Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 25
Текст из файла (страница 25)
4.39, б), а отрезки (2 — 2'), (3 — 3'), ... отклады- ваются в масштабе ра на ординатах диаграммы зс = зс (1) (рнс. 4.39, в). Глава 5 КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В 23. Механнзм шарнирного четырехзвенника 1'. В главе 1Ч были изложены графические методы кннематнческого анализа плоских механизмов. Графические методы наглядны и универсальны, так как позволяют определять положения скорости н ускорения звеньев механизмов любой структуры. Но графические методы не всегда облалают той точностью, которая бывает'необходима в некоторых конкретных задачах анализа механизмов. В этих случаях предпочтительнее применение аналитических методов, с помощью которых исследование кинематики механизмов может быть сделано с любой степенью точности.
Кроме того, аналитические зависимости позволяют выявлять взаимосвязь кинематнческих параметров механизма с его метрическими параметрами, т. е. размерами звеньев. Роль аналитических методов кинематнческого анализа механизмов особенно возросла з рз. мвхдннзм шарнирного чвтырвхзввнникд цй в последние годы в связи с тем, что, имея аналитические выражения, связывающие между собой основные кинематические н структурные параметры механизма, можно всегда составить программу вычислений для вычислительной машины и с помощью машины получить все необходимые результаты. Начнем рассмотрение аналитических методов исследования механизмов на примере механизма шарнирного четырехзвенника.
2'. Как было показано выше в З 17, 8', при присоединении двухповодковой группы ВСО, состоящей из звеньев 8 и 4, к начальному звену 2 и стойке 1 (рис. 5.1) эта группа может образовать два симметрично расположен- р ных относительно прямой ВО г треугольника: ВСР и ВС'Р. Ца Таким образом, при различных способах присоединения 5 У двухповодковой группы мо- ', -- а з тут быть получены два раз-" личных четырехзвенных шарнирных механизма: АВСО и АВС'О.
Если механизм собран так, что оси его звеньев образуют контур АВСО, то , г подожения звеньзв 2~ 8 и 4 рнс. 4,4. механнаы наарннряото четырехавея МЕХаниэна будуТ СООТВЕТСТ" вика с двУмя векторными нонтуранн венно определяться углами фх фа и фа (рис. 5.1). Если же механизм собран так, что оси его звеньев образуют контур АВС'Р, то положения звеньев 2, 8 и 4 будут определяться углами фь фз и фа (рис. 5.1).
Прямая ВР и угол наклона ф, этой прямой к оси Ах будет общим для обоих конт ров АВСО и АВС'Р. у . Аналитическое исследование плоских механизмов удобнее всего вести методом векторных контуров, подробно разработанным В. А. Зиновьевым. Так, для примера, показанного на рис. 5.1, удобно задачу о положениях звеньев решать, разбивая замкнутый контур АВСР на два треугольника АВО и ВСО. Аналогично замкнутый контур АВС'0 можно разбить на два треугольника АВР и ВС'О. Тогда для этих контуров могут быть всегда составлены следующие векторные уравнения: для контура АВР Юа+а — 64 = б (5.!) для контура ВСЮ для контура ВС'0 2а — 14 — г = о, (5.2) Ез — 44 — З = О, (5.3) где г — переменный по модулю вектор, определяющий положение точек В и О.
ц4 г . 5. исслвдовднна мвхднизмов дндлнтичвским мвтодом Рассмотрим вариант сборки, показанный на рис, 5.2. Для этого варианта при обходе контура по часовой стрелке имеет место следующий порядок букв в контуре: ВСВВ. Этот порядок букв контура должен сохраняться за полный оборот звена 2. Проектируем векторы уравнения (5.1) на оси координат Ах и Ау.
