Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вынесем в правой части n12 за скобки, алевую часть преобразуем к другому виду:26()= n12 (σ 12 − σ 1σ 2 − σ 1σ 3 + σ 2σ 3 ) = n12 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )τ n2 + σ n2 − σ nσ 2 − σ nσ 3 + σ 2σ 3 = τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) =Теперь можно выразить значение направляющего косинуса в виде:22 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )Проведя аналогичные преобразования для двух других направляющихкосинусов, получим решение системы уравнений относительно квадратовнаправляющих косинусов:2⎫2 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =⎪(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ⎪2⎪2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ⎪(1.30)n2 =(σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ⎬⎪22 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ⎪n3 =⎪(σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ⎪⎭Поскольку σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 то знаменатели формул удовлетворяютследующим неравенствам:(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ≥ 0 ⎫(σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ≤ 0⎪⎬(σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ≥ 0 ⎪⎭Так как решения получены для квадратов направляющих косинусов,т.е.
положительны всегда, то числители должны удовлетворятьнеравенствам:τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) ≥ 0⎫⎪⎪τ n2 + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ≤ 0 ⎬τ n2 + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ≥ 0 ⎪⎪⎭Несколько преобразуем полученные неравенства, например дляпервого:τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) = τ n2 + σ n2 − σ n (σ 2 + σ 3 ) + σ 2σ 3 ≥ 022⎛σ +σ3 ⎞ ⎛σ 2 −σ3 ⎞σ 2σ 3 = ⎜ 2⎟ −⎜⎟ ⇒22⎝⎠ ⎝⎠22⎛ σ 2 + σ 3 ⎞⎤⎛σ 2 −σ3 ⎞2 ⎡τ n + ⎢σ n − ⎜⎟⎥ − ⎜⎟ ≥022⎝⎠⎦⎝⎠⎣Окончательно получим следующую систему неравенств:272⎛ σ 2 − σ 3 ⎞ ⎫⎪≥⎜⎟22⎠ ⎪⎝⎠⎦⎝⎣22⎪⎛ σ1 − σ 3 ⎞ ⎪⎛ σ 1 + σ 3 ⎞⎤2 ⎡(1.31)τ n + ⎢σ n − ⎜⎟ ⎬⎟⎥ ≤ ⎜22⎠⎝⎠⎝⎣⎦⎪22⎪⎡⎛σ −σ 2 ⎞⎛ σ + σ 2 ⎞⎤τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 1⎟ ⎪⎟⎥ ≥ ⎜ 122 ⎠ ⎪⎝⎝⎠⎦⎣⎭Неравенства ограничивают область значений нормальных икасательных напряжений в наклонной площадке, проходящей череззаданную точку в том случае, если заданы значения главных нормальныхнапряжений.
Легко заметить, что если заменить неравенства равенствами, томы получим уравнения окружностей в координатах σ n ,τ n .Напомним уравнение окружности, смещенной относительно началакоординат в точку x0 , y0 :⎡⎛ σ + σ 3 ⎞⎤τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 2⎟⎥2( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2Поэтому первое неравенство представляет собой геометрическое местоточек на плоскости в координатах σ n ,τ n , вне окружности, радиусомr1 = (σ 2 − σ 3 ) / 2 , центр которой имеет координаты:σ +σ3τ n = 0;σn = 22Второе неравенство – геометрическое место точек внутри окружности:σ −σ3σ +σ3;r2 = 1τ n = 0;σn = 122Третье неравенство – геометрическое место точек вне окружности:σ −σ2σ +σ2;r3 = 1τ n = 0;σn = 122Эти окружности называются главными окружностями Мора. Такимобразом, возможные значения нормальных σ n и касательных τ n напряженийлежат внутри области, ограниченной тремя главными окружностями Мора.Эта область вместе с ограничивающими ее окружностями называетсякруговой диаграммой напряженного состояния Мора в точке тела (Рис.1.10).Точки P1, P2, P3 пересечения главных окружностей диаграммы Мора сосью абсцисс носят названия полюсов.Поскольку знак касательных напряжений по диаграмме Мора получитьнельзя, то обычно ограничиваются верхней ее половиной.Рассмотрим некоторые свойства диаграммы Мора.1 свойствоОкружности 1, 2, 3, ограничивающие круговую диаграмму, являютсягеометрическим местом точек, координаты которых дают величины28нормальных и касательных напряжений на площадках, перпендикулярныхглавным плоскостям.τnσ1 − σ 322Bσ1 − σ 22σ2 −σ33OP3C1σ3C2P212C3P1σnσ2 +σ32σ2σ1 + σ 32σ1 + σ 22σ1Рис.
