Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 42
Текст из файла (страница 42)
8.29). 198 га. з. прострлнствыннып н плосцнв мвхлннвыы В этом случае получаем 1з — ег г»з (ги — 1а соз йг): г(п Оз, йз = 1г Х /з, (8.115) если для определения ортов/г н Фг прыменять формулы (11) и (!2) из прило- жениЯ 2. Дла вычнсленыа пРоекций оРтов 1„,/г и Ф, зты фоРмУлы нУжно пеРе. писать з проекциях на оси к, у н г. 24'. Определение абсолютных координат заданной точки механизма требует составления выражеияя для радиуса-вектора етой точки с началом в точке А, Для точки К на звене 2 (рис. 8.28) выражение имеет вид г = АК = АВ+ВК е111+1гс»й»+УтУЛ»+ йзгф>» (8.1!6) глее 1 сов ~Р +Усозмы а к)з1, У)сг>, г)н — кооРданаты точки к в системе Вкгу,гг. Абсаиотные координаты точки К есть проекпля ее радиуса.вектора г на ося к, у и г.
Следовательно, кд 1, сов ~р, + 1ткф+ 1~ у(л)+ йзкг)~г!. (8.1!У) Аналогично определяются координаты эаи данной точка звена у. у скстемы координат Скзуггз на звене 8 ась гз удобно совместить а осью поступательной пары, а ось уз прннять параллельной осн у. Тогда 1з,/, йз = ез, э рмс, зжз. схема расеоаеме- проекцви одного неизвестного ыам орта 1з бу. ааг вюРлааатамл осев аа эве- дУт 1 *м саги, (зг О, (зг' — э!пи. 238. В задаче'о скоростях, кроме ' угла фг поворота входного звена 1, задается его угла. вая скорость ф( вг. Этн вванчины входят в формулы для вычисления ироек» ций векторов р = йр/й ы и = Ни!81. Имеем — ф,1, з!п фм рр ф,1г соз и», р,=О (8,!18) йм -фг (икг з1п ~рг + ию соз <рг), йг =* ф, (и„, соз фг — игг ып и1), йг О.
(8.119) Вти рмулы поаучены дифференцировавием выражений (В.!07) п (8.113). й я нахождения линейных скоростей, а также вектора угловой скорости звена 3 нужно определить первую производную по времена ат всех тех вели. чин, которые определялись в задаче о положенных. Определим вектор ег и величину зи — проекцию скорости вв — иа поло жительиое направление ося И) поступательной пары О. Для етой целя мы нспааьзуем систему ураввений ваге+ее(з=р, е, ее=*О.
(8.120) которую получаем в результате дифференцирозаыия равенства (8.106), Йаиболее простой путь рвшеыня втой системы таков. Обе части первого уравнения умножим скалярно на единичный вектор ее. Палучнм ез.еыс р е„ (8.121) учтя, по е,.е, О. 4 и. викторине метод кинематнческого лнллиэл 199 Из последнего равенства следует, что Р Ьп ез в, еэг зщ а+ ееэ соз а (8.122) Теперь яесложно определить проекции вектора еэ, используя равенство е, = (р — еэж): 1„ (8.123) которое получено нз уравнения (8.!20). Для нахождения проекций вектора в используем систему трех уравнений ив= — ии, е,в= — е,.в, вв=0, (8.124) производную от (8.114).
Эта система линейна относительно проекций искомого вектора и в развернутой записи имеет такой вид: и„в + иэюн -1- и,в, = Ь„ ез Ф„+еввг+ее,ю, = Ь„ (8.!25) ваюг+ вэвэ + вгюг = 0 где Ь, = -и в, Ь, = — е, в. Определим теперь производные по времени от ортов 1з, Гг и Фз осей системы координат Вкзу,г,. Для этой цели мы используем равенства (1,)' = — в,, (уз)' = (в — (1,)' соз рэ]: з!и р„ йз =(1з)' Хь+1э Х(уэ)'. (8.126) где в, — Ар', з!п ~р, + (~р, соз в,. Проекция скорости вк нз ось к равна "к =' — ф!1! "" Ч! + ((зх)' гк'+ ()зх)' Угн+ йтггкщ (8'28) Аналогично записываются и две другие проекции вектора вк. Вектор угловой скорости вэ звена 2, находящегося в пространственном движении, может быть определен по общим формулам (8.138) из 4 37, 30'.
