Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Сопоставнв (8.72) н уравнения (1) (прнложенне х7, мы можем воспользоваться системой уравнений (15) (прнложенне 2), в котором принято с, = О. Получим 9 И* !М Ь( 1 Р +Я-~!'Ь !.ь) ~ ъ=*,-Ь,~-ью~' я7-4-7): ы.1рэ е, = О. В уравнениях (8.73) проекпиямя вектора вена оси к н у являются величины соз фэ и з!п фз. В формулы (8.73) входит коэффнцнент 6, т. е. Знак вслнчнны и, = н, (ЕХ р). С помощью крнтерия 6, мы змеем возможность различать между собой две возможные сборки выходной частя ыехзннзма — она может располагаться (рнс.
8.23, б) по одну нлн по другую сторону от плоскости п1, содержащей ось шарнпра Ь н точку В (азн векторы й н р). Представив мысленно направхеняе вектора йХР, нормального к плоскости И1, легко заключить, что проекцня на это направление орта язв сборке ВС0 положнтельна, а в сборке ВС'0 отрицательна. Поэтому для этнх сборок соответственно 6, =+1 н 6, = — 1. Выпнслнное ниже в соответствии с (8.68) равенство нз (Р— вз)з): 1а (8.7й) позволяет вычислить проекции вектора не по известным из предыдущего проекциям векторов р н ез.
18'. Переходнм п определепшо орта св осп пзльцз пары В (ряс. 8.26). позволяющие по заданному углу фг вычислить проекция вектора р нн осн х, у, г, В зтнх уравнениях уп — орднната точки АГ (на рис. 8.23 ум) 0). Для нахождения проекций двух векторов ез н еэ мы располагаем векторным уравнением (8.68), которое эквивалентно трем скалярным в проекциях нз осн к, Р, з. К этому урзвненню мы добавим еще три скалярные Ф'нз 0 нт 1 и!з 1 (8.70) Первым пз ннх вырзжена перпенднкулярность осн пары 1) н оси СР звена 3. В двух других уравненнях отмечено, что ез я ез суть единичные векторы н нх скалярный квцдрэт равен единице. Исключаем нз уравнения (8.68) орт лэ. Векторы ез я нз можно определить' последовательно.
Для этого переписываем равенство (8.68) следующнм образом: на)а Р = — н га. Возведем далее обе части его в скалярный квадрат. Учитывая, что е, '= вй= 1, получим э хг. иикторнын митод кннямлтнчиского лнлливл 181 и'е> = иг, и>о = из> суть матрицы-столбцы проекций вектора и соответственно на оси координатиыи систем Рз = Рхуг я 0> = Ак>у>гм а Мз> есть матрица поворота, осуществляющая совмещение системы Р„с сйстемой Рз. Удобно пркнять, что Рь = Ах у гь (г„ы г ) есть промежуточное положе. ние системы Рх при переходе в положение Р,. Тогда Мех = >ИзьМь» где соэ >р, — Мп >р, О Мп >р> соз >ух О, О О 1 сова О юла О 1 Π— з!п а О сова Мзь = сУть матРицы повоРотов около осей г, в Ух!1У. Определив матрицу Мм, с помощью равенства (8.75) получаем выражения и =гога(из>соз>р> — иг,э1п>р,)+и„з!па, иг —— ие> 3!и >р> + игх соз >рм (8.77) и, = з!па(из>сов>р>+ из, Мп>р,) + и»сова, позволяющие вычислять проекции вектора и по заданному значению угла фх.
Система трех скалярных уравнений для нахождения проекций единичного вектора сэ такова: и я>=О, е, ш=соэае, еэз=1. (8.78) Первое из этих уравнений выражает условие ортогональности двух осей вращения шаровой с пальцем пары В. Вторым уравнением отмечено, что ось звена 2 н ось пальца (ортм этна осей) образуют известный нам угол аз. Третьим уравнением мы записали, что ез является единичным вектором. Система уравнений (8.78) того же типа, что н система уравнений (1), рассмотренная и решенная в общем виде в приложении 2. Для нахождения проекшгй орта и> следует воспользоваться формулами (5) нз приложения 2, положив ванга и,б ез, р ш,с> О,сз созссз. Нужно решить еще вопрос о коэффициенте б из формул (5) приложения 2. В нашем случае это знак величины и = еэ (иХез).
Коэффициент б позволяет выбрать решение, отвечающее принятой в механизме сборке шаровой с пальцем пары В (рис. 8.26) — пря одном и том же нпаожения ося звена 2 ось пальца (орт си) можно расположить по одну или дру >о сторону от плоскости и, в которой находятся ось эвеяа 2 н орт и. () РеДста вин мысленно напРавление вектоуа И Х Ез, ЯоРмального к плоскости и, заключаем, что положение Вя и ВБ' оси пальца соответствуют сборкам, для которых соотвегстзенно б = +1 и б = — 1.
Для решения вопроса иам потребуются проекции на оси х, у и з вектора и, известного нам в осях системы Ах,у>г>. Их удобно определять с яомощьв матрвэ. ной формулы типа (8.17) и>е> М иы> (6.75) в ней 192 г . з. простпхнствпннып н плоскив мпханиэмьг Для целей координирования нз звеньях 2 и 3 (рис.
