Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Описание движения сплошной среды. Переменные Эйлераи Лагранжа.Под действием внешних сил каждая частица деформируемого телаполучает определенную скорость. Существует два эквивалентных подхода кописанию движения материальных частиц сплошной среды – подходЛагранжа и подход Эйлера.В подходе Лагранжа объектом изучения являются материальныечастицы, в частности изменение ее кинематических характеристик(положения в пространстве, скорости и ускорения). Для описания движения втакой форме необходимо индивидуализировать каждую частицу. Такимипараметрами, индивидуализирующими каждую частицу, являются еекоординаты X ,Y , Z в начальный момент времени t = t0 .
Координаты частицыв неподвижном пространстве (глобальной системе координат Oxyz) зависятот начальных координат частицы и времени:x = f x ( X ,Y , Z , t ) ,y = f y ( X ,Y , Z , t ) ,(2.1)z = f z ( X ,Y , Z , t ).Фиксируя начальные координаты и считая переменным только время,мы получим закон движения каждой частицы. Если зафиксировать вформулах (2.1) время, то получим распределение материальных частиц впространстве в конкретный момент времени. Если же считать переменнымии начальные координаты и время, то получим описание движения сплошнойсреды.49Начальные координаты X ,Y , Z , индивидуализирующие каждуючастицу, и время t называются переменными Лагранжа.Перемещения материальных точек определяется как разность между ихтекущим и начальным положением:(2.2)ux = x − X ; u y = y − Y ; uz = z − Z .Введем понятие сопутствующей системы координат.
Это подвижнаядеформируемая система координат, координатные линии которой всегдаассоциированы с одними и теми же материальными частицами. В начальныймомент времени координатные линии прямолинейны и совпадают скоординатными линиями декартовой системы координат. В дальнейшемсопутствующая координатная система перемещается и деформируетсявместе с материальной средой. Можно сказать, что она «вморожена» вматериальную среду. Координатные линии такой системы в общем случае,при движении среды становятся криволинейными.yYYXXxРис.
2.1. Движение среды и сопутствующая система координатВ подходе Эйлера объектом изучения является неподвижноепространство наблюдателя, заполненное движущейся средой. Величины,характеризующие движение, считаются функциями координат точки внеподвижном пространстве наблюдателя x, y , z и времени t . Эти переменныеносят названия переменных Эйлера. Таким образом, объектом изучения вподходе Эйлера являются различные поля (т.е. распределение величин впространстве), характеризующие движение сплошной среды.
Движениесплошной среды, с точки зрения Эйлера, можно считать заданным, еслиизвестно распределение перемещений или скоростей сплошной среды внеподвижном пространстве наблюдателя в зависимости от переменныхЭйлера:⎧u x = u x ( x, y, z , t )⎧v x = v x ( x, y , z , t )⎪⎪⎪⎪(2.3)⎨u y = u y ( x, y, z , t ) ;⎨v y = v y ( x, y , z , t )⎪⎪⎪⎩u y = u y ( x, y, z , t )⎪⎩v y = v y ( x, y, z , t )50От переменных Лагранжа можно перейти к переменным Эйлера инаоборот.
Разрешив систему (2.1) относительно переменных Лагранжа,получим:X = Fx ( x, y, z , t ) ,(2.4)Y = Fx ( x, y, z , t ) ,Z = Fx ( x, y, z , t ) .Формулы (2.4) позволяют индивидуализировать (определить ееначальные координаты) материальную частицу, находящуюся в данныймомент времени в точке неподвижного пространства с координатами x, y, z .Эти формулы являются альтернативным (по сравнению с формулами (2.3) )способом задания движения сплошной среды по Эйлеру.Таким образом, описание движения сплошной среды по Лагранжуопределяет законы изменения перемещений, скоростей и ускорений длякаждой индивидуальной частицы сплошной среды, а описание движения поЭйлеру – законы изменения тех же величин, но для фиксированных точекпространства.Описание движения по Эйлеру и Лагранжу механически эквивалентно.В теории обработки металлов давлением для аналитических расчетовбольшее применение нашел способ описания движения по Эйлеру.
