Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 37
Текст из файла (страница 37)
впцторнын мптод кинпмдтичпсцого АнАлизА 177 б . В ряде случаев для перевода осей некоторой системы координат 0 в параилельность осям другой системы 0 „приходится выполнить не одна, а несколько поворотов. Рассмотрим вопрос о том, как в атом случае определить матрицу Ма„о . Через Оа, Оа ..., Оа обозначим положения, в которые мы последовательно переводим систему координат Оаз. тот, Зт Рис.
6.14. Расположе- Рис. 6.16. Расположеиие осей координат при иие осей паордииет при аз лт ае уз 6 Рис. 6.16. Расположе. иие осей воордиизт при Зе Зе Для вывода нужной иам зависимости с помощью формулы (8.17) переведем проекции некоторого вектора ю из системы Оа в ее последующие положения.
Будем иметь вщ' М м(а'», а,а, э»аы = М в»~'» = М М э»щ» а,ат а,а, ата, 4 (8.22) Замечаем, что в матриц~произведении Ма„а, множители следуют слева направо в порядке, обратном последовательности йоворотов. Аналогично предыдущему можно записать о»ов '1'з-'з'з'-' ' ав 1'и' М если учесть, что при переводе системы Оа в положение Оа она последовательно в 1 будет занимать положения Оа, Оа, ..., Оа . В-1' В-З' "' 1' Когда известны множители одной нз матриц Ма а или Мал, то может п 1 1 И' быть определена любая нз них, ибо, согласно (8.18), Есни, например, 0„0„..., 04 — положения системы Оо при переводе ез в параллельность осям системы 04, то Мзо МззМззМ11М»о Моз 'и МезМ»зМззМ644 причем М„М;о, Мы = М;„...
Обычно в равенствах вида (8.22) и (8,23) миожителямн являются матрицы типа 8Л9) — (8.21). . Применим изложенный выше метод к аналитическому решению задач кинематического анализа пространственшах механизмов.' Рассмотрим вначале (8.24) Ф в =Ма а »п(из)=Ма а '.- МаоМаам(1).
Сопоставление последнего выражения с формулой (8.17) приводит нас к выводу, что 178 Гм. э. пРОстрлнстипнныи и плОскии михлниэмы механизмы, образованные из незамкнутых или так называемых открытмх иинематических цепей, представлвкецих собой рид последовательно соеивненвыи звеньев, каждое из которых является входным. Звенья незамкнутой цепи могут иметь различное число степеней свободы„ но число степеней свободы В' ее последнего звена равно сумме чисел степеней свободы всех кинематичсскнх пвр цепи. Если пень имеет только пары Ч класса (рис. 8Л7), то ЯУ совпадает с числом Ра этих аар. гп Рмс. Е.И.
Слсма маламмама рулил мавппулятара Решение задач киненатического анванэа открытых цепей будет пояснено на примере схемы, представленной на рис. 8,!7 и обычно используемой в манипуляторах в качестве механизма так называемой «руки». Все звенья этой цепн— стойка О я шесть подвижных звеньев 7, 2, ..., б — соединены между собой вращательными парами. Осн соседних пар А и В, С и 17, Е н г" взаимно перпендикулярны и пересекаются между собой. Точки В, С и Е лежат в одной плоскосл н с осью шарнира А; этой плоскости (иа рис. 8.!7 она не показана) перпендикулярны осн шарниров В н С.
Переменные параметры, с помощью которых мы определяем положение системы, как известно, носят название обобщенных координат. В открытой цепи в качестве обобщенных координиг дп да, ..., пп следует выбирать линейные и угловые величины, которые определяют взаимйое расположение звеньев кино. матнческих пар цепи. Для поступвтваьной пары это изменяемый размер ! вдоль оси пары, а для вращательной пары — это угол ~рь, ь, относительного поворота звеньев пары й и й — !. Так, например, в качестве обобщенных координат ры д„..., да открьпой цепи на рис. 8.17 удобно принять шесть углов ры, сры, ..., Чаа относйтельного поворота соседнни звеньев этой цепк.
6 зт. ппкторнын мптод кинпмдтичпского дндлизл 178 Длн целей квнематнческого анализа с каждым подвижным звеном й цепи (й 1, 2, ...) мы связываем декартову систему координат Оь с осами х,, у„, ав. Наличие этих относительных, иначе локальных, координатйых систем позволяет иам: а) составить матрицы поворота для перевода проекций вектора нз относительной системы координат в абсолютную и наоборот; б) пользовншся определенным правилом знаков для измерения углов поворота н их производной по времени, т. е.
относительных угловых скоросшй и ускорений звеньев. бь. В задаче о положениях открытой цепи по заданным значениям ее обобщенных координат нужно в системе координат Ое, связанной со стойкой, определить проекции единичных веиторов осей кинематическнх пар и звеньев, а также абсолютные координаты интересующих нас точек. Связывая координатную систему Ое со звеном Й, одну иэ ее осей, например зм нужно совместить с осью пары (поступательной или вращательной), соединяющей это звено с предшествующей, а другую ось — с осью звена. Обратимся к схеме механизма, показанного на рис.
