Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Такое напряженное состояние не может вызватьδ ij = ⎨изменения формы тела – возможно лишь изменение его объема. Девиаторнапряжений обуславливает изменение формы тела без изменения объемаПо аналогии с инвариантами тензора напряжений можно записатьинварианты девиатора напряжений. Первый инвариант девиаторанапряжений равен нулю:I1 ( Dσ ) = s xx + s yy + s zz = sii = σ xx + σ yy + σ zz − 3σ cp = 0Большое значение в теории обработки металлов давлением имеетвеличина второго инварианта девиатора напряжений.
Его мы будемиспользовать в дальнейшем, поэтому запишем его в различных формах:22− s 2yz − s zx=I 2 ( Dσ ) = s xx s yy + s yy s zz + s zz s yy − s xy⎤1⎡12= ⎢(sii ) − sij sij ⎥ = − sij sij =2⎢2⎥⎣ =0⎦22 ⎤⎡+ s 2yy + s zzs xx222⎥== − ⎢ s xy + s yz + s zx +2⎢⎥⎣⎦((1.20)) () ()⎡σ x − σ cp 2 + σ y − σ cp 2 + σ z − σ cp 2 ⎤222⎥== − ⎢τ xy + τ yz + τ zx +2⎥⎢⎦⎣3σ cp⎡⎤⎢2222 ⎥σ x + σ y + σ z − 2σ cp σ x + σ y + σ z + 3σ cp ⎥22= − ⎢τ xy+ τ 2yz + τ zx+=⎢⎥2⎢⎥⎢⎣⎦⎥2⎤⎡σσσ++⎛⎞xyz⎢σ x2 + σ 2y + σ z2 − 3 ⎜⎟ ⎥⎢ 23⎝⎠ ⎥=2= − ⎢τ xy+ τ 2yz + τ zx+⎥2⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎦⎥()19() (())21⎡22 ⎤= − ⎢3 σ x2 + σ 2y + σ z2 − σ x + σ y + σ z + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx⎥⎦ =6⎣122 ⎤= − ⎡ 2σ x2 + 2σ 2y + 2σ z2 − 2σ xσ y − 2σ yσ z − 2σ zσ x + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=⎢⎥⎦6⎣122= − σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=61= − [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ]6Выражение для третьего инварианта девиатора напряжений (внастоящее время он пока редко используется в теории пластичности)приведем только в сокращенной тензорной форме:1I 3 ( Dσ ) = sij s jk skl3Главные оси девиатора напряжений совпадают с главными осямитензора напряжений.[() (()())]1.10.
Максимальные касательные напряженияМаксимальными касательными (иногда их еще называют главнымикасательными) напряжениями называются наибольшие касательныенапряжения для данного напряженного состояния. Определим положениеплощадок, в которых действуют максимальные касательные напряжения. Дляэтого необходимо определить направляющие косинусы этих площадок.Касательные напряжения в наклонных площадках выражаются черезглавные напряжения следующим образом:(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32)2(1.21)В формуле (1.21) использованы соотношенияpi = σ ji n j ; p 2 = p x2 + p 2y + p z2 ;σ n = pi ni = σ ji n j niПоскольку три направляющих косинуса связаны между собойсоотношением:n12 + n22 + n32 = 1 ,то один из них (например n3 ) можно исключить, в результате получим:()()2τ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 1 − n12 − n22 − ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥⎣⎦Для определения экстремума необходимо взять частные производныепо каждому из направляющих косинусов и приравнять полученноевыражение нулю.∂ (τ n2 )= 2σ12 n1 − 2σ 32 n1 − 2 ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥ 2σ1 n1 − 2σ 3 n1 = 0∂n12 (σ1 −σ 3 )(σ1 +σ 3 ) n1⎣()⎦ ()20()n1 σ 1 + σ 3 − 2σ 1 n12 − 2σ 2 n22 − 2σ 3 + 2σ 3 n12 + 2σ 3 n22 = 0 21⎡⎤n1 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 1 − σ 3 )⎥ = 0 32⎣⎦Аналогично, дифференцируя по n2 и приравняв производную нулю,получим1⎤⎡n2 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 2 − σ 3 )⎥ = 02⎦⎣Эти два уравнения образуют систему.
