Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

I-7)111σ n = (σ 1 + σ 3 ); τ n = (σ 1 − σ 3 ) ⇒n1 = n3 = ±; n2 = 0 ;222Естественно, что эти результаты совпадают с полученными нами ранеенаправлениями площадок главных касательных напряжений. Очевидно, что33эти же результаты могут быть получены графически из анализа диаграммы.Действительно, для точки В: α1 = α 3 = 45 ;α 2 = 90 , т.е. площадкинаибольших касательных напряжений перпендикулярны площадкепромежуточного главного напряжения σ2 и делят пополам прямые углы,образованные площадками двух других главных напряжений (σ1 и σ3).1.14. Дифференциальные уравнения равновесия (движения)В общем случае напряженное состояние неоднородно, иными словамив двух, даже расположенных близко друг от друга, точках оно различно.Следствием этого являются градиенты напряжений, создающие причинытечения металла. Рассмотрим напряженное состояние в двух точках М и М',расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга.Проведем через эти точки плоскости, параллельные координатнымплоскостям.

Пересечение этих плоскостей образует параллелепипед состоронами dx, dy, dz.`∂σzσ z + z dz∂z∂τ zxτ zx +dz∂τ zy∂zτ zy +dzz∂yx∂τ yxτ+dyyxM’∂yσxτ yx dz∂σ yτ xyσyσy +dy∂yτ yzτ xzτ xy +∂τ xy∂xdx∂σσ x + x dx∂xdxdyMτ zyτ zxτ yz +∂τ yz∂ydyσzτ xz +∂τ xzdx∂xНапряженное состояние в точке М определяется тензором:⎛ σ x τ yx τ zx ⎞⎜⎟Tσ M = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟⎜⎟⎝τ xz τ yz σ z ⎠Предположим, что компоненты тензора σ ij - гладкие функции,следовательно, их можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки М.Ограничимся при разложении только первыми производными, поскольку34окрестность считаем бесконечно малой.

Тогда компоненты тензоранапряженного состояния в точке М', находящейся на бесконечно маломудалении от точки М можно представить как:∂σ ij∂σ ij∂σ ij(1.34)= σ ij+σ ijdx +dy +dzM'M∂x M∂y M∂z MВ этом выражении членами, в которых индекс площадки не совпадает с∂σ yxприращением (напримерdx ) можно пренебречь. Иными словами∂x Mсчитаем, что приращение каждого напряжения выражается частнымдифференциалом по той координате, в направлении которой переместиласьплощадка действия данного напряжения. Тогда напряженное состояние вточке М' будет представлено следующим тензором:∂τ yx⎛⎞∂σ x∂τ⎜σx +dx τ yx +dy τ zx + zx dz ⎟∂x∂y∂z⎜⎟⎜∂τ xy∂σ y∂τ zy ⎟(1.35)Tσ M ' = ⎜τ xy +dx σ y +dy τ zy +dz ⎟∂x∂y∂z⎜⎟∂τ yz⎜∂τ xz∂σ z ⎟dxdy σ z +dz ⎟++ττ⎜ xzyzxyz∂∂∂⎝⎠Если пренебречь массовыми силами, то тело должно находиться вравновесии.

Тогда сумма проекций сил, действующих на параллелепипед накаждую из координатных осей должна равняться нулю:ΣХ=0; ΣY=0; ΣZ=0;Рассмотрим первое уравнение равновесия.Приравнивая к нулю сумму проекций сил на ось x , находим (сила,действующая в площадке равна произведению напряжения на площадьплощадки):∂τ yx∂σ x(σ x +dx)dydz − σ x dydz + (τ yx +dy )dxdz − τ yx dxdz +∂y∂x.∂τ zx+ (τ zx +dz )dxdy − τ zx dxdy = 0∂zРаскрыв скобки, приведя подобные члены, и поделив на dV=dxdydz,найдем∂σ x ∂τ yx ∂τ zx++= 0.∂x∂y∂zАналогично получим два других уравнения. Окончательно системадифференциальных уравнений равновесия в декартовой системе координатпримет вид:35⎫∂σ x ∂τ yx ∂τ zx++= 0⎪∂x∂y∂z⎪⎪⎪∂τ xy ∂σ y ∂τ zy++= 0⎬∂x∂y∂z⎪⎪∂τ xz ∂τ yz ∂σ z++= 0⎪∂x∂y∂z⎪⎭В сокращенных обозначениях эти уравнения запишутся5σ ij ,i = 0(1.36)(1.37)Используя уравнения равенства моментовΣMx=0;ΣMy=0;ΣMz=0,можно получить уже полученный ранее закон парности касательныхнапряженийτzy=τyz;τxz=τzx;τxy=τyx,Рассмотренные выше уравнения являются уравнениями равновесия.