Имеем 1,сов фн+ зсоз гр, — 1, = 0 (5.4) и 1 з!п фв + з з(п ф, = О. (5.5) Из уравнений (5.4) и (5.5) получаем Четверть тригонометрическов го круга, в которой распо. 6, 4» ложен угол гр„полностью й . 5 !5з Н ОПРЕДЕЛИТСЯ ЗНаКОМ ЧИСЛИТЕ- г й ля и знаменателя выражения й (5.6). Нетрудно далее из уравнения (5.5) определить модуль вектора г. Имеем Рпс. 5.5. К определенню полаженнй звеньев 5!П в мехввнзмв юврннрного еегмрехзвенпнкв з = — 1в-'-"-хв . (5.7) В 5!Пфе ' Далее рассматриваем треугольник ВС45. Углы наклона вектоРов Рн и ~4 к вектоРУ а обозначаем соответственно ф„ и фаю Имеем тогда следующие два уравнения: 15 = 14+ зр+ 214зсозгрм (5.8) и 14 = 15+~ — 215зсозфз ° (5,.9) Из уравнений (5.8) и (5.9) определяем углы ф„и фню Имеем ф„=агссоз ' (5.10) !1 — 51 + 55 фю = агссоз ' 2! 2555 (5.1 1) УГЛЫ ф4, И ф,в В ОбщЕМ СЛуЧаЕ МОГут ИМЕТЬ ЗНаК ПЛЮС ПЛИ Мннус, т. е.
удовлетворять двум возможным вариантам сборки (рнс. 5.1). Так как мы условились рассматривать вариант сборки ВСВВ (рис. 5.2), то углы гр„и гр„будут всегда иметь один и тот же знак и вектор 75 будет всегда располохрен выше вектора г. Далее имеем (5,1 2) фез = фе фз й зз. мвханизм шлинииного чнтыипхзвениикл И5 (5.13) 'Рав = 'Рз фвв откуда (5.14) 'Р» = ф»в + 'Рв фз = фзв+ ф' (5.
15) Таким образом, если заданы длины звеньев механизма и угол поворота ф, звена 2, то для каждого положения звена 2 могут быть определены углы ф, и ф„т. е. положения звеньев 3 и 4. Рассмотренный метод определения углов фз и ф» через промежуточные функции ф„фзм ф„и з легко может быть запрограммирован и введен в вычислительную машину. 4'. Нетрудно получить функции положения звена 3 или 4. Например, функпия положения ф» = ф» (фз) может быть найдена из уравнения (5.14). Подставляя в это уравнение значения»р„ и»р, из уравнения (5.10) и (5.6), получаем Подставляя в уравнение (5.16) значение а, полученное из треугольника АВ0 (рис. 5.2) и равное з = У 11 + 1з — 21»1з соз врю найдем 13+ 1»з — 11 — !1+ 21,1» сов фв, 1 — 1» з!п фв 21 у'11 1 11 21,1 созф ~ ™ — 1»созфв+1» (5.17) Аналогично может быть получена функция положения ф, »рз ( рз) Пример. Рассмотрим механизм шарнирного четырехзвенника АВС(), схема которого показана на рнс.
5.2. Опрехелнм углы фз и ф» наклона к стойке звеньев 3 н 4 механизма АВС()в если длины звеньев соответственно равны 1»= 24, 1»= 6, 1»= 25 и 1»= 12 н кривошип АВ образует со стойкой угол врв = 45'. Из уравнения (5.6) получаем го фв ~ — з в ' †' — 0,214. Мпф — 6 ам45 — 1»созф -1-1 — 6 соз45'+ 24 !9,76 Так как чисаитель, пропорпиональный Ип фз, отрипателен, а знаменатель, про- порпиональный сов ф„положителен, то вектор а расположен в четвертой чет- верти и угол ф равен вр = 3~% — 12' 348'. Молуль вектора а равен, согласно уравнению (5.7), 116 г .