1.10. Диаграмма напряжений МораИными словами:R1 → n1 = cosα1 = 0 ⇒ α1 = 90R2 → n2 = cosα 2 = 0 ⇒ α 2 = 90R3 → n3 = cosα 3 = 0 ⇒ α 3 = 90Откуда это следует? Вернемся опять к уравнению22 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )Очевидно, что с помощью уже выполнявшихся нами преобразований,оно может быть преобразовано к виду:⎡⎛ σ + σ 3 ⎞⎤τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 2⎟⎥⎣⎝222⎛σ −σ3 ⎞2=⎜ 2⎟ + n1 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )2⎠⎦⎝⎠29Это уравнение –окружностей радиусом:параметрическоеуравнениеконцентрических2⎛σ −σ3 ⎞2r1 = ⎜ 2⎟ + n1 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )2⎝⎠с центром в точкеτ n = 0;σ +σ3σn = 2.2Радиус окружности определяется значением n1 .
Подставляя n1 = 0 ,получим уравнение для 1-й главной окружностью Мора. Аналогичныевыражения могут быть получены и для других кругов.2 свойствоУгол между прямой, соединяющей точку на главной окружности иполюс, принадлежащий этой окружности, с вертикалью, проведенной изполюса, равен углу наклона площадки к главной оси, индекс которойсоответствует индексу полюса.(C1Q2)τ=(σ1-σ3) sinαcosα /2τnQ2Q3T12ααC1P1P3(σ2+σ3)/2C2(C1Q2)σσn(σ1-σ3)sin2ασ1Рис. 1.11. К выводу свойств главных окружностей МораПроведем из точки P1 прямую P1Q2 под углом α к линии P1T1параллельной оси τ n до пересечения с окружностью 2 в точке Q2 (Рис. 1.11).30Точку пересечения линии P1Q2 с окружностью 3 обозначим Q3 .
Докажем,что точки Q2 и Q3 лежат на одной окружности с центром в точке C1 иопределим радиус этой окружности.Очевидно:(C1Q2 )2 = (C1Q2 )σ2 + (C1Q2 )τ2Поскольку точка Q2 лежит на окружности, то угол ∠P1Q2 P3 - прямой,тогда:()(C1Q2 )τ = (σ 1 − σ 3 )sin α cosα = σ 1 − σ 3 cos 2α = (C2Q2 )cos 2α2Попутно можно считать доказанным, что угол ∠P1C 2Q2 = 2α(C1Q2 )σ = σ 1 − σ 2 + σ 3 − (σ 1 − σ 3 )sin 2 α = (σ 1 − σ 3 )cos 2 α − σ 2 − σ 322(C1Q2 )2 = (C1Q2 )σ2 + (C1Q2 )τ2 == (σ 1 − σ 3 )22σ −σ3 ⎤⎡sin α cos α + ⎢(σ 1 − σ 3 )cos 2 α − 2⎥ =2⎣⎦22= (σ 1 − σ 3 )2 sin 2 α cos 2 α + (σ 1 − σ 3 )2 cos 4 α −2⎛σ −σ3 ⎞− (σ 2 − σ 3 )(σ 1 − σ 3 )cos α + ⎜ 2⎟ =2⎝⎠2= (σ 1 − σ 3 )22⎛σ −σ3 ⎞cos α − (σ 2 − σ 3 )(σ 1 − σ 3 )cos α + ⎜ 2⎟ =2⎝⎠222⎛σ −σ3 ⎞= (σ 1 − σ 3 )(σ 1 − σ 2 )cos α + ⎜ 2⎟2⎝⎠Сравнивая полученное выражение с выражением для радиусасемейства окружностей r1 можно сделать вывод, что n1 = cos α .