Вреальности частицы металла движутся с определенным ускорением, крометого, на металл действуют массовые силы (например, силы тяжести). Вобщем случае уравнения равновесия превращаются в уравнения движения ибудут иметь следующий вид:(1.38)σ ij ,i + ρg i = ρwiгде g i , wi - компоненты векторов удельных массовых сил (например,силы тяжести) и вектора ускорений.В большинстве реальных задач ускорениями и, особенно, массовымисилами можно пренебречь и уравнения движения превращаются в уравненияравновесия.Уравнениядвиженияобычнорассматриваютдлявысокоскоростных процессов, например процессов магнитно-импульснойштамповки.Заметим, что для определения шести компонент напряжений (с учетомпарности касательных напряжений) имеем только три известных уравненияравновесия (движения).

Остальные уравнения, необходимые для решениязадачи, можно получить, используя физические свойства деформируемыхметаллов и геометрические соотношения.1.15. Дифференциальные уравнения равновесия дляосесимметричного напряженного состоянияВ технологии обработки давлением часто встречаются детали,являющиеся телами вращения. Для анализа таких технологических задачпользуются цилиндрическими координатами ρ, θ, z.5Запятая в сокращенной записи обозначает частную производную поиндексу, стоящему после запятой.36В цилиндрических координатах (Рис. 1.13) напряженное состояние вточке характеризуется тензором:⎛ σ ρ τθρ τ zρ ⎞⎜⎟Tσ = ⎜τ ρθ σ θ τ zθ ⎟(1.39)⎜⎟⎝ τ ρz τθz σ z ⎠dθdzσzτzρτzθZMσθτθρzρθτρzτθ z MσρτρθdρРис.

1.13. Напряженное состояние в точке в цилиндрической системекоординатОграничимся выводом уравнений равновесия для осесимметричногонапряженного состояния. Осесимметричное напряженное состояние имееттело вращения, к которому приложены внешние силы, действующие вмеридиональных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось симметрии)и одинаковые для любой меридиональной плоскости. Примером могутслужить осадка цилиндрической заготовки, вытяжка цилиндрическогостакана из плоской цилиндрической заготовки и др.Осесимметричноенапряженноесостояниехарактеризуетсяследующими свойствами:1. В силу симметрии все касательные напряжения в меридиональныхсечениях (плоскостях, проходящих через ось z, иными словами плоскостях синдексом θ) будут равны нулю, поскольку если бы они существовали, товызывали бы сдвиги в меридиональных сечениях, что приводило бы кнарушению осевой симметрии. Тогда в силу парности касательныхнапряжений: τ θρ = τ ρθ = 0;τ θ z = τ zθ = 0 .2.

Компоненты напряжений σρ, σθ, σz, τρz отличные от нуля, в силу∂σ ij = 0той же симметрии не зависят от координаты θ:∂θСледствием этих свойств является то, что осесимметричноенапряженное состояние сохраняется на всем протяжении деформированиязаготовки, а материальные точки тела, находящегося в таком состоянии,движутся строго в меридиональных плоскостях.37τ zρ +∂τ zρ∂zdzdθCdzB∂σ zdz∂zA`σθM`σρσρ +τρzρσz +σθAdρMσz∂ρdρB`τzρC`∂σ ρρτ ρz +∂τ ρz∂ρdρРис. 1.14. К выводу уравнений равновесия для осесимметричногонапряженного состояния в цилиндрической системе координат.Тензор напряжений для осесимметричного напряженного состоянияимеет вид:⎛σ ρ0 τρ z⎞⎜⎟Tσ = ⎜ 0 σ θ0 ⎟(1.40)⎜⎟0 σz ⎠⎝ τ zρПользуясь тем же методом, как и для объемного напряженногосостояния, выведем дифференциальные уравнения равновесия вцилиндрических координатах для осесимметричного напряженногосостояния.Площади элементарных площадок:Fρ = FABCM = ρdθdzFρ + dρ = FA`B`C `M ` = ( ρ + dρ )dθdzFθ = FABC `M ` = FA`B`CM = dρdzFz = FAB`C `M = FA`BCM ` = ρdθdρПроектируя все силы на оси ρ и z и принимая sinусловия равновесия:dθ dθ, запишем=2238∂σ ρdθ ⎫−⎪2 ⎪∂ρ⎪∂τ zρτ zρ ρdθdρ + (τ zρ +dz ) ρdθdρ = 0;⎪⎪∂z⎬∂σ z⎪dz ) ρdθdρ − τ ρz ρdθdz +− σ z ρdθdρ + (σ z +⎪∂z⎪∂τ ρz⎪dρ )( ρ + dρ )dθdz = 0.+ (τ ρz +⎪⎭∂ρраскрывая скобки и приводя подобные члены, получим∂σ ρ∂σ ρσ ρ dρdθdz +ρdρdθdz +dρ 2 dθdz − σ θ dρdzdθ +∂ρ∂ρ− σ ρ ρdθdz + (σ ρ +dρ )( ρ + dρ )dθdz − 2σ θ dρdz⎫⎪⎪⎪≈0⎪∂τ zρ⎪+dzρdθdρ = 0;⎬∂z⎪∂∂ττ⎪∂σ zρzρzρdρdθdz +dzρdθdρ + τ ρz dρdθdz +dρ 2 dθdz = 0.⎪∂z∂ρ∂ρ⎪⎪⎭≈0пренебрегая бесконечно малыми высших порядков и сокращая наdV = ρdθdρdz получим дифференциальные уравнения равновесия дляосесимметричного напряженного состояния∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ θ⎫++= 0;⎪∂ρ∂zρ⎪(1.41)⎬∂τ ρz ∂σ z τ ρz⎪++= 0.⎪⎭∂ρ∂zρ1.16.