8.17. В каждой из точек В, С н Е пересечения осей соседних вращательных пар мы располагаем начала координатных систем двух соседник звеньев. У звеньев 7, 3 н 6 оси х» зэ и гэ мы совместили с осями шарниров В, С и Е, а оси х,, хэ и хэ направили вдоль осей пар А, Р и Р. Связывая координатные осн со звеньями 2, 4 н 6, мы должны учесть, что с осами пар В, Р н Е ранее были совмещены осн зд, хз н хэ.
Поэтому с последними $ . добно совместить одноименные оси гэ, ке и хе. Наконец, совмещаем ось кэ с осью С звена 3 и принимаем, что ось г4 параллельна оси зз, а ось гз параллельна плоскости захвата, т. е. плоскости звена 6. В заключение отметим еще, что у неподвижной системы координат Ое = В куз ось х удобно совместить с осью хт и также направить ее вниз. Оси хз ж хз, зз н зз перпендикулярны соотвектвенно плоскостям углов абраг = к„хм Пзз = хэ, хэ. пы = к„х, (8.26) и определяют положительное направление нх измерения — против хода часовой стрелки, если смотреть с конца кооршзнатной оси.
Отмеченный на рнс. 8.17 упзл ~р4з для удобства чертежа измерен в противоположном направлении и поэтому взят со знаком минус. Трн угля угз=зм х. Фее=хе хз увз=зе зз (8.26) измеряются в плоскостях, которым перпендикулярны соответственно оси хт ы к, х, ж х, н кз ы хе. Этн оси определяют правило измерения названных углов. Имея декартовы системы координат Оз, Ом ..., Ое на звеньях О, ), ..., 6, можно определить матрицы поворота Меы М = М,мце Мез = МегМыМтз = МыМвз (8.27) М, = МетМгз " Мве МыМы Эгн формулы записаны в соответствии с правилом (8.22). Легко видеть, что по известным множителям Мм, Мы, ..., М,е матрицы Мы могут быть определены есе нужные нам магрицй поворота Мм, Меэ, ..., Мее. Их, естественно, удобно определять в перечисленной последовательности с помощью правых частей формул (8.27).
Таким образом, мы вначале должны составить матрицы Ме„Мць ..., Мзе. Это связано с рассмотрением взаимного цоложеннв осей двух координатных систем, указанных в индексах матриц. !Э) гл. з. цнсстнлыстнпныып м г1лоскмп щнхйыызмы В исследуемой цепи каждые две соседние координатные системы Оэ н Ой„х (й = 1, 2, ..., 6) имеют по одной оси хань а или зь!!гь ь вокруг которой сн. стема Оа повернута относительно другой Оь 1 яа угол ~рэ, а,. Поэтому среди Мщ, Мщ, ..., Мщ будет всего два типа матриц — матрицы поворота вокруг осей к н а соответствующего номера.
Координатные системы Ое и 01, Оа н Оа, Оа и Ое имеют по одяой общей оси х ш хт, хз щ ха, ка щ хе. Взанмное положение этих тРех паР кооРдинатиьш систем определяют углы 1рте, 1раа н Фаа. Используя рис. 8.18, составляем матрицу Ма11 1 0 О Ме, — — М;о= 0 соэ 1рге — э!п ~рте ° 0 з1п щте соэ щае (8.28) Две другие матрицы того же типа Маа н Мы отличны только тем, что в них вместо Угла 1Рта входит Углы ~Рщ и 1Рщ соответственно. хт У Рис. а.!З. Схема расиоло.
женин координатных осей с соотаетстаувщимн углами между ними хт Рнс. З.!Э. Схема расиоло. женин координатных осей с соотаетстэумщимн углами между ними Координатные системы О, н О,, О, н Оа, Оа и Оа имеют по одной параллельной оси г, щ г„за)!зэ и га)за. Взаимное угловое положение этих трех пар координатных систем опРеделЯют Углы 1Раг, 1Рщ и ~Раа. Используя рис. 8.!9, составляем матрицу Маа1 сов 1Рщ — э!и юаа 0 ~ Мщ -— М;, = э1п ~Раа соз 1Реа 0 0 0 1 (8.29) 1) Решение этого вопроса, так же как и других задач кинематики рассматриваемой миогозвенной цепи, ввиду большого объема вычислений предполагает использование ЭВМ.
Матрицы Мщ и Маа имеют такой же вид, достаточно тольао угол 1ра, соответственно заменить на 1Рза и ~Раа. По известным значенним Углов 171е, ~уаг, ..., 1Раа вычислием элементы матРнЦ Мщ, Мщ, ..., Мы, являющиеся функциями этих шести углов. Далее, используя формулу (8.27), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