Вчисленных расчетах используется как Эйлерово, так и Лагранжево описаниедвижения сплошной среды.2.2. Понятие деформации, виды деформацииПри определенных условиях движение частиц тела вызываетдеформации. Деформация – это такое смещение частей тела друготносительно друга, при котором изменяются взаимные расстояния междуними, но не нарушается непрерывность самого тела9.Обратимая деформация называется упругой, а необратимая –пластической.Для количественной оценки деформации используют различныепоказатели. Наиболее часто используют относительную деформацию(показатель Коши)10.∆Lε=(2.5)L0Здесь ∆L = L − L0 - абсолютная деформация – разница междуконечным и начальным расстоянием между двумя точками тела.Деформациями Коши обычно пользуются при анализе малыхдеформаций.
Малыми деформациями называются такие относительные9Движение тела как жесткого целого не вызывает деформаций, поскольку неизменяются расстояния между отдельными частицами тела.∆L10Деформация Эйлера ε =L51деформации, квадратом которых можно пренебречь по сравнению сединицей. Обычно это деформации, не превосходящие 5-10%. Для оценкибольших деформаций больше подходит другая характеристика – показательГенки или логарифмическая деформацияLδ = ln(2.6)L0При малых деформациях показатели Коши и Генки практическисовпадают, что будет показано далее.Если измерять изменение длины, толщины, радиуса и т.д., то мыполучим среднюю деформацию в определенном направлении.
Это важнаявеличина, но деформация может быть распределена по объему теланеравномерно. Поэтому в теории обработки давлением изучают не средние, алокальные деформации, или деформации элементарных объемов.Выделяют однородную и монотонную деформации.Однородной, по Г.А.Смирнову-Аляеву, называется такая деформациячасти физического тела, при которой все прямые линии и плоскости,выделенные до деформации, остаются прямыми линиями и плоскостямипосле деформации; параллельные прямые и плоскости остаютсяпараллельными после деформации; длины двух любых прямолинейныхотрезков, проведенных параллельно друг другу изменяются при деформациив одинаковом соотношении.Если нанести на поверхность деформируемого тела прямоугольнуюсетку состоящую из одинаковых ячеек, то после однородной деформацииячейки этой сетки могут изменить свою форму, (например, примут формупараллелограмма) но останутся одинаковыми по величине и форме.Малая деформация всегда является однородной.
Однородной являетсядеформация стержня при растяжении до момента образования шейки.Основным условием монотонной деформации является условие, чтоматериальное волокно рассматриваемой частицы тела, претерпевающее наданной стадии процесса наиболее быстрое удлинение (или укорочение), и вовсех последующих стадиях будут являться наиболее быстро удлиняющимися(или укорачивающимися). Вторым условием является равенствосоотношения скоростей наибольшего удлинения и наибольшего укороченияза весь период процесса.Монотонно деформируются, например, внешние и внутренние волокнаматериала при гибке на большой радиус.При обработке давлением металл получает значительные деформации.Однако для анализа больших деформаций необходимо знание основныхположений и зависимостей, относящихся к малым деформациям.2.3.
Компоненты перемещений и малых деформаций.Рассмотрим перемещение бесконечно малого отрезка dr=MN (Рис. 2.2.Деформация элементарного отрезка). Этот отрезок в начальный момент52времени t = t0 имеет проекции dx, dy, dz на координатные оси. Начальныекоординаты концов отрезка:M = ( X M , YM , Z M ) ;N = ( X N , YN , Z N ) .(2.7)В момент времени t отрезок займет положение M'N' и его проекции накоординатные оси соответственно dx', dy', dz'. Текущие координаты концовотрезка:M ' = ( xM , y M , z M ) ;N ' = ( xN , y N , z N ) .(2.8)Проекции вектором перемещений концов отрезка на ось x всоответствии с формулами (2.2):(2.9)u xM = xM − X M ; u x N = x N − X N .Аналогичные вид имеют формулы и для проекций перемещений на осиy , z . Из рисункаРис.
