Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(8.52) Ось кь нежит в плоскости Оху н образует угол 90'+ сс с осью г. Понтону ее орт !ь можно представить такнм разложением: !ь = й соз (90" + а) + ! з!п (90' + сс). Подставив вто выражение в равенство (8.52), получим ив = ! соз а соз фс +,/ Шп ср, — й з!и сс соз фс, откуда мы приходим к формулам (8.5!). Перейдем к определению орта ип. Этот вектор образует прямые углы с осямв шарниров О н В. Этн два условия можно записать в виде равенства нулю скалярных произведений Ф ип н ив ип. Вектор ис является единичным, н поэтому его скалярный квадрат дс = 1.
Таким образом, для нахожАеаия проекций вектора дс мы имеем систему трех уравнений: й.ив =О, дв.ио = О, итс = 1. (8.53) Такая система уравнений рассмотрена н в общем виде решена в приложения 2. Сопоставив уравнения (8.53) н (1) приложения 2, применяем формулы (6) прнложення 2 к нашему случаю (с, = с, = 0). Получим иск = 0 н =( — бн „у мв +нв~ ): (нв +пдв ) ., - !с .. 1 тк + 'Ь1: М. + Ьг нлв — ба!и ф, СОЗ фз = Пса = 'ггг!пз ср, + созе а созг срс (8.54) б соз а соз ф, з)п ср, = ьыг —— )'з!псфс+ созсасозсср, Нетрудно видеть, что мы получнлн те же формулы, что н в б 36, но этн фор- мулы содержат козффнцнент б.
Его значениями могут быть +1 вибо — 1. Ниже мы увнднм, что в шарнире Гука с помощью козффицнента б мы выбираем поло. жнтельное направление осн ОС шарнира С. Прн заданном положения звена 1 (осн ОВ) прн|шнпнально возможны две сборки выходной части 2 — у механизма.
Этн две сборки показаны на рнс. 8.21, л, б; в ннх ось ОС перпендикулярна к плоскости и, осей шарниров О н В (в других сферических механизмах втой перпендыкулярнооги нет) и, следова- тельно, располагаетсн на одной н той же прямой. Но положнтельное направле. вне осы ОС в обоих сборках противоположно. Для определенна б нужно мысленно представнть направление вектора А ФХив, нормального к плоскости я„(см. прнложеыяе 2).
Если прынятое ыв. 188 Гх. а. ЙРОстРАнстВенные и плоские механизмы Дифференцируя зто выражение по фп находим 1 бфм 1 — — =соза —. соь' ф, бф» зни ф, ' откуда следует, что бфэ соэ а созе 4Ч фа= зшз ф~ Вели в этом равенстве соз фз заменить соответствующим выражением из (8.54), чо получим окончательно с учетом того, что 5' 1: соха (В 55) бфг з!пз р, + созе а созе ф, Определим еще функцию фэ Нр,лгфз„т.
е, аналог углового ускоренни авена 2. Дифференцируз (8.55), получим — 2 з!и ф, соз ф, соз а (1 — созт а) (Шпэ ф, + созт а созз фг)з Лхфэ Шп 2ф, Шиза — — — (фз)*. бф( соз а (8. 56) если длв более простой записи использовать затем выражение (8.55). Угловую скорость и угловое ускорение авена 2 можно определить с помощью равенств ыз = = фзш1 4~~ бг Жр, е, —, = фты"; + ф.,'е; (В.ВУ) (8.58) оин содержат найденные нами величины, а также угловую скорость звена 1 фг ю, н его угловое ускорение ф, з,.
1о=. Переходим к вопросам кинематики авена 2 (крестовины). Звено имеет одну неподвижную точку О (рнс. 18.21, л), около которой совершает сферическое двшкенне. Свяжем со звеном (рис. 8.22) систему координат Охзузта. Две ее осн хз а уз мы совместны с осами ОВ н ОС шарниров В н С. Ось хэ будет, очевидно, находиться в плоскости и, осей ОВ и Ох= ОО. Так кэх 1, их, 2э мо. то йз —— 1з Х,гз = мв х ис.