8.23) введены системы координат Сэтэуэтэ и /)»ау»аз. У системы координат Сэх,уэаэ (рис. 8.23, а и 8.24) ось ха направлена вдоль осн СВ звена 2, а ось у лежит в плоскости, содержащей ось СВ и ось пальца. Такой случай рассмотрен в приложении 2. С помощью формул (11) и (12) приложения, с учетом, что т = 2, получаем (8,79) по известным проекциям векторов/э = еэ и а! можно вычислить проекции векторов /, и йа. У системы координат /)хэуааэ ось хз направлена по оси /)С звена 3, з ось хз совмещена с осью х. По известным нам ортам /э = е» н йз этих осей йесложно определить проекции единичного вектора оси у.
Имеем /з =йз Х/э=8 Х еэ. (8.80) Задачу о положениях мы окончим определением абсолютных координат заданной точка механизма. Пусть втой точкой является точка К иа звене 2 с относительными координатами хкй', уд' и хд". Составляем выражение для радиуса- вектора /)К точки К (рис. 8.23, а). Оно имеет вид (8 8!) Гк = е~ 3 + СК = е„з + зхк +,/2УКН + йтх/ст и содержит известные нам векторы. Проекциямя этого вектора на оси х, у н з являются абсолютные координаты точки К. В частности, например, »К = аз» 3+ т»хк +/т~ук + йт»х)с (8.82) Аналогично этому можно определить абсо нотные координаты любой другой точки механизма. /У'.
Задачу о скоростях мы начинаем с определения проекций векторов р = !/р/й! и а = !/а/б/. Для этой цели мы используем соотношения, производные от (8.69) и (8.??). Имеем р„= — ф,(,совая!п!р,, !)э — — ф!/! соз ф,, (8 83) !!» = фг/! 5!п а з!и фг', й„= — !р,соза(н„, и!п !7!+ иэ, созф!), йэ — ф! (и, соэ !р» — иэ» з!и !р!), (8 84) й, =фаз!па(иэ,соз!р! — и„,з!п!р!).
Легко видеть, что эти величины явля!отса функциями угла !р, поворота звена I и его угловой скорости ф! = ы!. ближайшей нашей задачей будет определение вектойоз еэ, е, и а!. Для втой цели мы нспользуем уравнения, являющиеся производными по времени от (8.72), (8.74) и (8.78) в задаче о положениях при определении ортов ез, еэ им!. Задача сведется к решению ливейных уравнений н систем, ибо в задаче о положениях не было уравнений выше второй степени. Проекции вектора еэ определяем в результате решения системы уравнений й е, = О, р е, = Ь, е,.е, = О, (8.85) в которой 1 Ь = — (р — еа/а) 'р = еэ р/э: /а / рщ.
викториыи митод киищндтичвского Аиллизл 193 Эта система, полученная дифференцированием уравнений (8.72), в развернутой записе имеет такой внд: з О, рхр~ + рррвр+ ргй Ь (8.86) евгйвх + евравр + ввгйш — — О, где Ь 1в (вверх+ евере+ ввгрг): 1в. Теперь, когда определен вектора„с помощью равенства Рв = ((г — Рв(в): 1а (8.87) производного от (8.74), мы можем вычислить проекции вектора ив. Для нахождения проекций вектора щ используем систему трех лияейныи уравнений и ш= — и вр, е, вв= — атгаг, аг аг О, (В.
88) она получена в результате дифференцирования уравнений (8.78) и в развернутой записи имеет вид ихврх + ирягр + ивйгг г(гэ ев йг + еврйгр+ евггрг г)в, ахгьх + аргьр + шгйгг хг О (8.89) (8.91) йд йа 1в+ (гвх) *ГК1+ (1 ) рК + й *КХИ (8.93) С помопгью аналогичных выражений вычисляем проекции скорости ак на оси р и з. 7 И. И. Дртобохевсхха Нг — и вв — (й„шх+ йрар+ йгщг)г Лв — Рв аг — (АЫих+ Рврар ф йграг). Со звеном 2 связана система координат Схвргвв.
Используя (8.79), змеем такие формулы для вычисления производных ее ортов 1„,/„Ф;. (1,)' *р„ (/г) (аг — (1г) сов аг): в1п а„ (8.90) В,-(1.) Х,(г+1гх(,(г). С помощью (8.80) мы получим следующие выражения для производных от единичных векторов 1„Л, й„системы координат Рхвуув нв звене Вг (1в) ='рв (Ув) =й Х рв йв'--О, Перепясав равенства (8.90) и (8.91) в проекциях на оси х, у н з, мы полу. чим формулы для вычисления проекций соответствующих векторов. Теперь можно перейти к определению скорости любой точки звеньев 2 и 3.
Дла этого нужно продифференцировать предварительно составленное выражение радиуса-вектора выбранной точка. Для задачи о скоростях (а также и ускорений) началом етого вектора может быть любая неподвижная точка. Определим скорость точки К на звене 2 (рис. 8.23, а). Дифференцируя выражение (8.81) ее радиуса-зектора гк, получим соотношеине к- 'д-рв(з+(1в)' к'+(1в)'ркщ+йтк1, (8.92) позволяющее определить скорость точки К. Проекция втой скорости на ось к равна гх, з. пуостулнстннннын н плоскин мнхлнивмы Мы не рассмотрена еще вопроса об угловых скоростях звеньев 2 н 3; он решается с помощью общих формул (8.141) — (8.142), которые приводятся в 4 37, 3!'. В зтн формулы входят известные нам величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