2.2 видно, что: dx + u x N = dx′ + u x MzM'drMzMN'dr'YMNyMyZMXMdxdx'uxMxMuxNxРис. 2.2. Деформация элементарного отрезкаПоскольку функцию перемещения можно считать непрерывной, а самоперемещение малым11, то ее можно разложить в ряд Тейлора, ограничившисьтолько линейными членами∂u∂u∂uu x N = u x M + x dx + x dy + x dz(2.10)∂x∂y∂zОткуда:11С учетом исключения перемещения тела как жесткого целого.53dx′ = dx + (u x N − u x M ) = dx + du x = dx +По аналогии:dy ′ = dy + du y = dy +∂u ydx +∂u ydy +∂u x∂u∂udx + x dy + x dz∂x∂y∂z∂u ydz∂z∂x∂y∂u∂u∂udz ′ = dz + du z = dz + z dx + z dy + z dz∂x∂y∂zДлина отрезка:dr ′ 2 = dx ′ 2 + dy ′ 2 + dz ′ 2Деформация отрезка:dr ′ − dr dr ′εr ==− 1;drdr22dr ′⎛ dr ′ ⎞2 ⎛ dr ′ ⎞εr = ⎜ ⎟ − 2+1= ⎜⎟ − 2ε r − 1 ≈ 0⎝ dr ⎠(ε r << 1)⎝ dr ⎠dr2⎛ dr ′ ⎞⇒⎜⎟ = 2ε r + 1⎝ dr ⎠С другой стороны:(dx')2 + (dy')2 + (dz ')2 =⎛ dr ′ ⎞=⎜⎟⎝ dr ⎠(dr )2222⎛ dy + du y ⎞dz + du z⎛ dx + du x ⎞⎟ + ⎛⎜⎜+=⎜⎟⎟⎜dr⎝ dr⎠⎝ dr⎠⎝Раскроем первую скобку в (2.11):2⎛ dx ∂u dx ∂u x dy ∂u x dz ⎞⎛ dx + du x ⎞⎟⎟++⎜⎟ = ⎜⎜ + xdr∂xdr∂ydr∂zdr⎝ dr⎠⎝⎠учтем направляющие косинусы:dxdydzn x = cosα x = ; n y = ;nz =drdrdrтогда выражение примет вид⎞⎟⎠2(2.11)22⎛∂u∂u∂u⎞⎛ ∂u∂u∂u⎞⎜⎜ n x + x n x + x n y + x n z ⎟⎟ = n x2 + 2n x ⎜⎜ x n x + x n y + x n z ⎟⎟ +∂x∂y∂z∂y∂z⎝⎠⎝ ∂x⎠2∂u∂u∂u∂u⎛ ∂u⎞⎛ ∂u⎞+ ⎜⎜ x n x + x n y + x n z ⎟⎟ ≅ n x2 + 2⎜⎜ x n x2 + x n x n y + x n x n z ⎟⎟∂y∂z∂y∂z⎝ ∂x⎠⎝ ∂x⎠≈0раскрыв все скобки получим:542⎛ ∂u 2 ∂u∂u⎞⎛ dr ′ ⎞222⎜⎟ = n x + n y + n x + 2⎜⎜ x n x + x n x n y + x n x n z ⎟⎟ +∂z∂y⎝ dr ⎠⎝ ∂x⎠=1∂u y 2 ∂u y⎛ ∂u y⎞+ 2⎜⎜n y n z ⎟⎟ +ny +n y nx +∂z∂y⎝ ∂x⎠⎛ ∂u⎞∂u∂u+ 2⎜⎜ z n z n x + z n z n y + z n z2 ⎟⎟ = 2ε r + 1∂y∂z⎝ ∂x⎠Окончательноε r = ε x n x2 + ε y n 2y + ε z n z2 + γ xy n x n y + γ yz n y n z + γ zx n z n x ,(2.12)где∂uεx = x∂x- относительные линейные∂u yεy =деформации вдоль координатных∂yосей∂u zεz =∂z(2.13)∂u x ∂u y+γ xy =∂y∂x∂u- относительные угловые∂uγ yz = y + zдеформации∂z∂y∂u∂uγ zx = z + x∂x∂zЭти уравнения впервые получил Коши.Рассмотрим физический смысл линейных и угловых деформаций вдолькоординатных осей.Предположим, что отрезок MN параллелен оси Ox и деформируетсявдоль оси Ox.
Тогда dz = dy = 0 .По определению:∂uεx = x .∂xПоскольку отрезок деформируется только вдоль оси Ox, топеремещение вдоль этой оси не зависит от других координат и частнаяпроизводная становится полной.dudx'−dxεx = x =dxdxТаким образом, относительная линейная деформация вдолькоординатной оси представляет собой отношение изменения длиныэлементарного отрезка, расположенного вдоль координатной оси к его55первоначальной длине. На этом свойстве основано экспериментальноеопределение деформаций.Геометрически сдвиговые деформации можно представить какискажение прямого угла в проекции на соответствующую плоскость.Относительные сдвиговые деформации считаются положительными, если имсоответствует уменьшение угла со сторонами, направленными вположительном направлении координатных осей.Предположим, что в начальный момент времени выделены дваэлементарных отрезка MB и MA, составляющие друг с другом прямой угол(Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