(8.59) Проекции орта йэ удобно определять после того, как вычислены проекции векторов ив и «и. Дла этого мы нспользуем формулы йзх — хнхису, йэу = пв.хсх, (В.бб) йм =илхппу — ивуэсх! в шщ Учтено, что исз *= О. правление орта ип совпадает с А, то б +1. Для рис. 8.21, а, б соответственно 8=+1 и Ь вЂ” 1. 14'. Продолжим исследование кинематики звена 2.
Определим аналог угло вой скорости этого звена, т. е. передаточное отношение бф,/йр, = фз. Разделим второе равенство из (18.54) на первое. Получим !8 фэ — соз сх с!8 фи 4 эт, векториыи мптод киипмдтичпского дидливд 18у Рассмотрим вопрос об определенны абсолютных коордыыат некоторой точкы 16 авена. Радиус-вектор гк ОК этой точка можно представать следукнцпм раа накепаем по осям н„уз, ззг гк 1ьтдди + ЬУКМ + ~ззл1 (8.61) где «)гз>, укз', акз1 — коорднпаты точки К в сястеме Ок„у з, Проекцпямп радиуса-вектора г на осн х, у и г являются абсолютные коор дппаты х, у, н з точки К. Ниже првводнтся запнсь проекцнп вектора г»а ось кг хк = 'з гк'+ Ь.ук'+ йь4' (8.62) Рнс.
Злз. К енрелененню енереетей ° ускорений нреетенннм ефернчеснегн нехеннене Эта формула, будучи переписана а проекциях ва осв к, у я з, позволяет вычпслвть проекцяп вектора йе по нзвестным проекцпям ортов!„,,уз и пх пропэводных по времени. Определим далее скорость точкя К.
Выраженпе для скоростн пк этой точка мы получнм з результате дпфференцнронання аыраженнв (8.61). Получаем ое — гн (1з) лз + (ез) Й + йавз . (8.66) Проскцня этого вектора па ось к й !1 г) х1З1 + ~! ) у~а1 + й (8.67) как н дне другяе его проскцнн, содержнт найденные нами нелнчнпы. Задача об ускоренпях рюпнегся аналогично предыдущему. Для этого нужно проднфференцпровать по времепп равенства (8.63) — (8.66).
Велнчнны г,„= пв„, !не = ион вычнсляем по нэвестному углу фх с помощью формул (8.51), (8.50) и (8.54), а координату йн — используя уравнеыпе (8.60). Определение скоростей связано с прпнлеченпем производных по временн ум (1з)'= ав (.уз)'=йс н й;. В расчетные формулы для вычисления этнх зелнчнн л войдет угловая скорость м, и, звена !. н~ Формулы для вычнсленыя проекпнй нек- уч ' ц/ е. тора (1,)' получаем дифференцированием равенств (8.5!) $ (!нх)'= йвн — Фтсозсгз1п фз, екель д ятннь х (1ззу = и вн Фз соз Фг, (8.63) Ю (1зе)'= йвх = Ф,соха сонме.
Прп дпфференцпроваппн по временн равенств (8.50), которыми выражены проекппн вектора пс = /з, мы будем считать, что фн — — фз 0рг), а угол фз поворота звена ! является функцней временн. Получим ()зх) = йпн = Фг'Рзаюфн~ (!зз) = йса = Фг<ре соз Фн, (8,64) (!зт)' 0. Эты формулы содерхчат величины з(п р„сон Фн н <рз', которме вычясляются по формулам (8.54) и (8.55). Теперь можно определить вектор йз. Дпфференцнруп (8.59), мы получнм аенторпое соотпошенпе 11з = (!н)' Х /з + !з Х (,ггз)' (8.65) 133 Гл. 8. простРАнственные и плОские мехАнизмы 1б'.
Переходим к рассыотрению кинематики пространственного кривошипнокоромыслового механизма, схема которого приведена на рис. 3.23. Механизм используется для передачи вращения между скрещивающимися под некоторым углом а осами ОМ н АУ. Входное звено! и выходное звено 8 соединены со стойкой О вращательными варами; осн АВ и СВ зтих звеньев перпендикулярны к осям вращения 0М н АМ. Шатун 2 присоединен к звеньям 1 н 3 шаровой (сферической) с пальцем парой В и шаровой парой С. Рне. з.гз. Кенеметеееекее схеме ороегрееетееоеого крееошеооо.хороммсеоеого мего.