Поэтомуугол α = α1 - угол между нормалью к площадке и осью 1 .Проведя аналогичные преобразования можно показать, чтоC1Q2 = C1Q3 . Таким образом утверждение, что точки Q2 и Q3 лежат наодной окружности можно считать доказанным.Аналогично можно доказать свойства прямых, проведенных подуглами α 2 ,α 3 из полюсов P2 , P3 ( α 2 ,α 3 - углы между нормалями к площадкеи осями 2,3 ). Из полученных свойств диаграммы Мора следует графическоепостроение, дающее возможность определить нормальные и касательныенапряжения в наклонной площадке по значениям направляющих косинусов(Рис. 1.12).231ττ для Dσα2=90οMα3=90οα1=90οα3α2Oσ3P3C1α2P22α12α2O' C2C3α1P1σσ2σ1Рис. 1.12.
Определение напряжений в произвольной наклонной площадке спомощью диаграммы Мора3 свойствоПри наложении на тело дополнительного всестороннего напряженияили сжатия радиусы окружностей Мора не меняются. Изменяется толькоположение вдоль горизонтальной оси.Форма диаграммы Мора может быть охарактеризована однимпараметром, составленным как отношение разности диаметров малыхокружностей (σ 2 − σ 3 ) − (σ 1 − σ 2 ) к диаметру большой окружности(σ 1 − σ 3 ) . Этот параметр называют параметром Лоде-Надаи.(σ − σ 3 ) − (σ 1 − σ 2 ) 2σ 2 − σ 1 − σ 3 σ 2 − σ 3=2µσ = 2=−1(1.32)(σ 1 − σ 3 )σ1 − σ 3σ1 − σ 3Геометрически этот коэффициент есть отношение расстояния междуцентром окружности 2 (точка С2) и точкой с координатами σ n = σ 2 ,τ n = 0(точка P2) к радиусу окружности 2: (σ 1 − σ 3 ) 2 .Параметр Лодэ - Надаи изменяется в пределах -1≤µσ≤1.Для одноосного растяженияσ1>0;σ2=σ3=0; µσ=-1;для одноосного сжатияσ1=σ2=0; σ3<0;µσ=1;32для чистого сдвигаσ1=-σ3;σ2=0;µσ=0.Не изменяется и значение параметра Лоде-Надаи, что следует изполученной формулы.
Вспомним, что при наложении на тело всестороннегорастяжения или сжатия не изменяется также девиатор напряжений. Поэтомупринято считать, что параметр Лоде-Надаи характеризует девиаторнапряжений.Увеличение или уменьшение главных напряжений на одну и тужевеличину сдвигает диаграмму вдоль оси σ . Если ось τ сдвинуть в сторонуфигуры на величину среднего нормального напряжения σср, то получимотображение девиатора напряжений.
Ось τ при этом всегда пересекаетфигуру. Шаровой тензор отобразится на диаграмме Мора окружностьюнулевого радиуса, расположенной на расстоянии σср от начала координат.Из круговой диаграммы Мора следуют свойства напряженногосостояния в точке тела:1. Экстремальность крайних главных напряжений σ1 и σ3. Наибольшееглавное напряжение σ1 является наибольшим не только из трех главныхнапряжений, но и из всех нормальных напряжений, существующих врассматриваемой точке. Наименьшее главное напряжение σ3 являетсянаименьшим из всех нормальных напряжений в рассматриваемой точке.2.
Экстремальные значения касательных напряжений и площадки ихдействия. Касательные напряжения изображаются ординатами точеккруговой диаграммы. Для семейства окружностей 1, 2, 3 экстремальныеординаты соответственно равны:111τ 23 = (σ 2 − σ 3 ) ; τ13 = (σ 1 − σ 3 ) ; τ12 = (σ 1 − σ 2 ) .2221Касательное напряжение τ13 = (σ 1 − σ 3 ) является максимальным для2всех площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Положениеплощадок экстремальных касательных напряжений определяется поформулам направляющих косинусов:2⎫2 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =⎪(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ⎪2⎪2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ⎪(1.33)n2 =(σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ⎬⎪22 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ⎪n3 =⎪(σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ⎪⎭Например, для точки B (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