Плоское деформированное и плоское напряженноесостоянияПри обработке давлением часто возникают случаи, когда деформации водном направлении пренебрежимо малы, по сравнению с деформациями вдругих направлениях. Такое явление обычно возникает при штамповкезаготовок с вытянутой осью, когда основное течение металла происходит внаправлениях перпендикулярных этой оси, т.е. в поперечных направлениях.В качестве примера служат объемная штамповка шатуна, осадкадлинной призматической заготовки, гибка, когда линия гиба параллельнадлинной стороне детали. В этих случаях считают, что имеет место плоскаядеформация металла в поперечных сечениях заготовки. А само напряженноесостояние называют плоским деформированным состоянием.При решении многих других практических задач можно считать, что водном из главных направлений отсутствуют напряжения.

Примером служит39листовая штамповка. В большинстве процессов листовой штамповкинапряжения, нормальные к поверхности листовых заготовок, составляютдоли процентов от напряжений, возникающих в поперечных сеченияхзаготовок. В этих случаях имеет место плоское напряженное состояние.Выберем систему координат xyzтак, чтобы ось z совпала снаправлением отсутствующей деформации или с направлениемотсутствующего нормального напряжения.Как плоское деформированное, так и плоское напряженное состояниехарактеризуютсяследующимидополнительнымиособенностями,вытекающими из физической сущности:• Все компоненты напряженного состояния не зависят от координаты z иостаются постоянными при ее изменении.

Иными словами напряженноесостояние в любом сечении, перпендикулярном оси z одинаково по всейдлине заготовки.• В площадках, перпендикулярных оси z отсутствуют касательныенапряжения (в противном случае происходило бы искривление оси).Таким образом, площадки, перпендикулярные оси z являются главными,главными являются и напряжения σ z .Нормальное напряжение в направлении оси z равно:Для плоского деформированного состояния (ПДС)при упругих деформациях:σ z = µ σ x + σ y , µ - коэффициент Пуассона()при пластических деформациях:σx +σ yσz =; (в дальнейшем это свойство будет доказано)2Важная особенность ПДС при пластической деформации σ z = σ cp .Действительно:σx +σ yσ+σ+xyσx +σ yσx +σ y +σz2==σ zσ cp ==332Для плоского напряженного состояния (ПНС)σ z = 0;Еще раз подчеркнем разницу между ПНС и ПДС.

Для ПНС внаправлении оси z отсутствуют напряжения, но существует деформация. ДляПДС наоборот – отсутствует деформация, но существуют напряжения.Графически напряженное состояние для этих случаев изображено на Рис.1.15, Рис. 1.16:40σz =0σxτxyτ yxσz =σyРис. 1.15. Плоское напряженноесостояниеσxτxyτ yxσx +σ y2σyРис. 1.16. Напряженное состояниепри плоском деформированномсостоянииНапряженное состояние для ПНС и ПДС можно представить в видеследующих тензоров:Для ПНС⎛ σ x τ yx ⎞⎟Tσ = ⎜⎜(1.42)⎟τσxyy⎝⎠Для ПДС⎛ σ x τ yx 0 ⎞σx +σ y⎟⎜0 ⎟; σ z =Tσ = ⎜τ xy σ y(1.43)2⎜ 00 σ z ⎟⎠⎝Уравнения равновесия для плоской задачи могут быть получены изосновной системы уравнений равновесия и имеют вид:⎫∂σ x ∂τ xy= 0;⎪+∂y∂x⎪(1.44)⎬∂τ xy ∂σ y= 0.⎪+⎪⎭∂y∂xОпределим для плоских задач формулы для вычисления главныхнапряжений, полученные нами ранее для общего случая.Ранее мы показали, что для любого напряженного состояниясуществуют три взаимно перпендикулярные площадки главных напряжений.Поскольку одна из них нам известна (площадка перпендикулярная оси z , т.е.плоскость xOy ), то две другие будут перпендикулярны плоскости xOy илипараллельны оси z .

Характеристики

Список файлов книги