еезме Как было показано в $11, для определения числа степеней свободы пространственных механизмов общего вида можно использовать формулу (2.9). В механизме имеются пары только Ч, 1Ч и Ш классов. Тогда по формуле Сомова- Малышева находим: йт бл — бре — 4ре — Эре=6 4 — 5 2 — 4 1= 1, т, е. механизм обладает одной степенью свободы. Звено 3, в отличие от крнеошипа 1, не делает полного оборота, к позтоыу его, по принятой терминологии, называют коромыслом. Со стойкой связана основная системз координат Огуг, ее ось г совмещена с осью шарннра 11, а ось у принята параллельной линни МФ кратчайшего рас- ф эт, ВектОРНЫИ метОд кинемАтичеСКОГО АнАлиЗА 189 стояния между осями 0М н АА1. Целесообразность такого расположення осей снстемы 0хуг будет ясна нз дальнейшего.
Со стойкой связана еще вспомогательная система координат Ахьуьгь, ее ось гь сов»2ещена с осью шаРниРа А, а ось Уь паРаллельнз осн У н напРавлена в же сторону. Ъ глы Члл н Ва поворота звеньев 1 н Я измеряются от осей хь н х против хода часовой стрелкн, если смотреть с конца осей гь н г соответственно. Этн направлення являются положительными н для угловых скоростей н ускорений.
)ла рнс. 8.2Э показана также снстема коордннат Ахауага, привязанная н звену 2. Этому звену принадлежит один нз двух элементов шаровой с пальцем пары В. Такая пара допускаетдва вращательных двнження — вокруг осн пальца к вокруг осн, которая перпендикулярна к плоскостн прорези. Для определенности мы примем, что в паре В элемент с плоскостью прорван прннэдлежнт звену 1, н соответственно будем счнтать, что в р„= хв = 1лл з)п а + 1, соэ а соз <р„ Рэ = Уз=Ум+ 1»5!пфл, Ра — — гл = 1лм соэ а — 1пм — 1л з)п а соз йлл, (8.69) С Яг Рнс.
Э 24. Схема распопожспня Рмс. Э 22. Распоножавпа ортов ноорцн нагими осей на звене СВ м н и в жаровой пара с пальцем осях снстемы Ах,у,гл нам известны проекцнн орта а плоскости прорези — едяннчного вектора, ортогонального етой плоскости (рнс. 8.25). Другой, ему перпендикулярный, орт осн пальца на звене 2 мы обозначим через тв. В некоторых случаях у шатуна 2 обе пары В н С делаются шаровыми.
Это приводит к тому, что шатун приобретает свободу вращення вокруг своей осн, становится аплавающнм». Появленне втой дополннтельной степени свободы у механизма не кзме- г няет, однако, кннематнкн коромысла 3. ', " Фв"ас 17'. В задаче о положениях мы определнм в абсолютной системе коордннат 0хуг положение осей звеньев 3, 2 (рнс. 8.23) н пальца пары В (рнс. 8.26). После этого несложно решится вопрос об абсолютных коордннатах любой точки механизма. Замкнутость векторного контура 0СВАА1М0 (ркс. 8.23, а) — одно нз условий, г, с которым связано ойределенне положений 1 осей звеньев 3 н 2. Это условие имеет внд: Е,1,+ е,1,=Р, (868) ра са осв йввьцв пары тле Р = 0В = 0М + МУ + УА + АВ, а через э„е, н 1„1, обозначены едкнечные векторы осей звеньев 2 н 3 к нх длины. В уравнении (8.68) вектор АВ мы замеэнм его разложением А В = 1ь(, соз Рл +,/212 э)п <рл, где 12 = А — длина звена 1.
После этого мы легко получим выраженне для Рп РэнРх: 190 Гл. з. пРОстРАнстВенные и плОские мехянизмы 11 — 2(зр ез + рз = 11, откуда следует (Рз+ Д вЂ” 1!) пз'Р = з (8.71) причем Р' = Р' = Р,', + Р„ '+ Р,'. Это уравнение вместе с первым н третьим нз (8.70) прнводнт нас к следую. щей системе уравнений для определения проекций вектора: й е, = О, Р ез = 7, е1 = 1, (8.72) где 1 = 21з Такая система уравнений 'рассмотрена и в общем виде решена в прнложепни 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
