если ее ось г, совместить с осью ВС н направить в сторону точки С (цротнв вектора е,), то угол междуге ', н осью гз ОУДет ()э а + 180 (Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