Ее тривиальное решениеочевидно: n1=n2=0. Из уравнения суммы квадратов направляющих косинусовнайдем: n3 = ±1 . Эти площадки перпендикулярны главной оси 3.Касательные напряжения в них равны нулю – иными словами этоминимальные касательные напряжения, а мы ищем максимальные.Положим, что n1 ≠ 0, n2 ≠ 0 , тогда равны нулю выражения вквадратных скобках. Вычитая второе из первого после преобразованийполучим:σ 1 − σ 3 = σ 2 − σ 3 , что в общем случае неверно.Поэтому нетривиальные решения можно получить, приняв для первогоуравнения системы: n2 = 0, n1 ≠ 0 , а для второго n1 = 0, n2 ≠ 0 . Тогда дляпервого уравнения:(σ 1 − σ 3 )n12 − 1 (σ 1 − σ 3 ) = 02Откуда11n1 = ± ; n2 = 0; тогда n3 = ±22Из второго уравнения системы:11n1 = 0;n2 = ± ; n3 = ±22Исключая последовательно в уравнении (1.21) для касательногонапряжения два других направляющих косинуса и проведя аналогичныепреобразования, получим 3 пары значений, определяющих направляющиекосинусы площадок, в которых действуют максимальные касательныенапряжения:2Сокращаем на 2(σ 1 − σ 3 ) и выносим n1 за скобки3Меняем знак, выносим за скобки n12 и n22 и делим на 2.21n1 = 0;n2 = n3 = ±12n2 = 0;n1 = n3 = ±12(1.22)12Легко заметить, что каждая из этих трех пар определяет площадки,параллельные одной из осей главных координат и составляющие с двумядругими осями угол 45° (Рис.
1.7).n3 = 0;n2 = n1 = ±33τ121232τ2312τ311Рис. 1.7. Площадки максимальных касательных напряженийПодставляя найденные значения направляющих косинусов в уравнениедля касательного напряжения (1.21), найдем значения максимальныхкасательных напряжений.(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32Для n1 = 0;τ2n2 = n3 = ±)21получим:2211 ⎞2 1 2 1 2 ⎛= 0σ 1 + σ 2 + σ 3 − ⎜ 0σ 1 + σ 2 + σ 3 ⎟ =2222⎠⎝111111= σ 22 + σ 32 − σ 22 − σ 32 − σ 2σ 3 = (σ 2 − σ 3 )2224424или1τ 23 = ± (σ 2 − σ 3 )2Аналогично могут быть получены и выражения для двух другихсовокупностейнаправляющихкосинусов.Индексмаксимальныхкасательных напряжений показывает, к каким главным осям плоскость ихдействия наклонена под углом 45°:221(σ 1 − σ 2 ); τ 23 = ± 1 (σ 2 − σ 3 ) ; τ 31 = ± 1 (σ 3 − σ 1 ) .(1.23)222Таким образом, любое максимальное касательное напряжение равнополуразности главных нормальных напряжений в направлении тех осей, скоторыми площадка составляет угол 45°, взятой со знаком + или -.
Сумматрех главных касательных напряжений равна нулю.Наибольшее из всех значений касательное напряжение в данной точкеназывается максимальным напряжением τ max ; если σ 1 > σ 2 > σ 3 , то1τ max = (σ1 − σ 3 ) .2Подставив найденные значения направляющих косинусов в формулудля нормальных напряжений для наклонной площадки в главных осяхσ n = σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 , можно определить величину нормальныхнапряжений на площадках, на которых действуют максимальныекасательные напряжения.
Например, для σ 23 :11 σ +σ3σ n = σ10 + σ 2 + σ 3 = 2= σ 23222Таким образом:111σ12 = (σ1 + σ 2 ) ; σ 23 = (σ 2 + σ 3 ) ; σ 31 = (σ 3 + σ1 ) .(1.24)222τ12 = ±1.11. Октаэдрические напряженияРассмотрим в некоторой точке тела площадку, одинаково наклоненнуюк главным осям.Очевидно:1n12 + n22 + n32 = 1 ⇒ni =3Таких площадок четыре. С четырьмя параллельными они образуютфигуру октаэдра (Рис. 1.8). Поэтому напряжения в этих площадках называютоктаэдрическими.Значения этих напряжений можно определить, подставив значениенаправляющих косинусов в выражения для нормальных и касательныхнапряжений в наклонной площадке в главных осях координат.Нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему главномунапряжению:σ окт = σ cpКасательное напряжение (1.21):(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32)2233σоктσоктσоктτокт1τоктτоктτокт2σоктРис.