27ч. В задаче об ускорениях угловая скорость фг = в, и угловое ускоре. нне фг зг входного звена 1 входят тольно в формулы для вычисления проекций векторов р': гррягз и й=грия1з. Они получены дифференцированием равенств (8.! 18) и (8.119) и имеют такой вид: рх фг(г яп 1Р1 ф)1! соз фа рэ ф1! соз ~р, — ф11, з!п ~р„ (8.129) рг =0 йг~-фг(пшз1пф,+яэ,созф,)-ф',(пггсозв,-п,гз(пф,), йэ ф, (»„, соз ~рт -н„, э!и ~ра) — ф (и„, зш ~р, + ива сов ф,), (8.130) бг ~0. полученные дифференцированяем выражений (8.1!5). Эти равенства соответ.
ствующим образом переписываются в проекциях на оси г, у н г. 2Ь . Задачу о линейных скоростях мы решим на примере скорости точки К (рнс. 8.28). Для втой цели мы проднфференцируем по времени выражение(8.П6) для радиуса-вектора гк. Имеем вя = гк = ег!г+(1з)'гккщ+(уз)'Ук + 1)зэк!, (8.!27) йж00 Га. а.
пРОстРАнсткенные и плОские мехАнизмы (8.132) где с, = — й тв — 2и е, с,= — вз тв — 2е, в, ез=-шз. Обратимся далее к равенствам (8.126) и продифференцируем их по времеви! (1,)" — еа (У~)" = [ш — (1~)" соз [!з]: юп 0м (8.135) й', = (1,)" Х Уз + 2 (1,) Х (Дз + 1з Х (Ь) Переписав ати равенства в проекциях на осн х, у и з, мы сможем определять по ним проекции искомых векторов. 29'. Для решения задачи о линейных ускорениях мы дважды дифференцируем по времени выражение радиуса-вектора нужной точки.
В качестве примера определим ускорение точки К на звене 2 (рис. 8.28). Первая производная ее радиуса-вектора была составлена пря яахождении скорости як. Поэтому, дифференцяруя выражение (8.127), яаходнм ак —— гк ед! + (1з)" х)с! + (/,)" у)ст! + Ф вЯ), (8.136) где е, = — 1(]р, з!п ~р, + ]р] соз фг) +,/ (]р соз <рг — ф] з(п фь). Переписать такое выражение в проекциях нз ося х, у и з не представляет аатрудненяй. В частности, проекция на ось к запишется так: ак„=х — (ф, з!Еф!+ф~!созф!) 1, +(1 )" хф+(~ „)" у)[1+йсЯ1.
(8.137) 30'. Решение задачи об угловых скоростях я ускореняях мы начнем с рассмотрения случая, когда звено находится в пространственном двнженяи. Угловую схорость в„ н угловое ускорение е„ звена ч мы определим в проек. циях на координатные оси х„, уч н з„, связанные со звеном ч (рес. 8.30). 28ь. Для нахождения линейных ускорений и вектора углового ускорения звена 2 определяем вторую производную по времени от всех тех величин, кото- рые определялнсь в задаче о положениях, Для определения вектора ез и величяны ц! — проекции ускорения точка С на ось поступательной пары 0 мы используем систему уравнений е,хе+ в,1, = р, е, е = -е'„ (8.131) производную по времени от уравнений (8.120).
Обе части первого уравнеяяя умножнм скалярно на единичный вектор ез. Получям е, в,зп+ е, е,1, = р'' е,. Разрешим это равенство относительно искомой величины Зс, предварительно заменив е, ее правой частью второго уравнения в (8.!31). Будем иметь Р ее+в!1, Уе е, е, Теперь, когда найдено Й, определяем проекции вектора е„ используя вы- ражение в, (Р— вззс): !з, (8.133) оно получено нз первого уравнения системы (8.13!). Переходам к определению вектора Ф.
Дифференцируя (8.125), мы получим такую систему линейных уравненяй для определения проекций этого вектора: ихф +изма+и,ма=ем е,ха +е,зфз+е„а, сз, (8.13ч) шхфх+ юзмз+ мхах ью й ат. Еекторныи метод кинемдтическОГО АнАлиэА яц Пространственное движение звена ч может быть разложено на поступательное с полюсом в выбранной точке О' и вращательное около втой точки.