к нсслидовлнив мяхйнизм>вв лнллитичясним мвтодом Углы Фа н Фзе онрелелвтсн нв уравнения (5.10) н (5Л !). Имеем 11 — 1>4 — зз 25> — ! 24 — 20,4з соз >Р4> 2!аз 2.!2.20,4 И !з+з' з 2.25 20 4 О, н †, 28' 40' ственно равны >Ра= Фаз+ >Рз= 82 !О' — 12'= 70 10' 'Рз = >Раз+ >Ре 28' 40' — 12' = 16' 40'. 5'. Для определения скоростей и ускорений звеньев механизма шарнирного четырехзвенника (рис, 5.3) составляем векторное уравнение замкнутости контура АВС1). Имеем 1, + 1, + 1> = 1,. (5.18) Проектируя это уравнение на оси Ах и Ау, получаем > л — 1, + 1, сов ср, + 1, сов >Р,= 1, сов >ра, Рис.
4.4. К оиреденению скоростей и ускореиий иехаинзиа шарнирного ее- >з в!п Фз + >з в)п >Ра = >и в)п Ф4> еырехзаеиннке (5.19) где ф„ф, и ф, — углы, образованные осями звеньев 2, 3 и 4 с осью Ах. Для определения аналогов угловых скоростей о>, и озз звеньев 3 и 4 дифференцируем уравнения (5.19) по обобщенной координате ф,. Получаем «Фа «Фа — 1зз1нфз !аз!Пфз — — 148!Пфа > (5.20) 14 СОВ фз + 1з СОВ фз — 14 СОВ фа «'Ра Имея в виду, что >!Фа/4(фз = и„ есть аналог угловой скорости о!в звена 3 и йр,/4(фз = и4, есть аналог угловой скорости аз4 звена 4 (см.
$ 1 6), получаем 1,8!и >Р, + и„1,8!п фз = и„!,в!и >р„ (5.21) 1, сов >Р, + изз1з сов фз = иаз14 сов >Ра Величины и„и исм входящие в уравнение (5.21), называются также передаточнозйаи отношениями, так как они равны отношениям угловых скоростей о)з и о>4 к угловой скорости входного звена Имеем «Фз «Ф>/«! ша "Фз «Фа/«1 Ыз им= — = — = —, иаа =— «Фз «Фз/«1 ша ' «Фа «Фз/«1 з>а ' 9 24. КРИВОШИПНО.ПОЛЗУННЫЕ МЕХАНИЗМЫ 117 Из углов, входящих в первое уравнение (5.21), вычитаем общий угол фв, что соответствует повороту осей координат хАу (рис.
5.3) на общий угол ф,. Имеем 12 $1п (фа фв) иаа(4 21п (фа 4Рв)а откуда получаем выражение для аналога и„угловой скорости 02 14 21п (агв — 'Ря) (5.22) 14 вап (фа фа) После аналогичного преобразования того же уравнения поворотом осей координат на угол ф4 получаем выражение для аналога ивв Угловой скоРости пав 14 21п (фв — фа) (5.23) 1а ВШ (Фа ф4) Для определения угловых ускорений е, и е, звеньев 3 и 4 дифференцируем по обобщенной координате ф, уравнения (5.21), что приводит к уравнениям 12 соз фв + из212 соз фз + пз212 з1П фз = п4214 соз фа + и4214 з1п фа, 2 2 12 З1П арв ивяв(З З1П фа+ ПЗ212 СОЗ 1РЗ = П4214 3!П фа + П4214 СОЗ ф» (5.24) где изв и иав — аналоги угловых скоростей, изв и и42 — аналоги угловых ускорений, равные производным по обобщенной координате от соответствующих аналогов угловых скоростей и„и ивм Величины аналогов изв и и12 можно определить, если выполнить преобразования координат последовательным поворотом осей координат на углы фв и ф,. Имеем 1а спв (ф фа) + 01214 и)214 спв (фа фа) и42 14 вШ (~уа — тв) я (5.25) Пвв— 1, сов (фа — яра) — и)214 + 01414 сов (фя — фа) ° 5.26 — 1я 210 (аря — фа) ° (5.2 ) 3 Истинные скорости пав, 014 и ускорения е, и е4 звеньев 3 и 4, согласно формулам (4.3) и (4.4), равны пзз = 012пзв, 014 = павпав, ез = М'зв+ взвззв, еа = пззи42+ евп42~ гДе 402 н Вв — заДанные Угловые скоРость и УскоРение звена 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