1.8. Октаэдрические площадки211111 ⎞⎛1= σ12 + σ 22 + σ 32 − ⎜ σ1 + σ 2 + σ 3 ⎟ =33333 ⎠⎝31= 2σ12 + 2σ 22 + 2σ 32 − 2σ1σ 2 − 2σ 2σ 3 − 2σ 3σ1 =91= ⎡⎢ σ12 − 2σ1σ 2 + σ 22 + σ 22 − 2σ 2σ 3 + σ 32 + σ 32 − 2σ 3σ1 + σ12 ⎤⎥ =⎦9⎣1222= ⎡⎢(σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) ⎤⎥⎦9⎣откуда21τ окт = ± (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = ±I 2 ( Dσ ) (1.25)33Все основные площадки, можно изобразить на фигуре Рис.
1.9.Таким образом, существует три вида характерных площадок,проходящих через точку:• Три взаимно перпендикулярных площадки главных напряжений, вкоторых отсутствуют касательные напряжения• Три пары площадок главных (максимальных) касательныхнапряжений. Эти площадки равнонаклонены к двум главным осям ипараллельны третьей.• Восемь площадок октаэдрических напряжений, нормальныенапряжения в которых равны среднему нормальному напряжению(гидростатическому давлению с обратным знаком) в точке. Этиплощадки являются равнонаклоненными к главным осям.2τ окт()() () ()24σ33 площадки главныхнапряжений8 площадококтаэдрическихнапряженийσ23σ31τ316 площадокмаксимальныхкасательныхнапряженийσoτ23τoτ12σ2σ12σ1Рис.
1.9. Характерные площадки1.12. Интенсивность напряженийДля комплексной характеристики напряжений применяют двевеличины: интенсивность нормальных напряжений и интенсивностькасательных напряжений.Интенсивность нормальных напряжений4 определяют по выражению1(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 =σi =2.(1.26)33= 3 I 2 (Dσ ) =sij sij =τ окт22В случае линейного растяженияσ 1 ≠ 0; σ 2 = σ 3 = 0; σ i = σ 1.Интенсивность касательных напряжений определяют по выражению1T=(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 = I 2 ( Dσ ) .(1.27)6В случае чистого сдвигаσ1 = τ ; σ 2 = 0; σ 3 = −τ ; T = τ .В зарубежной литературе часто обозначают σ , в ряде отечественныхизданий σ и425Между интенсивностью нормальных и касательных напряженийсуществует связь:σ(1.28)σ i = 3T ; T = i31.13. Диаграммы напряжений МораНаглядное представление об области возможных значений нормальныхи касательных напряжений на различных площадках, проходящих черезнекоторую точку деформируемого дела, дает диаграмма Мора.Запишем в главных осях напряжений соотношения междунаправляющими косинусами и выражения нормального и полногонапряжений:pn2 = σ n2 + τ n2 = σ 12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 ⎫⎪⎪222σ n = σ 1n1 + σ 2 n2 + σ 3n3(1.29)⎬⎪n12 + n22 + n32 = 1⎪⎭Эта система представляет собой систему линейных алгебраическихуравнений относительно квадратов направляющих косинусов.
Решить ее,например, можно следующим образом:Умножим почленно второе уравнение (1.29) на (σ 2 + σ 3 ) , а третье наσ 2σ 3 . Затем произведем почленное вычитание первого и второго уравнений,а к результату почленно прибавим третье уравнение:σ n2 + τ n2 = σ 12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32−−σ n = σ 1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 × (σ 2 + σ 3 )++× σ 2σ 31 = n12 + n22 + n32В результате этих преобразований получим:σ n2 + τ n2 − σ n (σ 2 + σ 3 ) + σ 2σ 3 =()()= σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 (σ 2 + σ 3 ) + n12 + n22 + n32 σ 2σ 3 == σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1σ 2 n12 − σ 22 n22 − σ 3σ 2 n32 − σ1σ 3n12 − σ 2σ 3n22 − σ 32 n32 ++σ 2σ 3n12 + σ 2σ 3n22 + σ 2σ 3n32В правой части уравнения члены, содержащие квадраты направляющихкосинусов n22 , n32 сокращаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