Во вращательыом двяжении звена скоростями трех его точек А, В и С вЂ” концов еднничыых ° векторов 1» гч и йч осей д», р» н а, звена являются производные по времени (уч)' (уч)' и йч На рис. 8.31 показано разложение скоростей этих точек по направлениям дВух соседних координатных осей. Величины этих составляющих можно пред Рнс. з.зз.
К опредеаекнв ттаоанх скоростей а ускорений ставить в виде скалярного произведении векторов (1»)',(гч)', йч и орта соответствующей осн. Так, например, проекцыя скорости точки В на ось г» равна ("во ),ч = (1»)'»ч. Составляющие скоростей точек А, В и С позволяют определить скорость вращеняя звена ч около осей д», у» н а», т. е. проекции в„„, вз н в,» угловой скорости в».
Помня, что радиус вращения точек А, В н С равен единице, имеем вхч (Уч)' 1)ч ~ — й» Уч~ вр„йч4ч * — ((ч)' ° йч, (8.138) в» (1 )' Ь = - (г' )'4». Прыводнмые ниже формулы для вычисления проекций вектора е» на осн х», у» на» получены дифференцированием равенств. (8.138) ет=, (гч)" й»+ (1ч)' Ач аз» й»'(ч+ Ач'(!») ° (8. 139) з (1»)" 1»+ (1»)' (Уч)' ,г„ Рас, з.з!. К расска»ренам чает ного айреса, когда ось анена ч не- нодннжна 8Р. Перейдем к рассмотрению частного случая — звено ч имеет неподвиж. вую ось вращения (рнс.
8.31), ей перпендикулярна ось ОА звена. Если со звеном связана система координат и ее ось з» совмещеыа с осью ара- п!ения, то для вычисления угловой скорости ф» = в» =* в, и углового уско., *ч ревня ф» и» з, можно применить последнюю из трех формун в (8.138) ~ и (8,139), 808 Гл. е. ИРОстРАнственные и плоские мехАЯивмы Задача может быть решена н беа прввязкп к звену коордвнатвых осей по язвестным проекциям орта ее оса авва в производных по времени этого вектора. Пусть с осью вращения етого выходного авена совмещена ось з нвюдвнжвой снстемы коордвнат Охра. Тогда для определенна вскомых веянчвн можно применить следующие формулы: фч вч еч~ачу — ечуачх (8.140) Фч=ач е Рчу-ечуача.
(8.141) Для вывода формулы (8.140) на время положим, что со звеном ч связана система координат Олчуча„. Пусть ее ось кч совмвцена с осью авена, а ось ач и ы г совмещена с осью вращения. Тогда в третью формулу яз (8.138) можно под. ста нять (уч)' еч~ Ь Еч Х(ч Ф Х Еч. Это прнведет к выраженню вч=вч,=(ечХеч) Ф (ечХеч)„ (8.142) развернутой запнсью которого авлвется формула (8,140), Двфференцируа по еледвюю, мы получаем (8,141). ЧАСТЪ ВТОРАЯ ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН ОТДЕЛ ТРЕТИЙ СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ Глава 9 ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ В 38. Основные задачи 1'. При рассмотрении вопросов кннематического анализа механизмов мы всегда предполагаем движение входных звеньев задан. ным.
Движение выходных звеньев изучается в зависимости от заданного движения входных. При этом силы, действующие на звенья механизма, и силы, возникающие при его движении, нами не изучаются. Таким образом, прн кинематическом анализе исследование движения механизмов ведется с 'учетом только структуры механизмов и геометрических соотношений между размерами их звеньев. Динамический анализ механизмов имеет своими задачами: а) изучение влияния внешних сил, сил веса звеньев, сил трения и массовых сил (сил инерции) на звенья механизма, на эле.
менты звеньев, на кинематические пары и неподвижные опоры и установление способов уменьшения динамических нагрузок, возникающих при движении механизма; б) изучение режима движения механизма под действием заданных сил и установление способов, обеспечивающих заданные режимы движения механизма. Первая задача носит название силового анализа механизмов, а вторая задача — название динамики механизмов. В динамический анализ механизмов может быть включен и ряд других задач, имеющих важное техническое значение, а именно: теория колебаний в механизмах, задача о соударении звеньев механизмов и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
